Approaches to tackling Problem Solving and Data Analysis questions in SAT Math

Trong phần thi SAT Math, Problem Solving and Data Analysis là một chủ đề vô cùng quan trọng khi nó được trải đều qua nhiều dạng câu hỏi nhằm kiểm tra toàn diện kiến thức toán học của thí sinh. Dạng bài có liên quan tới phân tích dữ liệu này có thể còn mới với đa số học sinh, và áp lực thời gian và cách ra đề bằng tiếng Anh có thể khiến thí sinh lo lắng. Để giúp thí sinh ôn tập một cách hiệu quả, bài viết này sẽ cung cấp cách làm dạng bài Problem Solving and Data Analysis trong SAT Math, kèm thông tin tổng quan, chiến lược và bài tập luyện tiêu biểu.

Overview of Problem Solving and Data Analysis questions in SAT Math

Nhìn chung, yêu cầu của những câu hỏi thuộc dạng đề này có thể xoay quanh các khái niệm cơ bản trong thống kê và xác suất, đưa ra kết luận phù hợp nhất dựa trên thiết kế và thông tin được cung cấp của nghiên cứu bất kỳ, hay mối quan hệ giữa các biến số trong biểu đồ phân tán, bảng và nhiều dạng khác. Như vậy, dạng bài Problem Solving and Data Analysis kiểm tra khả năng đọc hiểu mô hình toán học, giải thích và dự đoán kết quả dựa trên suy luận, cũng như biết xem xét ý nghĩa, đơn vị, sử dụng các tính chất khác nhau của phép toán và biểu đồ.

Characteristics of Problem Solving and Data Analysis question type

Time allocation, number of questions

Dạng bài Problem Solving and Data Analysis chiếm khoảng 15% trong tổng số các câu hỏi phần Toán học, tương đương khoảng 5-7 câu. Vì thời gian cho phần Toán học là 70 phút, nên thí sinh có thể cân nhắc dành ra tương ứng 10 phút cho dạng Problem Solving and Data Analysis.

Types of questions in Problem Solving and Data Analysis

Theo SAT Math: Problem Solving and Data Analysis, dạng bài Problem Solving and Data Analysis bao gồm các dạng câu hỏi sau:

• Sử dụng tỷ số, tỷ lệ biến đổi, mối quan hệ tỷ lệ và bản vẽ tỷ lệ để giải quyết các vấn đề đơn giản và đa bước.

• Giải quyết các vấn đề đơn giản và đa bước liên quan đến tỷ lệ phần trăm.

• Giải quyết các vấn đề đơn giản và đa bước liên quan đến các lượng đo, đơn vị và chuyển đổi đơn vị đo.

• Sử dụng biểu đồ phân tán, mô hình tuyến tính, bậc hai hoặc mũ để mô tả cách các biến có liên quan đến nhau.

• Sử dụng mối quan hệ giữa 2 biến để nghiên cứu các đặc điểm quan trọng của biểu đồ.

• So sánh sự tăng trưởng tuyến tính với sự tăng trưởng mũ.

• Sử dụng bảng 2 chiều để tổng hợp dữ liệu phân loại và tần suất tương đối và tính xác suất có điều kiện.

• Đưa ra những suy luận về các tham số của quần thể dựa trên dữ liệu mẫu.

• Sử dụng thống kê để nghiên cứu các chỉ số trung tâm của dữ liệu. Phân tích hình dạng, trung tâm và phạm vi.

• Đánh giá các báo cáo để đưa ra suy luận, bào chứng kết luận và xác định tính thích hợp của phương pháp thu thập dữ liệu. Các báo cáo có thể bao gồm các bảng, biểu đồ hoặc tóm tắt văn bản.

Key evaluation criteria

Nhìn chung, phần thi SAT Math sẽ đánh giá kiến thức toán học và khả năng vận dụng linh hoạt của thí sinh vào đa dạng chuyên đề nói chung và dạng Problem Solving and Data Analysis nói riêng. Tuy đơn vị tổ chức thi The College Board không đưa ra những tiêu chí đánh giá cụ thể cho phần thi này, nhưng thí sinh có thể tham khảo để cải thiện những yếu tố dưới đây:

• Khả năng hiểu rõ vấn đề (Understanding the Problem): Trước khi bắt đầu giải quyết bài toán, người học cần đảm bảo đã hiểu rõ yêu cầu của vấn đề. Đọc đề cẩn thận để xác định những thông tin quan trọng và mục tiêu của bài toán.

