Ác-si-mét

Ác-si-mét ở Syracuse (tiếng Hy Lạp: Ἀρχιμήδης; khoảng năm 287 trước Công Nguyên – khoảng năm 212 trước Công Nguyên), phiên âm tiếng Việt là Ác-si-mét, là một nhà toán học, nhà vật lý, kỹ sư, nhà phát minh và nhà thiên văn học người Hy Lạp. Dù thông tin về cuộc đời ông khá ít ỏi, ông vẫn được xem là một trong những nhà khoa học vĩ đại của thời kỳ cổ đại.

Ông thường được coi là nhà toán học vĩ đại nhất của thời kỳ cổ đại và là một trong những nhà toán học lỗi lạc nhất mọi thời đại. Ông đã phát triển phép vi tích phân và giải tích hiện đại bằng cách áp dụng các khái niệm về vô cùng bé và phương pháp vét cạn để suy ra và chứng minh các định lý hình học, bao gồm diện tích hình tròn, diện tích bề mặt và thể tích hình cầu, cũng như diện tích dưới đường parabol. Những thành tựu toán học khác của ông bao gồm việc suy ra số pi với độ chính xác tương đối, định nghĩa đường xoáy ốc mang tên ông (xoắn ốc Archimedes), và phát triển hệ thống sử dụng phép lũy thừa để biểu thị các số lớn. Ông cũng là một trong những người đầu tiên áp dụng toán học vào các bài toán vật lý, thiết lập các ngành thủy tĩnh học và tĩnh học, và giải thích nguyên lý của đòn bẩy. Ông còn nổi tiếng với việc thiết kế nhiều loại máy móc, như máy bơm trục vít, ròng rọc phức hợp, và các công cụ chiến tranh để bảo vệ quê hương Syracuse.

Ác-si-mét qua đời trong trận bao vây Syracuse khi bị một lính Roma giết mặc dù đã có lệnh không được làm hại ông. Cicero đã kể lại lần ông đến thăm mộ của Ác-si-mét, nơi dựng một hình cầu và một ống hình trụ, đúng theo yêu cầu của Ác-si-mét, tượng trưng cho các khám phá toán học của ông.

Khác với các phát minh của mình, các công trình toán học của Ác-si-mét không được nhiều người biết đến trong thời kỳ cổ đại. Các nhà toán học ở Alexandria đã đọc và trích dẫn công trình của ông, nhưng phải đến khoảng năm 530 sau Công Nguyên, Isidore của Miletus mới biên soạn đầy đủ các tác phẩm của ông. Những bình luận về các tác phẩm của Ác-si-mét do Eutocius viết vào thế kỷ VI Công Nguyên đã giúp công trình của ông được biết đến rộng rãi hơn. Số lượng bản sao các tác phẩm của Ác-si-mét còn lại qua thời Trung Cổ khá ít, nhưng vẫn là nguồn cảm hứng quan trọng cho các nhà khoa học trong thời kỳ Phục hưng. Việc phát hiện các công trình chưa được biết đến của Ác-si-mét vào năm 1906 trong Sách da cừu Archimedes đã cung cấp cái nhìn mới về cách ông đạt được các kết luận toán học của mình.

Thông tin Tiểu sử

Archimedes sinh vào khoảng năm 287 trước Công Nguyên tại thành phố cảng Syracuse, Sicilia, khi đó là một thuộc địa tự trị của Magna Graecia. Ngày sinh của ông được xác định dựa trên tuyên bố của nhà sử học Hy Lạp Byzantine John Tzetzes rằng Archimedes sống được 75 năm. Trong tác phẩm Người đếm cát, Archimedes đề cập đến cha mình là Phidias, một nhà thiên văn học không được biết đến nhiều thông tin khác. Plutarch ghi trong cuốn Các cuộc đời song song rằng Archimedes có mối quan hệ họ hàng với Vua Hiero II, người cai trị Syracuse. Một tiểu sử về Archimedes do bạn ông là Heracleides viết nhưng đã bị mất, làm cho thông tin về cuộc đời ông càng thêm mờ mịt. Ví dụ, không rõ liệu ông đã kết hôn hay có con cái hay không. Trong thời trẻ, Archimedes có thể đã học tập tại Alexandria, Ai Cập, nơi Conon của Samos và Eratosthenes của Cyrene cũng theo học. Ông coi Conon của Samos là bạn và hai tác phẩm của ông (Phương pháp Định lý Cơ học và Vấn đề Gia súc) có lời mở đầu nhắc đến Eratosthenes.

