Ảnh

Hình là dạng thức thể hiện của vật thể hoặc bản vẽ, bao gồm đường viền, bề mặt bên ngoài, khác biệt với các thuộc tính như màu sắc, chất liệu hoặc cấu tạo của vật thể đó.

Các nhà tâm lý học đề xuất rằng con người phân tích hình ảnh thành các dạng hình học cơ bản được gọi là 'geon'. Ví dụ của 'geon' bao gồm hình nón và hình cầu.

Phân loại các hình dạng cơ bản

Một số hình cơ bản có thể được phân loại theo các nhóm phổ biến. Ví dụ, các đa giác được phân chia theo số lượng cạnh như tam giác, tứ giác, ngũ giác, v.v. Mỗi loại hình này còn được phân nhỏ hơn: các tam giác bao gồm tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, tam giác nhọn, tam giác tù, trong khi các tứ giác bao gồm hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình vuông, v.v.

Những hình cơ bản khác bao gồm điểm, đường thẳng, mặt phẳng và các phần của hình nón như hình elip, hình tròn và đường parabol.

Một số hình khối 3 chiều phổ biến nhất bao gồm hình khối - hình có các mặt phẳng; hình cầu với dạng quả cầu hoặc quả trứng; hình trụ và hình chóp.

Khi một vật thể có hình dạng gần giống với các dạng hình đã nêu, người ta có thể dùng các tên của các hình dạng để mô tả nó. Ví dụ, nắp cống thường được gọi là hình đĩa vì nó có cấu trúc gần giống hình đĩa.

Các hình trong hình học

Có nhiều cách để so sánh hình dạng của hai vật thể:

• Tương đẳng: Hai hình được coi là tương đẳng nếu một hình có thể chuyển đổi thành hình còn lại qua các phép xoay, dịch chuyển, hoặc phản chiếu.
• Đồng dạng: Hai hình được coi là đồng dạng nếu một hình có thể biến thành hình khác với tỷ lệ giữ nguyên, thông qua các phép xoay, dịch chuyển, hoặc phản chiếu.
• Đồng vị: Hai hình được coi là đồng vị nếu một hình có thể chuyển thành hình còn lại bằng các phép biến hình mà không làm thay đổi cấu trúc của hình đó.

Đôi khi, hai đối tượng tương đẳng hoặc đồng dạng có thể được xem là có hình dạng khác nhau nếu cần đến sự phản chiếu để chuyển đổi chúng. Ví dụ, chữ 'b' và 'd' là hình phản chiếu của nhau, nên chúng tương đẳng và đồng dạng, nhưng trong một số trường hợp, chúng không được xem là cùng một hình dạng. Thỉnh thoảng, chỉ các đường viền hoặc hình dáng bên ngoài của vật thể được xem xét để xác định hình dạng của nó. Ví dụ, một quả cầu rỗng có thể được coi là có hình dạng giống như quả cầu đặc. Phân tích Procrustes được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học để xác định liệu hai đối tượng có cùng hình dạng hay không, hoặc để đo lường sự khác biệt giữa chúng. Trong toán học nâng cao, cận đẳng số có thể được dùng làm tiêu chí để so sánh sự tương đồng của hai hình dạng.

Các hình đơn giản thường được phân loại vào các đối tượng hình học cơ bản như điểm, đường thẳng, đường cong, mặt phẳng, hình phẳng (như hình vuông hoặc hình tròn) hoặc hình khối rắn (như hình khối hoặc hình cầu). Tuy nhiên, nhiều hình dạng trong thế giới thực rất phức tạp. Một số, chẳng hạn như cấu trúc thực vật và đường bờ biển, có thể quá phức tạp để mô tả bằng các phương pháp toán học truyền thống - trong trường hợp này, chúng có thể được phân tích bằng hình học vi phân hoặc phân dạng.

Đánh giá tính tương đương của các hình dạng

Trong hình học, hai tập hợp trong không gian Euclide được coi là có hình giống nhau nếu một hình có thể biến đổi thành hình còn lại thông qua một chuỗi các phép dịch chuyển, xoay (hoặc kết hợp các phép này, gọi là biến đổi theo khuôn) và thay đổi tỷ lệ tương đương. Nói cách khác, hình của một tập hợp các điểm bao gồm tất cả thông tin hình học không thay đổi khi có sự dịch chuyển, xoay và thay đổi kích cỡ. Có hình giống nhau là một quan hệ tương đương, và do đó, một định nghĩa toán học chính xác về khái niệm hình có thể được biểu diễn dưới dạng lớp tương đương của các tập con trong không gian Euclide có cùng hình dạng.

