7 Hằng đẳng thức đáng nhớ và Hệ quả Hằng đẳng thức

Buzz

Nội dung bài viết

Hằng đẳng thức: Kiến thức và thực hành

I. Nhớ về các đẳng thức quan trọng

Bình phương của một tổng

Bình phương của một hiệu

Hiệu của hai bình phương

Lập phương của một tổng

Lập phương của một hiệu

Tổng của hai lập phương

Hiệu của hai lập phương

II. Hệ quả hằng đẳng thức

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

Hệ quả tổng quát

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

III. Các dạng bài toán bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức.

Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức

Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

= (x – 1)(x – 2y)

Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức

IV. Những điều cần nhớ về hằng đẳng thức

V. Bài tập về hằng đẳng thức

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Nhớ về các đẳng thức quan trọng và hệ quả của chúng là cực kỳ quan trọng đối với học sinh ở các cấp độ khác nhau.
- Danh sách 7 hằng đẳng thức cung cấp công thức cơ bản cùng với ví dụ minh họa và bài tập thực hành có đáp án và lời giải.
- Các phần chính bao gồm: Nhớ về các đẳng thức quan trọng; Hệ quả của các đẳng thức này; Các dạng bài toán thực hành.
- Hằng đẳng thức bao gồm bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng của hai lập phương, hiệu của hai lập phương.
- Các ví dụ minh họa và bài tập thực hành giúp học sinh áp dụng kiến thức một cách hiệu quả.
- Hệ quả của các hằng đẳng thức được sử dụng trong việc chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.
- Các dạng bài toán bao gồm tính giá trị của biểu thức, chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến, tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử, tìm giá trị của x.
- Điều cần nhớ về hằng đẳng thức bao gồm chuyển đổi giữa tổng và tích, kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, và sử dụng các hằng đẳng thức một cách chính xác.
- Bài tập tự luyện và bài tập nâng cao giúp học sinh rèn luyện và áp dụng kiến thức vào các bài toán cụ thể.

Nhớ về các đẳng thức quan trọng và hệ quả của chúng là cực kỳ quan trọng đối với học sinh ở các cấp độ khác nhau.

Danh sách 7 hằng đẳng thức cung cấp công thức cơ bản cùng với ví dụ minh họa và bài tập thực hành có đáp án và lời giải.

Hằng đẳng thức: Kiến thức và thực hành

Dưới đây là các phần chính: I. Nhớ về các đẳng thức quan trọng; II. Hệ quả của các đẳng thức này; III. Các dạng bài toán thực hành.

I. Nhớ về các đẳng thức quan trọng

Bình phương của một tổng

Diễn giải: Bình phương của tổng hai số bằng bình phương của số thứ nhất, cộng với hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Bình phương của một hiệu

Diễn giải: Bình phương của hiệu hai số bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Hiệu của hai bình phương

Diễn giải: Hiệu của hai bình phương hai số bằng tổng của hai số đó nhân với hiệu của hai số đó.

Lập phương của một tổng

Diễn giải: Lập phương của tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất, cộng với ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai, và cuối cùng cộng với lập phương của số thứ hai.

Lập phương của một hiệu

Diễn giải: Lập phương của hiệu hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

Tổng của hai lập phương

Diễn giải: Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

Hiệu của hai lập phương

Diễn giải: Hiệu của hai lập phương hai số bằng hiệu của hai số đó, nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

Ví dụ minh họa về hằng đẳng thức

Ví dụ 1

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

$a) (3x+4)^{2}$ $b) (5x-y)^{2}$ $c) (xy-\frac{1}{2}y)^{2}$

Gợi ý đáp án

$a) (3x+4)^{2}=9x^{2}+24x+16$ $b) (5x-y)^{2}=25x^{2}-10xy+y^{2}$ $c) (xy-\frac{1}{2}y)^{2}=x^{2}y^{2}-xy^{2}+\frac{1}{4}y^{2}$

Ví dụ 2

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu

$a) x^{2}+2x+1$ $b) 9 - 24x + 16x^{2}$ $c) 4x^{2} + \frac{1}{4} + 2x$

Gợi ý đáp án

$a) x^{2} + 2x + 1 = x^{2} + 2x + 1^{2} = (x + 1)^{2}$ $b) 9 - 24x + 16x^{2} = 3^{2} - 24x + (4x)^{2} = (3 - 4x)^{2}$ $c) 4x^{2} + \frac{1}{4} + 2x = (2x)^{2} + 2x + (\frac{1}{2})^{2}$ $=(2x + \frac{1}{2})^{2}$

