Buzz
1. Tổng quan về 7 công thức hằng đẳng thức quan trọng
Xét hai biểu thức A và B. Từ hai biểu thức này, chúng ta có thể xây dựng 7 công thức hằng đẳng thức như sau:
- Bình phương của tổng bằng bình phương của số đầu tiên cộng với hai lần tích của số đầu tiên và số thứ hai, rồi cộng với bình phương của số thứ hai.
( A + B)² = A² + 2AB + B²
- Bình phương của hiệu giữa hai số bằng bình phương số đầu tiên trừ đi hai lần tích của số đầu tiên và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương số thứ hai:
(A - B)² = A² - 2AB + B²
⇒ A² + B² = (A - B)² + 2AB = (A + B)² - 2AB
- Hiệu của hai bình phương bằng tích của hiệu hai số và tổng hai số đó
(A + B)(A - B) = A² - B²
- Lập phương của một tổng bằng lập phương số đầu tiên cộng với ba lần tích bình phương số đầu tiên và số thứ hai, cộng với ba lần tích số đầu tiên và bình phương số thứ hai, và cuối cùng là lập phương số thứ hai:
(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
(A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³
- Lập phương của một tổng bằng lập phương số đầu tiên cộng với ba lần tích bình phương số đầu tiên và số thứ hai, cộng với ba lần tích số đầu tiên và bình phương số thứ hai, và cộng với lập phương số thứ hai
(A + B)(A² - AB + B²) = A³ + B³
- Lập phương của hiệu giữa hai số bằng lập phương số đầu tiên trừ đi ba lần tích của số đầu tiên và số thứ hai, cộng với ba lần tích của số đầu tiên và bình phương số thứ hai, rồi trừ đi lập phương số thứ hai.
Phát biểu rõ ràng: Lập phương của một tổng bằng lập phương số đầu tiên cộng với ba lần tích bình phương số đầu tiên và số thứ hai, cộng với ba lần tích số đầu tiên và bình phương số thứ hai, và cuối cùng trừ đi lập phương số thứ hai.
- Hiệu của hai lập phương bằng tích của hiệu hai số và bình phương của tổng hai số.
(A - B)(A² + AB + B²) = A³ - B³
2. Bài tập ứng dụng
Bài tập 1: Áp dụng 7 công thức hằng đẳng thức để viết các biểu thức sau dưới dạng tổng.
a. (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1
b. (2x + 3y)² = 4x² + 2 × 2x × 3y + 9y² = 4x² + 12xy + 9y²
c. (x + 1)(x - 1) = x² - 1
d. m² - n² = (m - n)(m + n)
Bài tập 2: Áp dụng 7 công thức hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức sau:
A = (x + y)² - (x - y)²
A = (x + y)² - (x - y)² = x² + 2xy + y² - (x² - 2xy + y²) = 4xy
3. Những dạng biến đổi cần lưu ý
- Cần chú ý khi thực hiện các phép tính như nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, và triển khai các hằng đẳng thức. Các bài tập thường yêu cầu viết lại biểu thức, vì vậy cần nắm vững quy tắc nhân đa thức và thuộc lòng 7 hằng đẳng thức cơ bản. Đặc biệt lưu ý dấu của các số hạng và phép toán.
- Có thể áp dụng các tính chất của 7 hằng đẳng thức cơ bản để giải quyết các bài toán.
Bài tập về việc tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức yêu cầu ta biến đổi biểu thức thành dạng M = A² + B, trong đó A là một biểu thức chứa biến và B là một số hoặc biểu thức số độc lập. Vì bình phương của mọi số thực luôn không âm, nên A² ≥ 0 với mọi giá trị của biến, dẫn đến A² + B ≥ B. Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là B, và dấu '=' xảy ra khi A = 0.
Dạng 1: Thực hiện phép tính theo yêu cầu.
Phương pháp giải: Áp dụng trực tiếp các hằng đẳng thức đã học để khai triển biểu thức.
Dạng 2: Chứng minh các hằng đẳng thức.
Phương pháp giải: Linh hoạt áp dụng các hằng đẳng thức và chọn các vế phù hợp để dễ dàng sử dụng các hằng đẳng thức.
Dạng 3: Tính toán nhanh.
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt cho các số tự nhiên.