Archimedes qua đời vào khoảng năm 212 trước Công Nguyên trong cuộc Chiến tranh Punic lần thứ hai, khi các lực lượng La Mã dưới sự chỉ huy của Tướng Marcus Claudius Marcellus chiếm thành phố Syracuse sau một cuộc bao vây kéo dài hai năm. Theo câu chuyện nổi tiếng của Plutarch, khi thành phố bị chiếm, Archimedes đang suy ngẫm về một biểu đồ toán học. Một binh sĩ La Mã ra lệnh cho ông gặp Tướng Marcellus nhưng ông từ chối, nói rằng mình cần giải quyết xong vấn đề. Người lính nổi giận và đã giết Archimedes. Plutarch cũng kể một phiên bản ít được biết đến về cái chết của Archimedes, cho rằng ông có thể đã bị giết khi đang cố gắng đầu hàng một binh sĩ La Mã, mang theo các dụng cụ toán học mà người lính tưởng là đồ quý giá. Tướng Marcellus được cho là đã tức giận vì cái chết của Archimedes vì ông coi ông là một tài sản khoa học quý giá và đã ra lệnh không được làm hại ông.

Những lời cuối cùng được cho là của Archimedes là 'Đừng làm rối các hình tròn của tôi' (tiếng Hy Lạp: μή μου τούς κύκλους τάραττε), ám chỉ đến các đường tròn toán học mà ông đang nghiên cứu khi bị lính La Mã làm phiền. Câu nói này thường được ghi bằng tiếng Latin là 'Noli turbare circulos meos,' nhưng không có bằng chứng rõ ràng cho thấy Archimedes thực sự đã nói những lời này, và chúng không xuất hiện trong tường thuật của Plutarch.

Mộ của Archimedes có một tác phẩm điêu khắc thể hiện một bài toán yêu thích của ông, gồm một hình cầu và một hình trụ có cùng chiều cao và bán kính. Archimedes đã chứng minh rằng thể tích và diện tích bề mặt của hình cầu bằng hai phần ba thể tích và diện tích của hình trụ bao gồm cả các đáy của nó. Vào năm 75 trước Công Nguyên, 137 năm sau khi ông qua đời, nhà hùng biện La Mã Cicero khi đó đang giữ chức vụ quan coi quốc khố ở Sicilia. Ông đã nghe nhiều câu chuyện về ngôi mộ của Archimedes nhưng không ai trong số người dân địa phương có thể chỉ đường cho ông. Cuối cùng, Cicero đã tìm thấy ngôi mộ gần cổng Agrigentine ở Syracuse, trong tình trạng bị bỏ hoang và bị cây bụi phủ kín. Cicero đã dọn dẹp ngôi mộ và có thể thấy các hình khắc và đọc một số câu thơ được thêm vào như lời tri ân.

Các lý thuyết phổ biến về cuộc đời của Archimedes được viết nhiều năm sau khi ông qua đời bởi các nhà sử học La Mã cổ đại. Lời kể của Polybius về cuộc bao vây Syracuse trong tác phẩm Lịch sử Thế giới được viết khoảng bảy mươi năm sau cái chết của Archimedes và sau đó được Plutarch và Livy sử dụng như một nguồn thông tin. Nó không cung cấp nhiều thông tin về bản thân Archimedes, mà chủ yếu tập trung vào các máy móc chiến tranh mà ông được cho là đã chế tạo để bảo vệ thành phố.

Những phát minh và sáng tạo

Vương miện Vàng

Một giai thoại nổi tiếng về Archimedes kể rằng ông đã phát minh ra phương pháp xác định thể tích của vật thể có hình dạng không đều. Theo Vitruvius, một chiếc vương miện mới hình vòng nguyệt quế được chế tác cho Vua Hiero II, và Archimedes được giao nhiệm vụ kiểm tra xem vương miện có phải làm từ vàng nguyên chất hay có thêm bạc. Archimedes phải giải quyết vấn đề mà không làm hỏng vương miện, vì vậy ông không thể đúc chảy nó thành hình dạng bình thường để tính thể tích. Trong lúc tắm, ông nhận thấy mức nước trong bồn tăng lên khi ông bước vào, và nhận ra rằng hiện tượng này có thể giúp xác định thể tích của vương miện. Vì nước không bị nén, vương miện bị ngâm trong nước sẽ làm tràn ra lượng nước tương đương với thể tích của nó. Bằng cách chia khối lượng vương miện cho thể tích nước bị chiếm chỗ, có thể xác định khối lượng riêng của vương miện và so sánh với khối lượng riêng của vàng. Sau đó, Archimedes đã chạy ra ngoài phố trong tình trạng không mặc gì, quá phấn khích với phát hiện của mình, kêu lên 'Ơ-rê-ca!' (tiếng Hy Lạp: 'εὕρηκα!,' có nghĩa là 'Tôi đã tìm ra!').

