Buzz
1. Phương pháp giải toán bằng hệ phương trình
Phương pháp giải toán bằng hệ phương trình là công cụ quan trọng giúp giải quyết các bài toán phức tạp trong toán học và khoa học. Quy trình thường bao gồm ba bước chính.
Bước 1: Xây dựng hệ phương trình
Trong bước này, chúng ta xác định các ẩn số và các điều kiện liên quan. Chúng ta cần nắm rõ thông tin quan trọng về bài toán và biểu diễn các đại lượng chưa biết bằng các ẩn, đồng thời các đại lượng đã biết. Cuối cùng, thiết lập hệ phương trình mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình
Sau khi lập xong hệ phương trình, chúng ta tiến hành giải bằng các phương pháp như thế, Cramer, hoặc các kỹ thuật số học hiện đại.
Bước 3: Đối chiếu và kết luận
Cuối cùng, so sánh kết quả giải hệ phương trình với các điều kiện và ràng buộc của bài toán. Nếu kết quả phù hợp, đó là lời giải đúng. Ngược lại, cần xem xét lại quá trình thiết lập hệ phương trình hoặc kiểm tra các thông số ban đầu.
Phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán phức tạp mà còn mở rộng hiểu biết về mối liên hệ giữa các yếu tố trong hệ thống phức tạp. Đây là công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, có thể áp dụng rộng rãi để tìm ra các giải pháp hiệu quả cho vấn đề thực tế.
2. Các loại bài toán giải thông qua việc lập hệ phương trình
Loại 1. Giải bài toán qua việc lập hệ phương trình về chuyển động
Loại 2. Giải bài toán qua việc lập hệ phương trình về năng suất
Loại 3. Giải bài toán qua việc lập hệ phương trình về số lượng và chữ số
Loại 4. Giải bài toán qua việc lập hệ phương trình trong hình học
Loại 5. Giải bài toán qua việc lập hệ phương trình với tỷ lệ phần trăm
3. 83 bài toán mới nhất giải qua lập hệ phương trình
Bài 1. Hai xe ô tô khởi hành đồng thời từ hai tỉnh A và B, cách nhau 400km, di chuyển về phía nhau và gặp nhau sau 5 giờ. Nếu vận tốc của mỗi xe không đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút, thì hai xe sẽ gặp nhau sau 5 giờ 22 phút kể từ khi xe chậm bắt đầu. Tính vận tốc của từng xe.
Hướng dẫn giải bài toán
Vận tốc của xe nhanh là x km/h, trong khi vận tốc của xe chậm là y km/h (x, y > 0).
Hai xe xuất phát cùng lúc và di chuyển ngược chiều. Sau 5 giờ, chúng gặp nhau, dẫn đến phương trình 5(x+y)=400 (1).
X = 80 - y và thay vào (3)
141(80 - y) + 161y = 1200
11280 - 141y + 161y = 12000
20y = 12000 - 11280
20y = 720
y = 720 / 20 = 36 km/h
Thay y = 36 vào
X - 80 - 36 = 44 km/h
Do đó, vận tốc của xe nhanh là 44 km/h
.............................vận tốc chậm là 36 km/h
Bài 2:
Hai người cùng hoàn thành một công việc trong 7 giờ 12 phút. Nếu người thứ nhất làm xong trong 4 giờ và người thứ hai trong 3 giờ thì họ đã hoàn thành 50% công việc. Hỏi mỗi người nếu làm một mình thì cần bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc?
Hướng dẫn giải
Gọi thời gian cần để người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là x giờ (x > 0) và thời gian để người thứ hai hoàn thành công việc một mình là y giờ (y > 0)
Trong 1 giờ, tổng công việc mà cả hai người hoàn thành là 1/x + 1/y = 5/36
Trong 4 giờ, người thứ nhất và trong 3 giờ, người thứ hai đã hoàn thành được 4/x + 3/y = 1/2
Giải phương trình ta có x = 12; y = 18
Bài 3
Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất đã chế tạo được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ 1 tăng 15% và tổ 2 tăng 20%, dẫn đến tổng số chi tiết máy trong tháng hai là 945. Hãy tính số chi tiết máy mỗi tổ sản xuất được trong tháng đầu.