Nhà toán học và thống kê David George Kendall đã viết:

[Trong bài viết này] khái niệm 'hình' được sử dụng theo cách thông thường, được định nghĩa như cách mà mọi người thường hiểu. [...] Ở đây chúng tôi định nghĩa 'hình' là 'tất cả thông tin hình học được giữ nguyên khi các hiệu ứng thay đổi vị trí, tỷ lệ và độ xoay được loại bỏ khỏi một vật thể'.

Hình dạng của các đối tượng vật lý được coi là giống nhau nếu các tập con trong không gian của chúng đáp ứng định nghĩa nêu trên. Đặc biệt, hình dạng không phụ thuộc vào kích thước và vị trí trong không gian của đối tượng. Ví dụ, một hình 'd' và một hình 'p' có cùng hình dạng, vì chúng có thể trùng khớp nếu hình 'd' được dịch sang phải một khoảng nhất định, đảo ngược và phóng to theo một tỷ lệ nhất định (tham khảo bài viết Chồng chéo Procrustes). Tuy nhiên, một hình phản chiếu được coi là hình dạng khác. Ví dụ, một hình 'b' và một hình 'p' có hình dạng khác nhau, đặc biệt khi chúng bị hạn chế di chuyển trong mặt phẳng hai chiều, như trên một tờ giấy chứa cả hai chữ. Dù chúng có kích thước giống nhau, không thể chồng hai hình lên nhau bằng cách dịch và xoay trên trang giấy. Tương tự, trong không gian ba chiều, một bàn tay phải và bàn tay trái có hình dạng khác nhau, mặc dù chúng là hình ảnh phản chiếu của nhau. Hình dạng có thể thay đổi nếu đối tượng bị thu nhỏ không đồng đều. Ví dụ, một hình cầu trở thành hình ellipsoid khi thu nhỏ khác nhau theo các hướng dọc và ngang. Nói cách khác, việc giữ các trục đối xứng (nếu có) là quan trọng để bảo vệ hình dạng. Ngoài ra, hình dạng chỉ được xác định bởi yếu tố ranh giới bên ngoài của đối tượng.

Tính tương đẳng và đồng dạng

Khi hai hoặc nhiều đối tượng có thể chuyển đổi thành nhau thông qua các phép biến đổi theo khuôn và phép lật (nhưng không bao gồm phép thu phóng tỷ lệ), chúng được gọi là tương đẳng. Điều này có nghĩa là một đối tượng sẽ tương đẳng với hình phản chiếu của nó (dù không đối xứng), nhưng không tương đẳng với phiên bản thu phóng của nó. Hai đối tượng tương đẳng luôn có hình dạng hoặc hình phản chiếu giống nhau và kích thước giống nhau.

Các đối tượng có hình dạng hoặc hình phản chiếu giống nhau được coi là đồng dạng, mặc dù chúng có thể khác về kích thước. Vì vậy, nếu hai hoặc nhiều đối tượng có thể biến đổi thành nhau qua các phép biến đổi theo khuôn, đồng dạng và thu phóng, chúng sẽ được coi là đồng dạng.

Sự đồng dạng được bảo toàn khi một trong các đối tượng được thu phóng theo tỷ lệ kích thước đúng, trong khi sự tương đẳng không duy trì điều này. Do đó, các hình tương đẳng luôn là đồng dạng, nhưng các hình đồng dạng có thể không tương đẳng vì kích thước của chúng có thể khác nhau.

Phép đồng phôi

Một định nghĩa linh hoạt hơn về khái niệm 'hình' bao gồm cả thực tế rằng các hình dạng trong cuộc sống có thể bị biến dạng, chẳng hạn như khi một người thay đổi tư thế, một cây bị uốn cong trong gió, hoặc một bàn tay với các ngón tay ở các vị trí khác nhau.