• Khả năng xác định thông tin (Identifying Information): Tìm các thông tin cung cấp trong đề bài và xác định những dữ liệu quan trọng mà người học cần để giải quyết vấn đề.

• Khả năng phân tích dữ liệu (Data Analysis): Khi bài toán yêu cầu phân tích dữ liệu, hãy thực hiện các bước phân tích cẩn thận và trình bày kết quả một cách rõ ràng.

• Khả năng đọc và hiểu biểu đồ (Reading and Understanding Charts): Nếu có biểu đồ hoặc đồ thị trong bài toán, hãy đảm bảo người học đọc và hiểu biểu đồ này một cách đúng đắn. Biết cách trích xuất thông tin từ biểu đồ là một kỹ năng quan trọng.

• Nắm rõ các dạng kiến thức và kỹ năng cụ thể sau: Tỷ số, tỷ lệ, mối quan hệ tỉ lệ và đơn vị; phần trăm; dữ liệu một biến: phân phối và các chỉ số trung tâm và phạm vi; dữ liệu hai biến: mô hình và biểu đồ phân tán; xác suất và xác suất có điều kiện; rút ra kết luận từ thống kê mẫu và sai số; đánh giá các khả năng thống kê: nghiên cứu quan sát và thí nghiệm

Approaches to tackling Problem Solving and Data Analysis questions in SAT Math

Step 1: Analyze the problem statement and compare information with statistical data (if available)

Vì các câu hỏi trong SAT Math nói chung và Problem Solving and Data Analysis nói riêng được viết bằng tiếng Anh và có dung lượng dài, nên để thí sinh không bị bối rối trước lượng thông tin khá lớn, cũng như có cái nhìn rõ ràng hơn về câu hỏi, bước đầu tiên trong cách làm dạng bài Problem Solving and Data Analysis trong SAT Math thí sinh nên thực hiện là phân tích đề bài, bao gồm: đề bài đưa ra những dữ liệu nào và yêu cầu tìm thông tin gì. Một điểm đặc biệt ở dạng bài này là thí sinh cần chú ý đến cả bảng thống kê dữ liệu, có thể được trình bày qua biểu đồ phân tán, biểu đồ hay bảng thông tin. Nếu đề bài có bao gồm những thống kê này, thí sinh sẽ cần tóm tắt dữ liệu từ bảng đó, thay vì từ đề bài bằng chữ như truyền thống.

Step 2: Determine the type and expression of the equation

• Được biểu hiện trên biểu đồ (trong trường hợp có thống kê dữ liệu)

• Suy luận để ra công thức tỷ lệ hoặc áp dụng các công thức thống kê (trong trường hợp không có thống kê dữ liệu)

Trong trường hợp có thống kê dữ liệu, thí sinh thường sẽ cần xác định loại hàm nào mô hình hóa dữ liệu được cho tốt nhất, và có hai loại hàm hay gặp, là linear model và exponential model, hay hàm tuyến tính và hàm mũ, và đôi khi, mỗi loại hàm này còn được chia thành increasing linear/exponential model và decreasing linear/exponential model, tức là kiểm tra hàm có xu hướng tăng hay giảm.

Trong trường hợp không có thống kê dữ liệu, người học sẽ cần kết nối các thông tin có trong đề bài để hình thành mối quan hệ giữa các biến số, từ đó có được công thức tính tỷ lệ, tỷ số. Người học cũng nên lưu ý về đơn vị đo của các biến số này để thực hiện biến đổi sao cho chính xác nhất.

Bên cạnh đó, người học cũng cần phải nắm rõ các công thức tính của các giá trị trong thống kê như số trung bình (mean), trung vị (median), độ lệch chuẩn (standard deviation), hay biên sai số (margin of error).

Step 3: Solve the equation or problem by applying formulas/inference

Sau khi có hướng giải ở bước 2, người học có thể tiếp tục tiến hành việc ứng dụng thông tin bài toán để ra đáp án, từ đó hình thành cách làm dạng bài Problem Solving and Data Analysis một cách hoàn chỉnh.

Step 4: Review the result and retry (if necessary)

Nếu thí sinh chưa quá chắc chắn về đáp án của mình, hoặc còn thừa một chút thời gian sau khi làm xong các dạng bài còn lại, thí sinh có thể làm lại các bước, hoặc thử lại đáp án với dữ liệu đã cho.

Example of applying the 4-step strategy to real questions

Scientists estimate that the Pacific Plate, one of Earth’s tectonic plates, has moved about 1,060 kilometers in the past 10.3 million years. About how far, in miles, has the Pacific Plate moved during this same time period? (Use 1 mile = 1.6 kilometers.)