Câu chuyện về chiếc vương miện vàng không có trong các tác phẩm của Archimedes mà chúng ta biết. Hơn nữa, tính thực tiễn của phương pháp mô tả trong câu chuyện này có thể đã bị nghi ngờ do yêu cầu độ chính xác cao để xác định lượng nước bị chiếm chỗ. Archimedes có thể đã tìm kiếm giải pháp dựa trên nguyên lý đã được biết trong thủy tĩnh học như Nguyên lý Archimedes, được ông mô tả trong luận văn Về các vật thể nổi. Nguyên lý này cho rằng một vật thể ngâm trong chất lỏng sẽ bị một lực đẩy lên tương đương với trọng lượng của chất lỏng bị chiếm chỗ. Sử dụng nguyên lý này, có thể so sánh mật độ của chiếc vương miện với mật độ của vàng khối bằng cách cân chiếc vương miện cùng với một khối vàng chuẩn và sau đó nhúng cả hai vào nước. Nếu chiếc vương miện có mật độ thấp hơn vàng, nó sẽ chiếm chỗ nhiều nước hơn vì có thể tích lớn hơn, và do đó sẽ nhận lực đẩy lớn hơn mẫu chuẩn. Sự khác biệt này sẽ khiến chiếc cân bị lệch. Galileo cho rằng phương pháp này có thể tương tự như phương pháp Archimedes đã sử dụng, vì nó không chỉ chính xác mà còn dựa trên những nguyên lý do chính Archimedes khám phá.

Vít Archimedes

Một phần lớn các sáng tạo kỹ thuật của Archimedes bắt nguồn từ nhu cầu thực tiễn của thành phố Syracuse. Athenaeus người Hy Lạp đã mô tả việc Vua Hieron II yêu cầu Archimedes thiết kế một con tàu khổng lồ mang tên Syracusia. Con tàu này không chỉ phục vụ vận chuyển hàng hóa và cung cấp các tiện nghi xa hoa mà còn có thể đóng vai trò như một tàu chiến. Syracusia được cho là con tàu lớn nhất trong thời kỳ cổ đại. Athenaeus cho biết nó có thể chở tới 600 người và đi kèm với những tiện nghi như khu vườn, phòng thể dục, và một ngôi đền dành cho nữ thần Aphrodite. Để đối phó với nguy cơ rò rỉ nước qua vỏ tàu, Archimedes đã thiết kế một hệ thống đinh ốc để loại bỏ nước ở đáy tàu. Cỗ máy này hoạt động bằng tay và có thể được sử dụng để chuyển nước từ nơi thấp đến các kênh thủy lợi. Đinh ốc Archimedes hiện nay vẫn được dùng để bơm chất lỏng và chất rắn như than và ngũ cốc. Vitruvius đã mô tả đinh ốc Archimedes trong thời La Mã cổ đại, cho rằng nó có thể là một cải tiến của bơm đinh ốc từng được dùng trong Vườn treo Babylon.

Móng vuốt Archimedes

Móng vuốt Archimedes là một vũ khí mà ông được cho là đã thiết kế để bảo vệ thành phố Syracuse. Còn được gọi là 'kẻ phá tàu,' móng vuốt này có dạng cánh tay kiểu cần cẩu với một móc kim loại lớn treo ở đầu. Khi móng vuốt được ném vào tàu địch, cánh tay sẽ nâng tàu lên khỏi mặt nước và có khả năng làm đắm tàu. Các thí nghiệm hiện đại đã được thực hiện để kiểm tra hiệu quả của móng vuốt, và một bộ phim tài liệu năm 2005 có tên Siêu vũ khí ở thế giới cổ đại đã chế tạo một phiên bản của móng vuốt và xác nhận rằng nó có khả năng hoạt động.

Tia chiếu của Archimedes

Vào thế kỷ II, tác giả Lucian đã ghi chép rằng trong cuộc bao vây Syracuse (khoảng năm 214–212 trước Công Nguyên), Archimedes đã sử dụng lửa để thiêu rụi các tàu chiến của kẻ thù. Nhiều thế kỷ sau, Anthemius của Tralles nhắc đến những gương cháy như một trong những vũ khí của Archimedes. Thiết bị này, thường được gọi là 'tia chiếu của Archimedes', đã được dùng để tập trung ánh sáng mặt trời vào các tàu địch, gây ra hiện tượng bốc cháy.

Vũ khí nổi tiếng này đã gây ra nhiều cuộc tranh luận về tính khả thi của nó từ thời Phục Hưng. René Descartes coi đây là một huyền thoại, trong khi các nhà nghiên cứu hiện đại đã cố gắng tái tạo hiệu ứng này bằng những phương tiện có sẵn trong thời kỳ của Archimedes. Người ta cho rằng một hệ thống các tấm đồng hoặc đồng thau được đánh bóng đã được sử dụng để hội tụ ánh sáng mặt trời vào tàu chiến, tương tự như cách hoạt động của lò mặt trời.

