Buzz
1. Tổng quan về 7 công thức đáng nhớ
Xét hai biểu thức A và B. Từ hai biểu thức này, chúng ta có thể thiết lập 7 công thức như sau:
- Bình phương của tổng bằng bình phương số đầu tiên cộng với hai lần tích số đầu tiên với số thứ hai, sau đó cộng với bình phương số thứ hai.
(A + B)² = A² + 2AB + B²
- Bình phương của một số bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhất với số thứ hai, sau đó cộng với bình phương số thứ hai:
(A - B)² = A² - 2AB + B²
⇒ A² + B² = (A - B)² + 2AB = (A + B)² - 2AB
- Hiệu của hai bình phương bằng hiệu của hai số nhân với tổng của hai số đó
(A + B) (A - B) = A² - B²
- Lập phương của tổng được tính bằng lập phương của số thứ nhất cộng với ba lần tích bình phương số thứ nhất và số thứ hai, cộng thêm ba lần tích của số thứ nhất và bình phương của số thứ hai, cộng với lập phương của số thứ hai:
(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
(A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³
- Lập phương của tổng được tính bằng lập phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất và bình phương của số thứ hai, cộng với lập phương của số thứ hai
(A + B) (A² - AB + B²) = A³ + B³
- Lập phương của một hiệu được tính bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất và số thứ hai, cộng ba lần tích của số thứ nhất và bình phương số thứ hai, và cuối cùng trừ lập phương của số thứ hai.
Diễn đạt bằng lời: Lập phương của một tổng được tính bằng lập phương của số thứ nhất trừ ba lần tích bình phương số thứ nhất với số thứ hai, cộng ba lần tích của số thứ nhất với bình phương số thứ hai, và trừ lập phương của số thứ hai.
- Hiệu của hai lập phương bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương của tổng các số.
(A - B) (A² + AB + B²) = A³ - B³
2. Bài tập ứng dụng
Bài tập 1: Áp dụng 7 hằng đẳng thức để viết các biểu thức sau dưới dạng tổng.
a. (2x + 1)² = 4x² - 4x + 1
b. (2x + 3y)² = 4x² + 2 × 2x × 3y + 9y² = 4x² + 12xy + 9y²
c. (x + 1) × (x - 1) = x² - 1
d. m² - n² = (m - n) × (m + n)
Bài tập 2: Áp dụng 7 hằng đẳng thức nổi bật và đơn giản hóa biểu thức dưới đây:
A = (x + y)² - (x - y)²
A = (x + y)² - (x - y)² = x² + 2xy + y² - (x² - 2xy + y²) = 4xy
3. Các dạng biến đổi cần chú ý
- Lưu ý các phép toán như nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, và triển khai hằng đẳng thức. Các bài tập yêu cầu viết lại biểu thức nên cần nắm vững quy tắc nhân đa thức và học thuộc 7 hằng đẳng thức quan trọng. Chú ý đến dấu của các số hạng và phép toán.
- Có thể áp dụng 7 hằng đẳng thức quan trọng để giải quyết bài toán.
Bài tập về việc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Bước đầu tiên là chuyển biểu thức về dạng M = A² + B, với A là biểu thức chứa biến và B là số hoặc biểu thức số không phụ thuộc. Vì bình phương của mọi số thực luôn không âm, A² ≥ 0 nên A² + B ≥ B, vì vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là B. Dấu = xảy ra khi A = 0.
Dạng 1: Thực hiện các phép toán:
Phương pháp giải: Áp dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển biểu thức.
Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức
Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và chọn vế phù hợp để áp dụng chúng một cách dễ dàng.
Dạng 3: Tính toán nhanh
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức để tính toán nhanh với các số tự nhiên.
Dạng 4: Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức và lưu ý các điểm sau:
Dạng 4: Áp dụng hằng đẳng thức để khai triển, đơn giản hóa và tính giá trị của biểu thức
Phương pháp giải: Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để triển khai và tối ưu hóa biểu thức.