Ví dụ 3

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

$c) (-x-\frac{1}{2}y)(-x+\frac{1}{2}y)$

Gợi ý đáp án

$a) (3x - 5)(3x + 5)=(3x)^{2}-5^{2}=9x^{2}-25$ $b) (x - 2y)(x + 2y)=x^{2}-(2y)^{2}=x^{2}-4y^{2}$ $c) (-x-\frac{1}{2}y)(-x+\frac{1}{2}y)=(-x)^{2}-(\frac{1}{2}y)^{2}$ $=x^{2}-\frac{1}{4}y^{2}$

Ví dụ 4

a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức

b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x - 2 dưới dạng đa thức

Gợi ý đáp án

$a) (2x+3)^{2}=4x^{2}+12x+9$ $b) (3x-2)^{3}=27x^{3}-54x^{2}+36x-8$

II. Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi lượng giác chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,...

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

$(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc$

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a)

Hệ quả tổng quát

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-a^{n-4}b^3+\ldots+a^2b^{n-3}-a\cdot b^{n-2}+b^{n-1})$ $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots+a^2b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

(a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2

Hy vọng tài liệu này sẽ hữu ích giúp các bạn tổng hợp kiến thức và áp dụng vào việc làm bài tập một cách hiệu quả hơn. Chúc các bạn ôn tập thành công và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.

III. Các dạng bài toán bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức.
Dạng 2: Chứng minh biểu thức A mà không phụ thuộc vào biến.
Dạng 3: Áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức.
Dạng 4: Chứng minh hai đẳng thức bằng nhau.
Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức.
Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng 7: Tìm giá trị của x.
Dạng 8: Thực hiện phép tính phân thức.
Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức.

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức.

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: A = x² – 4x + 4 khi x = -1

Giải.

Chúng ta có: A = x² – 4x + 4 = A = x² – 2.x.2 + 2² = (x – 2)²

Khi x = -1: A = ((-1) – 2)² = (-3)² = 9

Do đó: A(-1) = 9

Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

B = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

Giải.

B = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

= x² – 2x + 1 – x² + 3x + 3 – x

= 4 : là một hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C = x² – 2x + 5

Giải.

Ta có : C = x² – 2x + 5 = (x² – 2x + 1) + 4 = (x – 1)²+ 4

Mà : (x – 1)²≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (x – 1)²+ 4 ≥ 4 hay C ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

Nên : C_min= 4 khi x = 1

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

D = 4x – x²

Giải.

Ta có : D = 4x – x²= 4 – 4 + 4x – x²= 4 – (4 + x²– 4x) = 4 – (x – 2)²

Mà : -(x – 2)²≤ 0 với mọi x.

Suy ra : 4 – (x – 2)²≤ 4 hay D ≤ 4

Dấu “=” xuất hiện khi : x – 2 = 0 hoặc x = 2

Vậy : D_max = 4 khi x = 2.

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

(a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Giải.

VT = (a + b)³ – (a – b)³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³

= 6a²b + 2b³

= 2b(3a² + b²) ->đpcm.

Vậy : (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức

Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

F = x² – 4x + 4 – y²

Giải.

Ta có : F = x² – 4x + 4 – y²

= (x² – 4x + 4) – y² [nhóm hạng tử]

= (x – 2)²– y² [đẳng thức số 2]

= (x – 2 – y )( x – 2 + y) [đẳng thức số 3]

Vậy : F = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Bài 1: A = x³ – 4x² + 4x

= x(x² – 4x + 4)

= x(x² – 2.2x + 2²)

= x(x – 2)²

Bài 2: B = x² – 2xy – x + 2y

= (x²– x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

Bài 3: C = x² – 5x + 6

= x² – 5x + 6

= (x² – x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

Bài 3: C = x² – 5x + 6

Giải.

x² ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0

x² ( x – 3 ) – 4(x – 3 ) = 0

( x – 3 ) (x² – 4) = 0

( x – 3 ) (x – 2)(x + 2) = 0

( x – 3 ) = 0 hay (x – 2) = 0 hay (x + 2) = 0

x = 3 hay x = 2 hay x = –2

vậy : x = 3; x = 2; x = –2

Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức

$\frac{x^3-1}{x^2 -2x+1}$

Giải.