Hướng dẫn giải
Gọi số chi tiết máy mà tổ 1 sản xuất được trong tháng đầu là x
Gọi số chi tiết máy mà tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu là y, với x, y thuộc tập hợp số nguyên dương
Giải phương trình, ta có x = 300 và y = 500
Bài 4: Một đội xe theo kế hoạch phải vận chuyển tổng cộng 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Tuy nhiên, mỗi ngày đội xe chở vượt mức 55 tấn, vì vậy đội hoàn thành kế hoạch sớm hơn 11 ngày và chở thêm được 1010 tấn. Hãy xác định theo kế hoạch đội xe phải vận chuyển hàng trong bao nhiêu ngày.
Hướng dẫn giải
Gọi số ngày theo kế hoạch để đội xe hoàn thành việc chở hàng là x ngày (x > 1)
Theo kế hoạch
Số hàng mà mỗi đội cần vận chuyển là 140 tấn
Trong thực tế
Số lượng hàng mà đội phải vận chuyển là 140 + 10 = 150 tấn
Thời gian để đội hoàn thành việc vận chuyển số hàng là x−1 ngày
Do thực tế đội chở được nhiều hơn kế hoạch 5 tấn mỗi ngày, ta có phương trình:
Giải phương trình, ta tìm được x = 7 hoặc x = −4 (loại)
Bài 5: Cho hai số nguyên dương, biết rằng gấp đôi số đầu tiên hơn ba lần số thứ hai là 9 và chênh lệch bình phương của chúng là 119. Tìm số lớn hơn.
A. 12
B. 13
C. 32
D. 33
Kết quả:
Gọi số đầu tiên là a, với a ∈ N và số thứ hai là b, với b ∈ N
Vì số đầu tiên gấp đôi hơn ba lần số thứ hai là 9, ta có:
Do hiệu giữa các bình phương của chúng là 119, ta có phương trình:
a² – b² = 119 hay
Chọn phương án A.
Câu 6: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Nếu chiều dài và chiều rộng đều tăng thêm 5 cm, ta được một hình chữ nhật mới có diện tích 153 cm². Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu.
A. 16
B. 32
C. 34
D. 36
Giải thích:
Gọi x là chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu (x > 0) (cm)
Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là: 3x (cm)
Chiều rộng của hình chữ nhật sau khi tăng là: x + 5 (cm)
Chiều dài của hình chữ nhật sau khi tăng là: 3x + 5 (cm)
Dựa vào bài toán, ta có phương trình: (x + 5)(3x + 5) = 153
<=> 3x² + 20x - 128 = 0 => x = 4 (N); x = -32/3 (L)
Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu lần lượt là: 12 cm và 4 cm
Vậy chu vi của hình chữ nhật ban đầu là: (12 + 4) × 2 = 32 (cm)
Bài 7: Xét tam giác vuông với cạnh huyền dài 20 cm. Hai cạnh góc vuông chênh lệch nhau 4 cm. Một trong hai cạnh góc vuông của tam giác có độ dài là:
A. 16
B. 15
C. 14
D. 13
Giải thích:
Gọi cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông là x (cm); với 0 < x < 20
Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông có độ dài là: x + 4
Vì cạnh huyền dài 20 cm, áp dụng định lý Pytago ta có:
x² + (x + 4)² = 20² <=> x² + (x + 4)² = 400
<=> 2x² + 8x - 384 = 0 <=> x = 12 (N) hoặc x = -16 (L)
Do đó, hai cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt có độ dài là: 12 cm và 16 cm
Chọn phương án A.
Bài 8: Một người dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 90 km trong thời gian cố định. Sau khi đi được 1 giờ và nghỉ 9 phút, để kịp thời gian, người ấy phải tăng tốc độ thêm 4 km/h. Tính vận tốc ban đầu của người đó.
A. 36 km/h
B. 40 km/h
C. 45 km/h
D. 50 km/h
Giải thích:
Giả sử vận tốc ban đầu của người đó là x (km/h), với x > 0.
Thời gian dự kiến để hoàn thành quãng đường là 90/x (giờ).
Sau 1 giờ, người đó đã đi được quãng đường là x (km).
Quãng đường còn lại để di chuyển là 90 – x (km).
Sau khi tăng tốc, vận tốc của người đó là x + 4 (km/h).
Theo đề bài, ta có phương trình sau:
.png)
Vận tốc ban đầu của người đó là 36 km/h.
Chọn phương án A.