A) 165

B) 398

C) 663

D) 1,696

Bước 1: Phân tích đề bài và đối chiếu thông tin với thống kê dữ liệu (nếu có)

Câu hỏi này thuộc trường hợp không có thống kê dữ liệu.

Câu hỏi cho biết thông tin xoay quanh việc mảng Thái Bình Dương đã di chuyển khoảng 1.060 km trong 10,3 triệu năm qua. Câu hỏi yêu cầu đáp án về chính khoảng cách đó những được tính bằng dặm.

Bước 2: Xác định loại và biểu thức của phương trình được biểu hiện trên biểu đồ (trong trường hợp có thống kê dữ liệu); suy luận để ra công thức tỷ lệ hoặc áp dụng các công thức thống kê (trong trường hợp không có thống kê dữ liệu)

Câu hỏi đã cho sẵn công thức đổi là 1 dặm = 1,6 km. Như vậy, công việc của thí sinh là đổi từ 1.060 km qua dặm.

Bước 3: Giải quyết phương trình hoặc bài toán bằng cách áp dụng công thức/suy luận

Vì 1 dặm = 1,6 km nên khoảng cách là 1.060 km × (1 dặm/1,6 km) = 662,5 dặm, tức là khoảng 663 dặm. Vì vậy, đáp án đúng là lựa chọn C.

Câu hỏi 2: Dạng giải thích mối quan hệ - trình bày trong biểu đồ phân tán, đồ thị, bảng và phương trình

Bước 1: Phân tích đề bài và đối chiếu thông tin với thống kê dữ liệu (nếu có)

Câu hỏi này thuộc dạng có thông kê dữ liệu được thể hiện qua bảng. Như vậy, thí sinh cần tìm thông tin chủ yếu từ bảng được cho. Bảng này cho biết số lượng vi khuẩn ban đầu (tại thời điểm t = 0) và số lượng vi khuẩn trong môi trường tăng trưởng mỗi giờ trong 3 giờ. Câu hỏi yêu cầu đáp án về hàm nào mô hình hoá tốt nhất thông tin trong bảng.

Bước 2: Xác định loại và biểu thức của phương trình được biểu hiện trên biểu đồ (trong trường hợp có thống kê dữ liệu); suy luận để ra công thức tỷ lệ hoặc áp dụng các công thức thống kê (trong trường hợp không có thống kê dữ liệu)

Có 2 loại hàm được cho trong đáp án là hàm tuyến tính và hàm mũ; như vậy, thí sinh cần nắm rõ đặc điểm hai loại hàm này.

• Nếu một số lượng tăng tuyến tính theo thời gian thì sự chênh lệch về số lượng giữa các khoảng thời gian liên tiếp là không đổi. 

• Nếu số lượng ngày càng tăng theo cấp số nhân theo thời gian thì tỉ số về số lượng giữa các khoảng thời gian tiếp theo là không đổi.

Nhiệm vụ đầu tiên của người học là xác định xem bảng thông tin trên có thể được mô hình hoá theo loại hàm nào. Sau khi có được loại hàm và công thức chung của hàm, người học sẽ điền thông tin tương ứng từ bảng vào công thức để ra đáp án.

Bước 3: Giải quyết phương trình hoặc bài toán bằng cách áp dụng công thức/suy luận

Theo bảng, sau mỗi giờ, số lượng vi khuẩn trong môi trường nuôi cấy lớn gấp 4 lần so với giờ trước đó: 4000/1000 = 16000/4000 = 64000/16000 = 4. Nghĩa là, với mỗi lần t (số giờ) tăng 1 đơn vị, thì giá trị của N(t) được nhân với 4. Tại t = 0, tức là tương ứng với thời điểm nuôi cấy được đưa vào môi trường, có 1.000 vi khuẩn. Điều này được mô hình hóa bởi hàm số mũ N(t) = 1,000(4t), có giá trị 1,000 tại t = 0 và tăng dần theo hệ số 4 cho mỗi lần tăng 1 đơn vị trong giá trị của t. Lựa chọn D là câu trả lời chính xác

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và thử lại (nếu cần)

Thí sinh có thể tiến hành thay giá trị t (giờ) và kiểm tra xem N (t) có ra giá trị tương ứng như trong bảng không.