Vào năm 1973, nhà khoa học Hy Lạp Ioannis Sakkas đã thực hiện một cuộc thử nghiệm về tia chiếu của Archimedes tại căn cứ hải quân Skaramagas gần Athens. Trong thử nghiệm này, 70 chiếc gương với lớp phủ đồng, mỗi chiếc có kích thước khoảng 5x3 feet (1.5 x 1 m), được dùng để chiếu vào một miếng gỗ giả làm tàu chiến La Mã ở khoảng cách khoảng 160 feet (50 m). Khi các gương được sắp xếp chính xác, miếng gỗ bốc cháy chỉ sau vài giây. Miếng gỗ có lớp sơn nhựa đường, có thể đã góp phần vào việc bắt lửa.

Vào tháng 10 năm 2005, một nhóm sinh viên từ Viện Công nghệ Massachusetts đã tiến hành một thí nghiệm với 127 chiếc gương vuông 30 cm mỗi chiếc, chiếu vào một tàu gỗ ở khoảng cách khoảng 100 feet (30 m). Lửa đã bùng phát ở một bên tàu, nhưng chỉ trong điều kiện trời quang và tàu đứng yên trong khoảng 10 phút. Nhóm nghiên cứu kết luận rằng đây có thể là một loại vũ khí khả thi trong những điều kiện như vậy. Nhóm MIT đã lặp lại thí nghiệm cho chương trình TV MythBusters, sử dụng một tàu câu cá gỗ ở San Francisco làm mục tiêu. Một lần nữa, chỉ xuất hiện một số điểm cháy than và ít lửa. Để gỗ bắt lửa, nhiệt độ cần đạt khoảng 300 độ Celsius (570 °F).

Khi chương trình MythBusters phát sóng kết quả của thí nghiệm tại San Francisco vào tháng 1 năm 2006, kết luận được đưa ra là 'busted' (không chính xác) vì thời gian cần thiết và các điều kiện thời tiết lý tưởng để tạo ra sự cháy. Họ cũng chỉ ra rằng, với việc Syracuse hướng ra phía đông ra biển, hạm đội La Mã sẽ phải bị tấn công vào buổi sáng để tận dụng ánh sáng mặt trời hiệu quả nhất. MythBusters cũng cho thấy rằng các vũ khí truyền thống như tên lửa hoặc bát lửa từ máy phóng có thể dễ dàng hơn nhiều để đốt cháy một tàu ở khoảng cách gần.

Các phát minh và sáng tạo khác

Mặc dù Archimedes không phải là người phát minh ra đòn bẩy, ông đã giải thích nguyên lý của nó trong tác phẩm Về sự cân bằng của các hành tinh. Các mô tả về đòn bẩy đã có từ trước đó trong trường phái Peripatetic của học trò Aristotle và đôi khi được gán cho Archytas. Theo Pappus của Alexandria, công trình của Archimedes về đòn bẩy đã dẫn ông đến câu nói nổi tiếng: 'Hãy cho tôi một điểm tựa và tôi sẽ nâng bổng cả Trái Đất' (tiếng Hy Lạp: δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω). Plutarch đã mô tả cách Archimedes thiết kế các hệ thống palăng cho phép thủy thủ sử dụng nguyên lý đòn bẩy để di chuyển các vật nặng. Archimedes cũng được ghi nhận với việc cải tiến máy bắn đá và phát minh ra đồng hồ đo trong Chiến tranh Punic lần thứ nhất. Đồng hồ đo là một chiếc xe có cơ cấu bánh xe nhả một quả bóng vào một thùng chứa sau mỗi dặm di chuyển.

Cicero (106–43 trước Công Nguyên) đã miêu tả Archimedes trong một đoạn ngắn trong cuốn đối thoại De re publica, diễn ra vào năm 129 trước Công Nguyên. Sau khi Syracuse bị chiếm vào khoảng năm 212 trước Công Nguyên, Tướng Marcus Claudius Marcellus được cho là đã mang về Roma hai cơ cấu dùng trong thiên văn học, mô phỏng chuyển động của Mặt trời, Mặt Trăng và năm hành tinh. Cicero nhắc đến những cơ cấu tương tự của Thales của Miletus và Eudoxus của Cnidus. Đối thoại cho biết Marcellus giữ một trong hai thiết bị làm của cải duy nhất của mình ở Syracuse và tặng chiếc kia cho Đền Đức hạnh tại Roma. Cỗ máy của Marcellus, theo Cicero, đã được Gaius Sulpicius Gallus giới thiệu với Lucius Furius Philus, người đã mô tả nó:

Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione. — Khi Gallus làm chuyển động quả địa cầu, Mặt Trăng đi theo Mặt trời bằng nhiều vòng xoay trên thiết bị bằng đồng đó như trên bầu trời, và trên đó Trái Đất của Mặt trời cũng có kiểu nhật thực giống nhau và Mặt Trăng sẽ vào điểm nơi nó che bóng lên Trái Đất, khi Mặt trời thẳng hàng.