$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x -1)^2}$ $\frac{x^2+x+1}{x -1}$ $\frac{(-1)^2+(-1)+1}{-1 -1} =\frac{-1}{2}$ $=\frac{-1}{2}$

IV. Những điều cần nhớ về hằng đẳng thức

Chú ý: a và b có thể là các biểu thức đơn giản hoặc phức tạp, hoặc là một biểu thức bất kỳ. Khi áp dụng hằng đẳng thức vào các bài toán cụ thể, điều kiện về a, b cần phải được xác định như sau:

Chuyển đổi giữa tổng và tích là hoạt động chính khi sử dụng các hằng đẳng thức. Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cần phải được rèn luyện kỹ lưỡng để áp dụng hằng đẳng thức một cách rõ ràng và chính xác.
Để hiểu sâu hơn về việc sử dụng hằng đẳng thức, bạn có thể chứng minh tính đúng đắn của chúng bằng cách chuyển đổi ngược lại và sử dụng các hằng đẳng thức khác liên quan đến bài toán.
Khi áp dụng hằng đẳng thức vào phân thức đại số, vì tính đa dạng của mỗi bài toán, bạn cần lưu ý rằng có nhiều cách biến đổi công thức, nhưng bản chất vẫn là những công thức đã được nêu trên, chỉ cần điều chỉnh sao cho phù hợp với bài toán cụ thể.

V. Bài tập về hằng đẳng thức

1. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính

a) (x + 2y)²;

b) (x - 3y)(x + 3y);

c) (5 - x)².

d) (x - 1)²;

e) (3 - y)²

f) (x - )².

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng

a) x²+ 6x + 9;

b) x²+ x + ;

c) 2xy² + x²y⁴ + 1.

Bài 3: Rút gọn biểu thức

a) (x + y)²+ (x - y)²;

b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)²+ (x + y)²;

Bài 4: Tìm x biết

a) (2x + 1)²- 4(x + 2)²= 9;

b) (x + 3)² - (x - 4)( x + 8) = 1;

c) 3(x + 2)²+ (2x - 1)²- 7(x + 3)(x - 3) = 36;

Bài 5: Tính nhẩm các hằng đẳng thức sau

a) 19²; 28²; 81²; 91²;

b) 19, 21; 29, 31; 39, 41;

c) 29 bình phương - 8 bình phương; 56 bình phương - 46 bình phương; 67 bình phương - 56 bình phương;

Bài 6: Chứng minh rằng tất cả các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến x

a) 9x bình phương - 6x + 2;

b) x bình phương + x + 1;

c) 2x bình phương + 2x + 1.

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a) A = x bình phương - 3x + 5;

b) B = (2x - 1) bình phương + (x + 2) bình phương;

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

a) A = 4 - x bình phương + 2x;

b) B = 4x - x bình phương;

Bài 9: Tính giá trị của biểu thức

A. x bình phương + 12x bình phương + 48x + 64 tại x = 6

B = x bình phương - 6x bình phương + 12x - 8 tại x = 22

C= x bình phương + 9x bình phương + 27x + 27 tại x= - 103

D = x bình phương - 15x bình phương + 75x - 125 tại x = 25

Bài 10.Tìm x biết:

a) (x - 3)(x bình phương + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;

b) (x + 1) bình phương - (x - 1) bình phương - 6(x - 1) bình phương = -10

Bài 11: Rút gọn

a. (x - 2)³ – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)

b. (x - 2)(x² – 2x + 4)(x + 2)(x² + 2x +4)

d. (x + y)³ – (x - y)³ – 2y³

e. (x + y + z)² – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)

e. (2x + y)(4x bình phương – 2xy + y bình phương) – (2x - y)(4x bình phương + 2xy + y bình phương)

Bài 12: Chứng minh

a. a bình phương + b bình phương = (a + b) bình phương – 3ab(a + b)

b. a bình phương - b bình phương = (a - b) bình phương – 3ab(a - b)

Bài 13: a. Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức x bình phương + y bình phương + 3xy

Cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức x bình phương - y bình phương - 3xy

Bài 14: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A = (2x + 3)(4x bình phương – 6x + 9) – 2(4x bình phương – 1)

B = (x + y)(x bình phương – xy + y bình phương) + (x - y)(x bình phương + xy + y bình phương) – 2x bình phương

Bài 15. Cho a + b + c = 0. Chứng minh M= N= P với

M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b);

2. Bài tập nâng cao

Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x + 1.

