Buzz
1. Kiến thức về hằng đẳng thức
- Bình phương của một tổng: Bình phương của một tổng bằng bình phương của số đầu tiên cộng với hai lần tích của số đầu tiên và số thứ hai, rồi cộng với bình phương của số thứ hai.
(A + B)² = A² + 2AB + B²
- Bình phương của một hiệu: Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số đầu tiên trừ đi hai lần tích của số đầu tiên và số thứ hai, cộng với bình phương của số thứ hai.
(A – B)² = A² – 2AB + B²
- Hiệu hai bình phương: Hiệu của hai bình phương bằng tích của hiệu và tổng của hai số đó.
A² – B² = (A + B)(A – B)
- Lập phương của một tổng: Lập phương của một tổng bằng lập phương của số đầu tiên cộng với ba lần tích của bình phương số đầu tiên và số thứ hai, cộng với ba lần tích của số đầu tiên và bình phương số thứ hai, cộng với lập phương của số thứ hai.
(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
- Lập phương của một hiệu: Lập phương của một hiệu bằng lập phương số đầu tiên trừ đi ba lần tích của bình phương số đầu tiên và số thứ hai, cộng với ba lần tích của số đầu tiên và bình phương số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương số thứ hai.
(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³
- Tổng hai lập phương: Tổng của hai lập phương bằng tích của tổng hai số đó với bình phương của hiệu hai số.
(A + B)(A² – AB + B²) = A³ + B³
- Hiệu của hai lập phương: Hiệu của hai lập phương bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng hai số.
(A – B)(A² + AB + B²) = A³ – B³
2. Các dạng bài tập ứng dụng hằng đẳng thức
- Dạng bài tập 1: Biến đổi biểu thức
Phương pháp thực hiện: sử dụng 7 hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức một cách chính xác.
Ví dụ: (2x + 3y)² = 4x² + 2 × 2x × 3y + 9y² = 4x² + 12xy + 9y²
- Dạng bài tập 2: Tính giá trị biểu thức
Phương pháp: Đối với loại bài tập này, chúng ta có thể thực hiện như sau:
- Chuyển đổi biểu thức đã cho thành những dạng phù hợp để tính giá trị.
- Áp dụng 7 hằng đẳng thức cơ bản để biến đổi biểu thức cần tính về dạng liên quan đến giá trị đã cho.
- Thay các giá trị vào biểu thức và tính toán kết quả.
Ví dụ: Nếu x + y = 1, tính giá trị của biểu thức A = x³ + 3xy + y²
Áp dụng hằng đẳng thức bậc ba, ta có: A = x³ + 3xy + y² = (x + y)(x² - xy + y²) + 3xy
= (x + y)((x + y)² - 3xy) + 3xy
Theo đề bài, x + y = 1. Thay vào biểu thức A, ta có:
A = 1 × (1 - 3xy) + 3xy = 1
- Dạng bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Phương pháp: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x), ta áp dụng hằng đẳng thức để biến đổi về dạng n + Q(x) ≥ n (với n là hằng số). Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của A(x) là n.
Ví dụ: Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x² – 2x + 5
Ta có: P = x² – 2x + 5 = x² – 2x + 1 + 4 = (x – 1)² + 4
Vì (x – 1)² ≥ 0, nên (x – 1)² + 4 ≥ 4
Do đó: P = 4 là giá trị nhỏ nhất khi (x – 1)² = 0, tức là x = 1
Với x = 1, giá trị nhỏ nhất của đa thức P là 4.
- Dạng bài tập 4: Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức
Phương pháp: Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức A(x). Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi thành dạng m – Q(x) ≤ m (với m là hằng số), từ đó GTLN của A(x) là m.
Ví dụ: Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 4x – x^2 + 3
Chúng ta có: A = 4x – x^2 + 3
= 7 – x^2 + 4x – 4
= 7 – (x^2 – 4x + 4)
= 7 – (x – 2)^2
Do (x – 2)^2 ≥ 0, nên A = 7 – (x – 2)^2 ≤ 7
Vậy giá trị lớn nhất của A là 7 khi x = 2
- Dạng bài tập 5: Chứng minh các đẳng thức đồng nhất
Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đơn thức và nhân đa thức với đa thức. Biến đổi sao cho vế trái bằng vế phải hoặc chứng minh chúng cùng bằng một biểu thức.