Đoạn này miêu tả một mô hình vũ trụ hoặc cơ cấu thiên văn. Pappus của Alexandria cho biết Archimedes đã có một bản viết tay (hiện đã mất) về việc chế tạo các cơ cấu này có tên Về việc chế tạo các Mặt cầu. Nghiên cứu hiện đại tập trung vào cơ cấu Antikythera, một thiết bị cổ đại khác có thể được thiết kế với cùng mục đích. Việc chế tạo các cơ cấu này đòi hỏi sự hiểu biết sâu rộng về bánh răng vi sai. Thiết bị này trước đây được cho là vượt quá khả năng kỹ thuật của thời kỳ cổ đại, nhưng phát hiện cơ cấu Antikythera vào năm 1902 đã xác nhận rằng các thiết bị như vậy đã được người Hy Lạp cổ đại biết đến.

Toán học

Mặc dù Archimedes thường được biết đến như một nhà thiết kế cơ khí tài ba, ông cũng có những đóng góp quan trọng trong lĩnh vực toán học. Plutarch đã viết về ông: 'Ông dồn toàn bộ đam mê và tham vọng vào những suy nghĩ thuần túy, không bị ảnh hưởng bởi những nhu cầu tầm thường của cuộc sống.'

Archimedes đã sử dụng các vi phân tương tự như cách tính tích phân hiện đại. Bằng phương pháp chứng minh mâu thuẫn (reductio ad absurdum), ông có thể đưa ra các câu trả lời chính xác cho các bài toán, đồng thời xác định các giới hạn của kết quả. Phương pháp này, được gọi là phương pháp rút gọn, đã được ông dùng để ước tính giá trị của số π (pi). Ông thực hiện điều này bằng cách vẽ một hình đa giác lớn bên ngoài và một hình đa giác nhỏ bên trong một hình tròn. Khi số lượng cạnh của các hình đa giác gia tăng, chúng gần như trùng khớp với hình tròn. Với các hình đa giác có 96 cạnh, ông đã tính toán và tìm thấy giá trị của số π nằm trong khoảng 3⁄₇ (xấp xỉ 3.1429) và 3⁄₇₁ (xấp xỉ 3.1408), gần với giá trị thực là khoảng 3.1416. Ông cũng chứng minh rằng diện tích của một hình tròn bằng π nhân với bình phương bán kính của nó. Trong tác phẩm Về hình tròn và hình trụ, Archimedes đưa ra định lý rằng bất kỳ độ lớn nào, khi được thêm đủ thời gian, sẽ vượt quá bất kỳ một độ lớn nào cho trước. Đây chính là thuộc tính Archimedes của các số thực.

Trong tác phẩm Đo đạc một hình tròn, Archimedes đã xác định giá trị căn bậc hai của 3 nằm trong khoảng ⁄₁₅₃ (xấp xỉ 1.7320261) và ⁄₇₈₀ (xấp xỉ 1.7320512). Giá trị thực là xấp xỉ 1.7320508, cho thấy đây là một ước lượng rất chính xác. Ông đạt được kết quả này mà không giải thích phương pháp tính toán. John Wallis đã nhận xét rằng Archimedes có vẻ như đã cố tình giữ bí mật phương pháp của mình, đồng thời khiến các thế hệ sau phải ngưỡng mộ những kết quả mà ông đạt được.

Trong tác phẩm Phép cầu phương của hình parabol, Archimedes đã chứng minh rằng diện tích được bao quanh bởi một hình parabol và một đường thẳng là gấp ⁄₃ lần diện tích của hình tam giác nội tiếp tương ứng. Ông đã trình bày cách giải bài toán này như một chuỗi hình học vô hạn với tỷ lệ chung là ⁄₄:

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{4}^{-<!--\; -\; -->n}=1+4^{-<!--\; -\; -->1}+4^{-<!--\; -\; -->2}+4^{-<!--\; -\; -->3}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\frac{4}{3}.$

Nếu số hạng đầu tiên trong chuỗi này là diện tích của một hình tam giác, thì số hạng thứ hai là tổng diện tích của hai hình tam giác với đáy nhỏ hơn, và cứ tiếp tục như vậy. Phương pháp chứng minh này dựa trên chuỗi 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + • • • với tổng là ⁄₃.

Trong tác phẩm Người đếm cát, Archimedes đã đề xuất phương pháp tính số lượng hạt cát mà vũ trụ có thể chứa. Ông bác bỏ ý kiến cho rằng số lượng hạt cát là quá lớn để tính toán. Ông viết: 'Một số người, như Vua Gelo (Gelo II, con trai của Hiero II), cho rằng số lượng hạt cát là vô hạn; và tôi không chỉ đề cập đến cát ở Syracuse và Sicilia mà còn ở mọi nơi, dù có người ở hay không.' Để giải quyết vấn đề, Archimedes đã phát triển hệ thống tính toán dựa trên 'myriad,' từ tiếng Hy Lạp μυριάς murias, tương đương với 10.000. Ông đã đề xuất một hệ thống số sử dụng myriad mũ myriad (100 triệu) và kết luận rằng số lượng hạt cát cần để lấp đầy vũ trụ là 8 vigintillion, hay 8×10.