Dạng 4: Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức.
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức và cần lưu ý các điểm sau:
Dạng 4: Áp dụng hằng đẳng thức để triển khai, rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
Phương pháp giải: Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để triển khai và đơn giản hóa biểu thức.
Dạng 5: Áp dụng hằng đẳng thức để tính toán nhanh chóng
Phương pháp giải: Tận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đã học để thực hiện các phép tính nhanh.
Dạng 6: Sử dụng hằng đẳng thức để khai triển và đơn giản hóa biểu thức.
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đã học để triển khai hoặc rút gọn các biểu thức.
Dạng 7: Áp dụng hằng đẳng thức để thực hiện tính toán nhanh.
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích và thực hiện các phép tính.
4. Bài tập tự luyện để áp dụng kiến thức
Câu 1. Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông với cạnh là 2x + 3 dưới dạng đa thức.
b. Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh là 3x - 2 dưới dạng đa thức.
Câu 2: Thực hiện tính nhanh các bài tập dưới đây:
a. 38 nhân 42
b. 102 chia 2
c. 198 chia 2
d. 75 chia 2 trừ 25 chia 2
Câu 3: Biến đổi các biểu thức sau thành đa thức
a. (2x - 3) nhân 3
b. (a + 3b) nhân 3
c. (xy - 1) nhân 3
Câu 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, biểu thức (4n + 3) bình phương trừ 25 luôn chia hết cho 8
Câu 5: So sánh hai vế dưới đây, vế nào lớn hơn?
a. A = (2 + 1) nhân (2 bình phương + 1) nhân (2 mũ 4 + 1) và B = 2 bình phương
Câu 6: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp sao cho tổng các tích của từng cặp hai số trong ba số đó bằng 74.
Câu 7: Hiệu của các bình phương của hai số lẻ liên tiếp là 40. Xác định hai số đó.
Câu 8: Tổng của ba số a, b, c là 9. Tổng các bình phương của chúng là 53. Tính giá trị của ab + bc + ca.
Câu 9: Tìm giá trị của các biểu thức dưới đây:
a. x bình phương - 10x + 26 với x = 105
b. x bình phương + 0,2x + 0,01 với x = 0,9
Câu 10: Xác định giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:
a. A = x bình phương - 4x + 1
b. B = 4x bình phương + 4x + 11
c. C = 3x bình phương - 6x - 1
Câu 11: Tính các biểu thức dưới đây cho chính xác
a. (x + 2y) bình phương
b. (2x + 3y) bình phương
c. (3x - 2y) bình phương
d. (5x - y) bình phương
e. (x + 1/4) bình phương
f. (1/3 x - 1/2) bình phương
g. (x + 1) bình phương
(3x + 1) nhân (3x - 1)
h. (x^2 + 2/5y)(x^2 - 2/5y)
i. x^2 - 6x + 9
k. 1/4x^2 + 2xy^2 + 4y^2
m. x^3 - 8y^3
n. a^6 - b^3
l. x^2 - 10x + 25
o. x^2 + 4xy + 4y^2
Câu 12: Tính nhanh
a. 10001^2
b. 29,9 × 40,1
c. 201^2
d. 199^2
e. 20,1 × 19,9
f. 33,3^2 - 2 × 33,33 + 3,3^2
Câu 13: Điền vào chỗ trống: .... = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)
Câu 14: Tính giá trị của biểu thức: A = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 khi x = 2 và y = -1
Câu 15: Tính giá trị biểu thức A = 35^2 - 700 + 10^2
Câu 16: Xác định giá trị của x để thỏa mãn biểu thức sau:
2x^2 - 4x + 2 = 0. Vậy x có giá trị nào?
Câu 17: Có bao nhiêu giá trị của x để thỏa mãn (2x + 1)^2 - 4(x + 3)^2 = ?
Câu 18: Rút gọn biểu thức sau:
N = (2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)
P = (x - y)(x^2 + xy + y^2) - (x + y)(x^2 - xy + y^2)
Q = (x^2 - 2y)(x^4 + 2x^2y + 4y^2)
Bài viết trên Mytour đã cung cấp chi tiết về 7 hằng đẳng thức quan trọng và các bài tập áp dụng. Bài viết bao gồm nội dung và đáp án cụ thể. Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi.
