Buzz
1. Các hệ thức lượng trong tam giác
1.1 Định lý Cosine
Xét tam giác ABC với các cạnh BC = a, AC = b và AB = c
Công thức sau đây được áp dụng:
a² = b² + c² – 2bc.cosA;
b² = c² + a² – 2ca.cosB;
c² = a² + b² – 2ab.cosC.
Hệ quả từ công thức trên:
1.2 Định lý Sin
Xét tam giác ABC với các cạnh BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Công thức áp dụng là:
1.3 Độ dài các đường trung tuyến
Xét tam giác ABC với các đường trung tuyến ma, mb, mc tương ứng từ các đỉnh A, B, C. Áp dụng công thức sau:
.png)
1.4 Công thức tính diện tích của tam giác
Xét tam giác ABC có
+) ha, hb, hc là độ dài của các đường cao tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;
+) R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác;
+) r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác;
+) S là diện tích của tam giác.
2. Bài tập hệ thức lượng trong tam giác
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 1cm , AC = 2cm. Tính BC.
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = 23, AC = 24, B = 60º. Tính góc C
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng BD2 + AC2 = 2.(AB2 + AD2)
Bài 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác A là nhọn nếu và chỉ nếu BC² < AB² + AC²
Bài 5. Một chiếc ô tô di chuyển từ A đến C, nhưng giữa A và C có một ngọn núi cao nên ô tô phải đi qua hai đoạn đường từ A đến B và từ B đến C, tạo thành tam giác ABC với AB = 15 km, BC = 10 km và góc B = 105º. Nếu người ta khoan hầm qua núi để tạo ra một con đường thẳng từ A đến C, hãy tính độ dài của đoạn đường này.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Biết rằng AC = 20 cm và BH = 9 cm. Tính chiều dài của BC và AH.
Bài 7. Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β
a) cos² α.cos² β + cos² α.sin² β + sin² α
b) 2(sin α – cos α)² – (sin α + cos α)² + 6sin α.cos α
c) (tan α – cot α)² – (tan α + cot α)²
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A với tỷ lệ AB : AC = 7 : 24 và BC = 625 cm. Tính độ dài của các hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.
Bài 9. Xác định giá trị của x và y theo hình vẽ
Bài 10. Xác định giá trị của x và y theo hình vẽ
.png)
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Biết AB = 3 cm và AC = 4 cm. Tính độ dài các đoạn BH, CH, AH và BC.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A với AH vuông góc BC (H nằm trên BC). Biết tỷ lệ AB : AC = 3 : 4 và BC = 15 cm.
a) Tính độ dài các đoạn BH và HC.
b) Vẽ phân giác AD (D nằm trên BC). Tính độ dài của đoạn HD.
3. Đáp án cho bài tập hệ thức lượng trong tam giác
Bài 1.
Áp dụng định lý cosin, ta có:
BC² = AB² + AC² - 2AB·AC·cos A
BC² = 12 + 22 - 2·1·2·cos 120°
Bài 2.
Áp dụng định lý sin, ta có:
C = 56º6'
Bài 3.
O là tâm của hình bình hành ABCD và đồng thời là trung điểm của AC
BO là đoạn trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh AC
4BO2 = 2(BC2 + BA2) - AC2 (1)
Vì O là trung điểm của BD nên BD = 2BO => BD2 = 4BO2
(1) => BD2 = 2(CB2 + AB2) - AC2
=> BD2 + AC2 = 2(CB2 + AB2)
=> BD2 + AC2 = 2(AB2 + AD2) (vì AD = CB) (điều cần chứng minh)
Bài 4.
Sử dụng định lý cosin, ta có:
Vì AB.AC luôn dương, nên cos A có cùng dấu với biểu thức (AB2 + AC2 - BC2)
Tam giác nhọn: 0º < A < 90º => cos A > 0
=> AB2 + AC2 - BC2 > 0
=> BC2 < AB2 + AC2
Bài 5.
Áp dụng định lý cosin, ta có:
AC2 = AB2 + BC2 - 2AB.BC.cos B
=> AC2 = 152 + 102 - 2.15.10.cos 105º = 402,65
Bài 6.
Gọi HC = x (với x > 0).