Ấn phẩm

Các tác phẩm của Archimedes được viết bằng tiếng Hy Lạp Doric, một phương ngữ của Syracuse. Cũng giống như tác phẩm của Euclid, các bản viết của Archimedes không còn tồn tại, và hiện chỉ biết đến bảy luận án của ông thông qua các tài liệu của tác giả khác. Pappus của Alexandria đã đề cập đến Về việc chế tạo hình cầu và các tác phẩm khác về polyhedra, trong khi Theon của Alexandria đã trích dẫn một lưu ý về khúc xạ từ hiện đã mất Catoptrica. Trong suốt cuộc đời mình, Archimedes đã trao đổi công việc với các nhà toán học tại Alexandria. Các bản viết của Archimedes được kiến trúc sư Byzantine Isidore của Miletus (khoảng năm 530 sau Công Nguyên) thu thập, và các bình luận về các tác phẩm của Archimedes do Eutocius viết vào thế kỷ VI Công Nguyên đã giúp phổ biến chúng hơn. Các tác phẩm của Archimedes đã được dịch sang tiếng Ả Rập bởi Thābit ibn Qurra (836–901 sau Công Nguyên), và sang tiếng Latin bởi Gerard của Cremona (khoảng năm 1114–1187 sau Công Nguyên). Trong thời kỳ Phục hưng, Editio Princeps (ấn bản đầu tiên) được xuất bản tại Basel năm 1544 bởi Johann Herwagen, bao gồm các tác phẩm của Archimedes bằng tiếng Hy Lạp và Latin. Khoảng năm 1586, Galileo Galilei đã phát minh ra một chiếc cân thủy tĩnh để cân các kim loại trong không khí và nước, rõ ràng được cảm hứng từ công trình của Archimedes.

Những tác phẩm còn lại

• Về sự thăng bằng của các hành tinh (hai tập)

Cuốn sách đầu tiên bao gồm mười lăm định lý cùng bảy định đề, trong khi cuốn sách thứ hai chứa mười định lý. Trong tác phẩm này, Archimedes trình bày Định luật đòn bẩy, nêu rõ rằng 'sức mạnh tác động tỉ lệ thuận với lực tác dụng và cũng tỉ lệ thuận với khoảng cách từ điểm tác dụng lực đến trục quay (cánh tay đòn).'

Archimedes áp dụng những nguyên lý này để tính toán diện tích và tâm trọng lực của nhiều hình học như hình tam giác, hình bình hành và hình parabol.

• Về việc đo diện tích của một hình tròn

Đây là một tác phẩm ngắn gồm ba định lý, được viết dưới dạng thư gửi Dositheus của Pelusium, học trò của Conon của Samos. Trong Định lý II, Archimedes chứng minh rằng giá trị của số π (pi) lớn hơn ⁄₇₁ và nhỏ hơn ⁄₇. Con số sau đã được sử dụng làm ước lượng cho số π trong suốt thời Trung Cổ và vẫn còn được dùng ngày nay khi cần một giá trị gần đúng.

• Về các hình xoắn ốc

Tác phẩm này bao gồm 28 định lý và cũng là một thư trao đổi với Dositheus. Nó định nghĩa hình xoắn Archimedes, quỹ tích của các điểm tương ứng với các vị trí của một điểm di chuyển khỏi một điểm cố định với vận tốc đều dọc theo một đường quay với vận tốc góc không đổi. Trong hệ tọa độ cực (r, θ), nó có thể được mô tả bằng phương trình

$r=a+b\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$

với các số thực a và b. Đây là một ví dụ sớm về một đường cong toán học được các nhà toán học Hy Lạp nghiên cứu.

• Về hình cầu và hình trụ (hai tập)

Trong tác phẩm này gửi cho Dositheus, Archimedes đạt được kết quả mà ông cảm thấy tự hào nhất, đó là mối quan hệ giữa một hình cầu và hình trụ bao quanh nó có cùng chiều cao và đường kính. Thể tích của hình cầu là ⁄₃πr, trong khi thể tích của hình trụ là 2πr. Diện tích bề mặt của hình cầu là 4πr, còn diện tích bề mặt của hình trụ (bao gồm cả hai đáy) là 6πr, với r là bán kính của cả hình cầu và hình trụ. Hình cầu có thể tích và diện tích bề mặt bằng hai phần ba so với thể tích và diện tích của hình trụ. Một hình cầu và hình trụ đã được khắc trên mộ Archimedes theo yêu cầu của ông.

• Về các hình nêm và hình cầu

Đây là tác phẩm gồm 32 định lý gửi cho Dositheus. Trong tác phẩm này, Archimedes tính toán diện tích và thể tích của các mặt cắt của hình nêm, hình cầu và hình parabol.