Câu 3: Nội dung khác về dữ liệu và thống kê

A) Median  22, Mean  23

B) Median  24, Mean  22

C) Median  26, Mean  32

D) Median  32, Mean  30

Bước 1: Phân tích đề bài và đối chiếu thông tin với thống kê dữ liệu (nếu có)

Câu hỏi này thuộc dạng có thông kê dữ liệu được thể hiện qua biểu đồ cột. Như vậy, thí sinh cần tìm thông tin chủ yếu từ biểu đồ được cho. Biểu đồ này cho biết sự phân bổ thời gian làm việc theo giờ của 40 nhân viên Trong biểu đồ, trục x mô tả số giờ làm việc và trục y mô tả số lượng người lao động tương ứng. Các khung giờ được chia ra như trên 10 giờ và dưới 20 giờ, trên 20 giờ và dưới 30 giờ,...

Câu hỏi yêu cầu đáp án về lượng thời gian làm việc trung bình và trung vị trong số giờ làm việc cho cả 40 nhân viên.

Bước 2: Xác định loại và biểu thức của phương trình được biểu hiện trên biểu đồ (trong trường hợp có thống kê dữ liệu); suy luận để ra công thức tỷ lệ hoặc áp dụng các công thức thống kê (trong trường hợp không có thống kê dữ liệu)

Bài toán yêu cầu tính số trung bình và trung vị. Người học cần nắm được công thức của hai giá trị này. Số trung bình của một tập dữ liệu là tổng của tất cả các giá trị trong tập dữ liệu chia cho số lượng giá trị trong tập đó. Số trung vị là giá trị ở vị trí giữa của một tập dữ liệu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần (hoặc giảm dần).

Bước 3: Giải quyết phương trình hoặc bài toán bằng cách áp dụng công thức/suy luận

Nếu số giờ làm việc của 40 nhân viên được liệt kê theo thứ tự tăng dần, số trung vị sẽ là trung bình của số thứ 20 và số thứ 21 trên danh sách. Sáu số đầu tiên trên danh sách sẽ là những người lao động được đại diện bởi thanh đồ thị đầu tiên; do đó, mỗi trong số sáu số đầu tiên sẽ ít nhất là 10 nhưng không quá 20. Mười bảy số tiếp theo, tức là số thứ 7 đến số thứ 23 trên danh sách, sẽ là những người lao động được đại diện bởi thanh đồ thị thứ hai; do đó, mỗi trong số mười bảy số tiếp theo sẽ ít nhất là 20 nhưng không quá 30. Do đó, số thứ 20 và số thứ 21 trên danh sách sẽ ít nhất là 20 nhưng không quá 30. Như vậy, median có thể là 22, 24, hoặc 26 (3 đáp án đầu).

Tiếp theo là tính mean. Với các thống kê có khoảng, người học có thể lấy giá trị trung bình của khoảng đó để tính toán. Ví dụ, giá trị trung bình của khoảng 10 đến 20 là 15. Lấy 15 x 6 nhân viên sẽ ra tổng số giờ làm việc trung bình của họ. Làm tương tự với các khoảng còn lại, người học được 15 x 6 + 25 x 17 + 35 x 9 + 45 x 5 + 55 x 1 + 65 x 2 = 1240. Chia tổng này cho 40 nhân viên, được giá trị là 31. Như vậy, giá trị mean gần với 31 nhất sẽ là đáp án chính xác. Chọn C.

Người học có thể làm theo một cách khác. Mỗi người trong số 6 nhân viên được đại diện bởi thanh đầu tiên đã làm ít nhất 10 giờ nhưng không quá 20 giờ. Do đó, tổng số giờ làm việc của 6 nhân viên này ít nhất là 60. Tương tự, tổng số giờ làm việc của 17 nhân viên được đại diện bởi thanh thứ hai ít nhất là 340; tổng số giờ làm việc của 9 nhân viên được đại diện bởi thanh thứ ba ít nhất là 270; tổng số giờ làm việc của 5 nhân viên được đại diện bởi thanh thứ tư ít nhất là 200; tổng số giờ làm việc của 1 nhân viên được đại diện bởi thanh thứ năm ít nhất là 50; và tổng số giờ làm việc của 2 nhân viên được đại diện bởi thanh thứ sáu ít nhất là 120. Cộng tổng số giờ này cho thấy tổng số giờ làm việc của tất cả 40 nhân viên ít nhất là 1040. Chia tổng này cho 40 nhân viên, được giá trị nhỏ nhất là 26. Như vậy, đáp án cần có mean lớn hơn 26, và có median phù hợp điều kiện ở trên. Chọn C.

Practice

Câu hỏi 1: Tỷ số, tỷ lệ, đơn vị và tỷ lệ phần trăm

Answer

Question 1: B

Question 2: B

Question 3: A

Conclusion