Áp dụng công thức hệ thức
AC2 = BC.HC, ta có:
⇒ 202 = (9 + x)x
⇔ x2 + 9x - 400 = 0
⇔ (x + 25)(x - 16) = 0
⇔ x = -25 (không hợp lệ) hoặc x = 16
Do đó, độ dài cạnh huyền BC là:
BC = BH + HC = 9 + 16 = 25 cm
Có: AH2 = HB.HC = 9.25 = 32.52 = 152, nên chiều dài đường cao AH là: AH = 15 cm
Kết quả: 15 cm
Bài 7.
a) cos2 α.cos2 β + cos2 α.sin2 β + sin2 α
= cos2 α (cos2 β + sin2 β) + sin2 α
= cos2 α . 1 + sin2 α
= 1
b) 2(sin α – cos α)2 – (sin α + cos α)2 + 6 sin α.cos α
= 2(1 – 2sin α.cos α) – (1 + 2sin α.cos α) + 6sin α.cos α
= 1 – 6sin α.cos α + 6sin α.cos α
= 1
c) (tan α – cot α)2 – (tan α + cot α)2
= (tan2 α – 2 tan α.cot α + cot2 α) – (tan2 α + 2 tan α.cot α + cot2 α)
= -4 tan α.cot α
= -4.1
= -4
Bài 8.
Vẽ đường AH vuông góc với BC, ta có: AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC;
Vậy ta có:
Kết luận: BH = 49.1 = 49; CH = 576.1 = 576
Bài tập 9.
x và y trên hình minh họa là hai cạnh vuông góc.
Do đó, chúng ta tính cạnh huyền của tam giác vuông hiện tại. Cạnh huyền = 1 + 4 = 5
Chúng ta sẽ áp dụng công thức liên quan đến hình chiếu và các cạnh của tam giác vuông, bao gồm cạnh huyền:
b² = ab’, tức là x² = 1.5 và do đó x = √5; c² = ac’, tức là y² = 4.5 và từ đó y = √20 = 2√5
Bài tập 10.
Trước tiên, chúng ta kiểm tra và thấy rằng có thể tính ngay cạnh góc vuông AB theo Định lý Py-ta-go:
AB² = BH² + AH² = 1² + 2² = 5, do đó AB = √5
Sau khi tính được AB, ta có AB² = AH.AC, từ đó suy ra AC = AB² / AH = 5 / 1 = 5
Vì AH + x = AC nên x = AC – AH = 5 – 1 = 4
Khi đã biết x, ta có hai phương pháp để tính y.
Phương pháp 1: Sử dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông BHC. y² = BH² + x² = 2² + 4² = 20, do đó y = √20 = 2√5
Phương pháp 2: Áp dụng hệ thức lượng y² = x.AC = 5.4 = 20, do đó y = √20 = 2√5.
Bài tập 11.
Chúng ta có thể dễ dàng tính cạnh huyền của tam giác ABC:
BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25, do đó BC = 5 cm.
Với độ dài của hai cạnh góc vuông và cạnh huyền đã biết, chúng ta có thể tính BH và CH dựa trên công thức liên quan đến hình chiếu, cạnh huyền và cạnh góc vuông.
Ta có: AB² = BH.BC, do đó BH = AB² / BC = 3² / 5 = 9 / 5 cm
Tương tự, AC² = HC.BC, do đó HC = AC² / BC = 16 / 5 cm
Tính AH bằng cách sử dụng hệ thức h² = b’.c’, tức là AH² = BH.CH = 144 / 25, từ đó AH = 12 / 5 cm
Bài tập 12.
a) Tỉ số AB/AC = 3/4
Gọi AB = 3k và AC = 4k. Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC:
Từ công thức AB² + AC² = BC², ta có 9k² + 16k² = 15². Suy ra k² = 15²/25 = 9, nên k = 3.
Vì vậy, ta có AB = 9 cm và AC = 12 cm.
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC để tính toán BH và CH.
Theo công thức AB² = BH.BC, ta tính được BH = AB²/BC = 27/5 cm.
Với AC² = HC.BC, ta tính được HC = AC²/BC = 48/5 cm.
b)
Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:
Áp dụng tỷ lệ thức, ta tính được BD = AB.5/7 = 45/7 cm.
Tính HD = BD – BH = 45/7 – 27/5 = 36/35 cm.