• Về các vật thể nổi (hai tập)

Ở phần đầu của tác phẩm, Archimedes mô tả định luật cân bằng của các chất lỏng và chứng minh rằng nước sẽ tự tạo thành hình cầu quanh một điểm trọng lực. Điều này có thể phản ánh nỗ lực giải thích của các nhà thiên văn học Hy Lạp như Eratosthenes về việc Trái Đất có hình dạng tròn. Archimedes cho rằng các chất lỏng không tự hướng tâm mà có một điểm duy nhất mà mọi vật thể đều hướng về để tạo thành hình cầu.

Phần hai của tác phẩm tập trung vào việc tính toán các vị trí cân bằng của mặt cắt hình parabol. Đây có thể là sự lý tưởng hóa các hình dạng của vỏ tàu. Một số mặt cắt của ông nổi lên với đáy dưới nước và đỉnh trên mặt nước, tương tự như các núi băng. Định lý về lực đẩy của Archimedes được nêu rõ trong tác phẩm:

Mọi vật thể ngập hoàn toàn hoặc một phần trong chất lỏng sẽ bị tác động một lực đẩy tương đương, nhưng ngược chiều với, trọng lượng của chất lỏng bị chiếm chỗ.

• Phép cầu phương hình parabol

Trong tác phẩm gồm 24 định lý này gửi cho Dositheus, Archimedes chứng minh theo hai phương pháp rằng diện tích nằm giữa một hình parabol và một đường thẳng gấp 4/3 lần diện tích của một hình tam giác có cùng đáy và chiều cao. Ông thực hiện điều này bằng cách tính toán giá trị của một chuỗi hình học với tổng vô hạn có tỷ lệ ⁄₄.

• Stomachion

Vào tháng 10 năm 1998, một bản thảo da cừu ghi lại các tác phẩm của Archimedes đã được bán tại New York, Mỹ. Trong bản thảo này, có xuất hiện một trò chơi toán học tương tự như Tangram, hiện nay được gọi là Stomachion. Đây là một trò chơi ghép hình tương tự như Tangram, mô tả hình dạng và kích thước của 14 mảnh ghép cắt từ một hình vuông. Những mảnh ghép này có thể được kết hợp để tạo ra các hình dạng mới. Nếu cạnh của hình vuông ban đầu là 12, thì diện tích của các mảnh ghép là các số tự nhiên như 3, 6, 9, 12, 21 và 24. Stomachion là một phát minh ít được biết đến. Nghiên cứu của Tiến sĩ Reviel Netz tại Đại học Stanford năm 2003 cho thấy Archimedes đã tìm cách xác định có bao nhiêu cách ghép các mảnh lại thành một hình vuông. Tiến sĩ Netz tính rằng có 17.152 cách để làm điều này, và 536 cách nếu loại trừ các biến thể do quay hoặc lật hình.

• Bài toán về đàn gia súc của Archimedes

Tác phẩm này được Gotthold Ephraim Lessing phát hiện trong một bản viết tay tiếng Hy Lạp, gồm một bài thơ 44 dòng, tại Thư viện Herzog August ở Wolfenbüttel, Đức năm 1773. Tác phẩm được gửi cho Eratosthenes và các nhà toán học ở Alexandria. Archimedes đã thách thức họ giải bài toán về số gia súc trong đàn của Thần Mặt Trời bằng cách giải các phương trình Diophantine đồng thời. Một phiên bản khó hơn của bài toán yêu cầu một số câu trả lời là số bình phương. Phiên bản này được giải bởi A. Amthor năm 1880 với câu trả lời là một số rất lớn, khoảng 7.760271×10.

• Người đếm cát

Trong tác phẩm này, Archimedes ước lượng số lượng hạt cát cần để lấp đầy toàn bộ vũ trụ. Cuốn sách khám phá lý thuyết nhật tâm của hệ mặt trời do Aristarchus của Samos đưa ra, cùng với những quan điểm đương thời về kích thước của Trái Đất và khoảng cách giữa các thiên thể. Archimedes đã sử dụng một hệ thống số dựa trên myriad và kết luận rằng số hạt cát cần để lấp đầy vũ trụ là 8×10 theo cách tính hiện đại. Đoạn mở đầu của bức thư cho biết cha của Archimedes là một nhà thiên văn học tên Phidias. Người đếm cát hay Psammites là tác phẩm duy nhất của Archimedes đề cập đến quan điểm của ông về thiên văn học.

• Phương pháp Định lý Cơ học

Tác phẩm này được coi là đã thất lạc cho đến khi cuốn sách da cừu của Archimedes được phát hiện vào năm 1906. Trong tác phẩm này, Archimedes áp dụng các khái niệm vô định để minh họa cách chia một con số thành nhiều phần nhỏ hơn, từ đó xác định diện tích và thể tích của nó. Ông có thể đã thấy phương pháp này thiếu chính xác, nên đã dùng thêm phương pháp rút gọn để kiểm tra kết quả. Giống như Vấn đề gia súc, Phương pháp Định lý Cơ học được viết dưới dạng bức thư gửi Eratosthenes ở Alexandria.