Một phương pháp để mô hình hóa các chuyển động không theo khuôn là thông qua phép đồng phôi. Theo cách hiểu rộng, phép đồng phôi là quá trình kéo dài và uốn cong liên tục của một đối tượng thành hình dạng mới. Ví dụ, một hình vuông và một vòng tròn có thể được coi là cùng một 'phôi', nhưng một quả cầu và một bánh rán thì không. Một câu đùa toán học phổ biến là các nhà nghiên cứu thuộc tính hình học không thể phân biệt tách cà phê của họ với một chiếc bánh rán, vì chiếc bánh rán dẻo có thể được định hình thành cốc cà phê bằng cách tạo ra một cái lõm và dần dần mở rộng nó, trong khi vẫn giữ lỗ bánh rán làm tay cầm của cốc.

Phân tích hình

Các định nghĩa toán học về hình theo khuôn và không theo khuôn đã được áp dụng nhiều hơn trong lĩnh vực phân tích hình qua phương pháp số liệu. Cụ thể, trong phân tích Procrustes, các nhà khoa học so sánh các hình có cùng dạng (như xương của các loài động vật khác nhau) hoặc đo độ biến dạng của một vật thể có thể thay đổi hình dạng. Các phương pháp khác được thiết kế để làm việc với các hình không theo khuôn (có thể bị uốn cong), chẳng hạn như trong trường hợp cần khôi phục tư thế của một hình độc lập.

Các lớp tương tự

Các hình đồng dạng có cùng dạng với nhau. Chúng có thể được phân loại bằng các số phức, theo phương pháp được J.A. Lester và Rafael Atzy đề xuất. Ví dụ, một tam giác đều có thể được biểu diễn bằng các số phức 0,1, (1 + i √3)/2 để thể hiện các góc. Lester và Atzy định nghĩa tỷ lệ $S(u,v,w)=\frac{u-<!--\; -\; -->w}{u-<!--\; -\; -->v}$ là 'hình' của tam giác $(u,v,w)$. Vì vậy, 'hình' của tam giác đều sẽ là (0–(1+ √3)/2)/(0–1) = (1 + i √3)/2 = cos(60°) + i sin(60°) = exp(i π/3).

Với bất kỳ phép biến đổi tuyến tính nào trên mặt phẳng phức, $z\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>az+b,a\ne <!--\; \ne \; -->0$, tam giác sẽ không thay đổi về hình dạng. Vì vậy, hình dạng là một yếu tố không thay đổi trong hình học tuyến tính. Đối với hình p = S(u,v,w), mặc dù phụ thuộc vào thứ tự của các đối số trong hàm S, nhưng các hoán vị khác dẫn đến các giá trị liên quan. Ví dụ, $1-<!--\; -\; -->p=1-<!--\; -\; -->(u-<!--\; -\; -->w)/(u-<!--\; -\; -->v)=(w-<!--\; -\; -->v)/(u-<!--\; -\; -->v)=(v-<!--\; -\; -->w)/(v-<!--\; -\; -->u)=S(u,v,w)$. Tương tự, $p^{-<!--\; -\; -->1}=S(u,v,w)$.

Ghép các hoán vị lại, ta có $S(v,w,u)=(1-<!--\; -\; -->p{)}^{-<!--\; -\; -->1}$. Ta cũng có $p(1-<!--\; -\; -->p{)}^{-<!--\; -\; -->1}=S(u,v,w\left)S\right(v,w,u)=(u-<!--\; -\; -->w\left)/\right(v-<!--\; -\; -->w)=S(w,v,u)$. Các đẳng thức này được gọi là 'luật quy đổi' cho hình của tam giác.

Hình dạng của một tứ giác được xác định bởi hai số phức p, q. Nếu tứ giác có các đỉnh u,v,w,x thì ta có p = S(u,v,w) và q = S(v,w,x). Artzy đã chứng minh bốn mệnh đề về các hình tứ giác như sau:

1. Nếu $p=(1-<!--\; -\; -->q{)}^{-<!--\; -\; -->1}$, thì tứ giác đó là hình bình hành.
2. Nếu hình bình hành đó có |arg p| = |arg q|, thì đó là hình thoi.
3. Nếu p = 1 + i và q = (1 + i)/2, thì tứ giác đó là hình vuông.
4. Nếu $p=r(1-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->1})$và sgn r = sgn(Im p) thì tứ giác đó là hình thang.

Hình dạng của một đa giác được xác định bởi n - 2 số phức S(zj, zj+1, zj+2), với j = 1,..., n-2. Một đa giác có hình bao bọc một tập hợp lồi khi tất cả các đặc tính hình học cơ bản được thể hiện bởi các thành phần thực tế.