Ví dụ: Chứng minh: (x^2 - xy - y)(x + y) + xy(y + 1) = x^3 - y^2
Ta có: VT = (x^2 - xy - y)(x + y) + xy(y + 1)
= x^3 + x^2y - x^2y - xy^2 - xy - y^2 + xy^2 + xy
= x^3 - y^2 = VP
3. Bài tập hằng đẳng thức lớp 8 (kèm đáp án chi tiết)
Bài 1: Chuyển đổi các biểu thức sau bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức
a, (x + 2y)^2
b, (x – 3y)(x + 3y)
c, (5 – x)^2
d, (x – 1)^2
e, (3 – y)^2
f, (x – 1/2)^2
Đáp án:
a, (x + 2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2
b, (x – 3y)(x + 3y) = x^2 – (3y)^2 = x^2 – 9y^2
c, (5 – x)^2 = 25 – 10x + x^2
d, (x – 1)^2 = x^2 – 2x + 1
e, (3 – y)^2 = 9 – 6y + y^2
f, (x – 1/2)^2 = x^2 – x + 1/4
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a, (x + y)^2 + (x – y)^2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)^2 + (x – y)^2
c, (x – y + z)^2 + (z – y)^2 + 2(x – y + z)(y – z)
Đáp án:
a, (x + y)^2 + (x – y)^2
= x^2 + 2xy + y^2 + x^2 – 2xy + y^2
= 2x^2 + 2y^2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)^2 + (x – y)^2
= [(x + y) + (x – y)]^2 = (2x)^2 = 4x^2
c, (x – y + z)^2 + (z – y)^2 + 2(x – y + z)(y – z)
= (x – y + z)^2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)^2
= [(x – y + z) + (y – z)]^2 = x^2
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức đã học
a, x^2 – y^2 với x = 87 và y = 13
b, x^3 + 9x^2 + 27x + 27 với x = 97
Đáp án:
a, Công thức: x^2 – y^2 = (x + y)(x – y)
Thay x = 87 và y = 13 vào công thức, ta có:
x^2 – y^2 = (x + y)(x – y)
= (87 + 13)(87 – 13)
= 100 × 74 = 7400
b, Biểu thức: x^3 + 9x^2 + 27x + 27
= x^3 + 3 × x^2 × 3 + 3 × x × 3^2 + 3^3
= (x + 3)³
Khi x = 97, ta có: (x + 3)³ = (97 + 3)³ = 100³ = 1,000,000
Bài 4: Chứng minh rằng:
(a + b)(a² – ab + b²) + (a – b)(a² + ab + b²) = 2a³
Trả lời:
Ta có: (a + b)(a² – ab + b²) + (a – b)(a² + ab + b²)
= a³ + b³ + a³ – b³ = 2a³
Do đó, vế trái bằng vế phải, tức là đẳng thức đã được chứng minh.
Bài 5: Áp dụng kiến thức về hằng đẳng thức để chứng minh rằng 4x – x² – 5 < 0 với mọi x
Trả lời: Ta có: 4x – x² – 5 = -(x² – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)² – 1
Vì (x – 2)² luôn không âm với mọi giá trị của x, nên –(x – 2)² luôn không dương với mọi x.
Do đó, -(x – 2)² - 1 luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi x.
Vậy, 4x – x² – 5 luôn nhỏ hơn 0 với mọi x.
Bài 6: Dựa vào các hằng đẳng thức, hãy xác định giá trị nhỏ nhất của đa thức M = x² + y² – x + 6y + 10
Trả lời:
Ta có: M = x² + y² – x + 6y + 10 = (y² + 6y + 9) + (x² – x + 1)
= (y + 3)² + (x² – x + 1) = (y + 3)² + (x – 1/2)² + 3/4
Vì (y + 3)² và (x – 1/2)² đều không âm, nên tổng của chúng cũng không âm.
⇒ (y + 3)² + (x – 1/2)² + 3/4 ≥ 3/4
⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)² = 0
⇒ y = -3 và (x – 1/2)² = 0 nên x = 1/2
Vậy M = 3/4 đạt giá trị nhỏ nhất khi y = -3 và x = 1/2