Các tác phẩm giả mạo

Sách bổ đề hay Liber Assumptorum của Archimedes là một chuyên luận với 15 đề xuất về trạng thái của các hình tròn. Bản sao sớm nhất được biết đến là phiên bản tiếng Ả Rập. Các học giả T. L. Heath và Marshall Clagett nghi ngờ rằng tác phẩm này không phải do Archimedes viết trong dạng hiện tại, vì nó có trích dẫn Archimedes và có thể đã bị chỉnh sửa bởi người khác. Bổ đề có thể dựa trên một tác phẩm trước đó của Archimedes, hiện đã thất lạc.

Tài liệu cho biết rằng công thức Heron để tính diện tích của một hình tam giác dựa trên độ dài các cạnh đã được Archimedes biết đến. Tuy nhiên, công thức này chỉ được đề cập đáng tin cậy lần đầu tiên bởi Heron của Alexandria vào thế kỷ I sau Công Nguyên.

Sách da cừu của Archimedes

Tài liệu lâu đời nhất chứa các tác phẩm của Archimedes là Sách da cừu của Archimedes. Vào năm 1906, giáo sư Đan Mạch Johan Ludvig Heiberg đã đến Constantinopolis và kiểm tra một bản sao giấy da cừu 174 trang từ thế kỷ XIII. Ông phát hiện rằng nó là một cuốn sách da cừu, với các dòng chữ đã được viết lại trên một tác phẩm cũ bị tẩy xoá. Cuốn sách da cừu này là một phương pháp phổ biến trong thời Trung Cổ do giá giấy da rất cao. Các bản sao cũ trên da cừu được xác định là các bản sao từ thế kỷ X của những chuyên luận chưa từng được biết đến của Archimedes. Cuốn sách đã được bảo quản trong thư viện của một tu viện ở Constantinopolis hàng trăm năm trước khi được bán cho một nhà sưu tập cá nhân vào những năm 1920. Vào ngày 29 tháng 10 năm 1998, nó đã được bán trong một cuộc đấu giá tại Christie's ở New York với giá 2 triệu đô la cho một người mua ẩn danh. Cuốn sách da cừu này bao gồm bảy chuyên luận, trong đó chỉ còn một bản sao của Về các vật thể nổi bằng tiếng Hy Lạp gốc. Đây là nguồn duy nhất còn lại của Phương pháp Định lý Cơ học, mà Suidas đã đề cập và từng được cho là đã mất. Stomachion cũng được phát hiện trong cuốn sách, với một phân tích chi tiết hơn về câu đố so với các văn bản trước đây. Hiện tại, cuốn sách da cừu được lưu giữ tại Walters Art Museum ở Baltimore, Maryland, nơi đã tiến hành nhiều cuộc kiểm tra hiện đại bao gồm cả tia cực tím và x-quang để đọc các văn bản bị viết đè lên.

Các chuyên luận trong Sách da cừu của Archimedes bao gồm: Về sự cân bằng của các hành tinh, Về xoáy ốc, Đo đạc một hình tròn, Về hình cầu và hình trụ, Về các vật thể nổi, Phương pháp định lý cơ học và Stomachion.

Vinh danh

Trên Mặt Trăng có một miệng núi lửa (Archimedes tại tọa độ 29.7° N, 4.0° W) và một dãy núi (Núi Archimedes tại tọa độ 25.3° N, 4.6° W) được đặt theo tên Archimedes để tôn vinh ông.

Thiên thạch 3600 Archimedes cũng được đặt theo tên ông để ghi nhận công lao của ông.

Huy chương Fields, được trao cho những thành tựu vĩ đại trong toán học, cũng có hình chân dung của Archimedes, cùng với các chứng minh của ông về hình cầu và hình trụ. Đoạn chữ xung quanh đầu của Archimedes là một câu trích dẫn tiếng Latin từ ông: 'Transire suum pectus mundoque potiri' (Vượt qua chính mình và nắm bắt thế giới).

Archimedes đã xuất hiện trên các con tem bưu chính của nhiều quốc gia, bao gồm Đông Đức (1973), Hy Lạp (1983), Italia (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982), và Tây Ban Nha (1963).

Thán từ 'Eureka!' gắn liền với Archimedes cũng là khẩu hiệu của bang California. Trong ngữ cảnh này, từ 'Eureka' ám chỉ việc phát hiện vàng gần Sutter's Mill vào năm 1848, dẫn đến cuộc Đổ xô đi tìm vàng tại California.

Một phong trào chăm sóc sức khỏe dân sự ở bang Oregon, Hoa Kỳ, đã được đặt tên là 'Phong trào Archimedes,' do cựu Thống đốc bang Oregon, John Kitzhaber, lãnh đạo.