Lời Giải

Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1.

A = 2x² – 5x + 3

= 2(y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10

Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:

a) 127² + 146.127 + 73²

b) 9 bình phương.2 bình phương – (18 bình phương – 1)(18 bình phương + 1)

c) 100 bình phương – 99 bình phương + 98 bình phương – 97 bình phương + …+ 2 bình phương – 1 bình phương

d) (20 bình phương + 18 bình phương + 16 bình phương +…+ 4 bình phương + 2 bình phương) – ( 19 bình phương + 17 bình phương + 15 bình phương +…+ 3 bình phương + 1 bình phương)

Lời Giải

a) A = 127 bình phương + 146.127 + 73 bình phương

= 127 bình phương + 2.73.127 + 73 bình phương

= (127 + 73) bình phương

= 200 bình phương

= 40000 .

b) B = 9 bình phương.2 bình phương – (18 bình phương – 1)(18 bình phương + 1)

= 18 bình phương – (18 bình phương – 1)

= 1

c) C = 100 bình phương – 99 bình phương + 98 bình phương – 97 bình phương + …+ 2 bình phương – 1 bình phương

= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)

= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1

= 5050.

d) D = (20 bình phương + 18 bình phương + 16 bình phương +…+ 4 bình phương + 2 bình phương) – ( 19 bình phương + 17 bình phương + 15 bình phương +…+ 3 bình phương + 1 bình phương)

= (20 bình phương – 19 bình phương) + (18 bình phương – 17 bình phương) + (16 bình phương – 15 bình phương)+ …+ (4 bình phương – 3 bình phương) + (2 bình phương – 1 bình phương)

= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + ( 16 +15)(16 – 15)+ …+ (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)

= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1

= 210

Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?

a) A = (2 + 1)(2 bình phương+ 1)(2 bình phương + 1)(2 bình phương + 1)(2 bình phương + 1) và B = 2 bình phương

b) A = 1989.1991 và B = 1990 bình phương

Gợi ý đáp án

a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:

A = (2 – 1)(2 + 1)(2 bình phương + 1)(2 bình phương + 1)(2 bình phương + 1)(2 bình phương + 1)

Ta áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được:

A = 2 bình phương – 1.

=> Vậy A < B.

b) Ta đặt 1990 = x => B = x²

Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x² – 1

=> B > A là 1.

Bài 4. Chứng minh rằng:

a) a(a – 6) + 10 > 0.

b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0.

c) a² + a + 1 > 0.

Lời Giải

a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 ≥ 1

=> VT > 0

b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 ≥ 3

=> VT > 0

c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½ )² + ¾ ≥ ¾ >0.

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Hằng đẳng thức nào giúp tính bình phương của một tổng hai số?

Hằng đẳng thức tính bình phương của một tổng hai số được diễn giải là bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.

Các dạng bài toán nào thường gặp liên quan đến hằng đẳng thức?

Có nhiều dạng bài toán như tính giá trị của biểu thức, chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến, và áp dụng để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của biểu thức.

Làm thế nào để sử dụng hằng đẳng thức trong việc giải bài tập đại số?

Khi sử dụng hằng đẳng thức, bạn cần chú ý chuyển đổi giữa tổng và tích, đồng thời rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức để áp dụng chính xác vào bài toán cụ thể.

Hệ quả của các hằng đẳng thức có vai trò gì trong toán học?

Hệ quả của hằng đẳng thức thường được sử dụng để biến đổi các biểu thức, giúp chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức trong các bài toán toán học.

Tại sao việc nhớ các hằng đẳng thức lại quan trọng với học sinh?

Nhớ các hằng đẳng thức giúp học sinh giải quyết bài tập nhanh chóng và hiệu quả hơn, đồng thời cung cấp nền tảng vững chắc cho việc học các khái niệm toán học nâng cao.

Có cần thực hành nhiều để thành thạo hằng đẳng thức không?

Có, việc thực hành nhiều bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững các hằng đẳng thức và áp dụng chúng một cách linh hoạt trong các tình huống khác nhau.