Dạng 5: Áp dụng hằng đẳng thức để tính toán nhanh chóng
Phương pháp giải: Linh hoạt sử dụng các hằng đẳng thức đã học để thực hiện tính toán nhanh
Dạng 6: Sử dụng hằng đẳng thức để đơn giản hóa và khai triển biểu thức
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đã học để khai triển hoặc đơn giản hóa biểu thức
Dạng 7: Áp dụng hằng đẳng thức để thực hiện tính toán nhanh
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích và tính toán.
4. Bài tập thực hành tự luyện
Câu 1. Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh 2x + 3 dưới dạng đa thức
b. Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh 3x - 2 dưới dạng đa thức
Câu 2: Tính toán nhanh các câu hỏi sau:
a. 38 × 42
b. 102²
c. 198²
d. 75² - 25²
Câu 3: Chuyển các biểu thức sau thành đa thức
a. (2x - 3)³
b. (a + 3b)³
c. (xy - 1)³
Câu 4: Chứng minh rằng biểu thức (4n + 3)² - 25 chia hết cho 8 với mọi số nguyên n
Câu 5: So sánh hai biểu thức sau và xác định số nào lớn hơn?
a. A = (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1) và B = 2²
Câu 6: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp sao cho tổng các tích của từng cặp hai số trong ba số đó bằng 74.
Câu 7: Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp sao cho hiệu của bình phương chúng bằng 40.
Câu 8: Ba số a, b, c có tổng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng bằng 53. Tính giá trị của ab + bc + ca.
Câu 9: Xác định giá trị của các biểu thức dưới đây:
a. x² - 10x + 26 với x = 105
b. x² + 0,2x + 0,01 với x = 0,9
Câu 10: Xác định giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a. A = x² - 4x + 1
b. B = 4x² + 4x + 11
c. C = 3x² - 6x - 1
Câu 11: Tính toán các biểu thức dưới đây để có kết quả chính xác
a. (x + 2y)²
b. (2x + 3y)²
c. (3x - 2y)²
d. (5x - y)²
e. (x + 1/4)²
f. (1/3 x - 1/2)²
g. (x + 1)²
(3x + 1)(3x - 1)
h. (x² + 2/5 y)(x² - 2/5 y)
i. x² - 6x + 9
k. 1/4 x² + 2xy² + 4y²
m. x³ - 8y³
n. a⁶ - b³
l. x² - 10x + 25
o. x² + 4xy + 4y²
Câu 12: Tính toán nhanh
a. 10001²
b. 29,9 × 40,1
c. 201²
d. 199²
e. 20,1 × 19,9
f. 33,3² - 2 × 33,33 + 3,3²
Câu 13: Hoàn thành biểu thức: .... = (2x - 1) (4x² + 2x + 1)
Câu 14: Tính giá trị của biểu thức A = 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ khi x = 2 và y = -1
Câu 15: Tính giá trị của biểu thức A = 352 - 700 + 10²
Câu 16: Tìm giá trị của x sao cho biểu thức sau được thỏa mãn:
2x² - 4x + 2 = 0. Vậy x có giá trị là gì?
Câu 17: Xác định số lượng giá trị của x để thỏa mãn phương trình (2x + 1)² - 4(x + 3)² = bao nhiêu?
Câu 18: Đơn giản hóa biểu thức sau:
N = (2x + 3y) (4x² - 6xy + 9y²)
P = (x - y) (x² + xy + y²) - (x + y) (x² - xy + y²)
Q = (x² - 2y) (x⁴ + 2x²y + 4y²)
Bài viết trên Mytour đã cung cấp thông tin chi tiết về 7 hằng đẳng thức quan trọng và bài tập ứng dụng. Bài viết cũng bao gồm các nội dung và đáp án cụ thể. Cảm ơn bạn đã theo dõi.
