Bài tập luyện tập về các trường hợp tam giác đồng dạng

1. Kiến thức cơ bản về các trường hợp đồng dạng của tam giác

- Các trường hợp tam giác đồng dạng

+ Trường hợp đầu tiên là cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): Nếu ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với ba cạnh của tam giác khác, thì hai tam giác đó là đồng dạng.

+ Trường hợp thứ hai là cạnh – góc – cạnh (c.g.c): Nếu hai cạnh của một tam giác tỉ lệ với hai cạnh của tam giác khác và hai góc giữa các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, thì hai tam giác là đồng dạng.

+ Trường hợp thứ ba là góc – góc – góc (g.g.g): Nếu hai góc của một tam giác tương ứng bằng hai góc của tam giác khác, thì hai tam giác đó là đồng dạng.

- Các trường hợp tam giác vuông đồng dạng: Hai tam giác vuông sẽ đồng dạng nếu:

+ Tam giác vuông này có một góc nhọn trùng với góc nhọn của tam giác vuông kia.

+ Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

+ Nếu tỉ lệ giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tương ứng với tỉ lệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia, thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

2. Bài tập ôn luyện về các trường hợp tam giác đồng dạng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra ngoài tam giác các tam giác ABD vuông cân tại B và ACF vuông cân tại C. Gọi H là điểm giao của AB và CD, K là điểm giao của AC và BF. Chứng minh rằng:

a) AH = AK

b) AH² = BH × CK

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A cắt lần lượt BD, BC, DC tại E, K, G. Chứng minh rằng:

a) AE² = EK × EG

b) 1/AE = 1/AK + 1/AG

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A, thì tích BK × DG không thay đổi

Bài 3: Cho tứ giác ABCD với các điểm E, F, G, H lần lượt chia các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỷ lệ 1:2. Chứng minh rằng:

a) EG = FH

b) EG vuông góc với FH

Bài 4: Cho tam giác ABC với AB < AC và các phân giác BD, CE

a) Đường thẳng đi qua D và song song với BC cắt AB tại K, chứng minh rằng E nằm giữa B và K

b) Chứng minh rằng: CD > DE > BE

a) Tính độ dài AC

b) Nếu ba cạnh của tam giác là ba số nguyên liên tiếp thì các cạnh đó là bao nhiêu?

c) DO và EO lần lượt là phân giác của các góc BDE và CED

d) Khoảng cách từ O đến đoạn ED không thay đổi khi D di chuyển trên AB

Bài 7: Xét tam giác ABC với trung tuyến AM. Từ điểm D trên cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB và AC tại E và F

a) Chứng minh rằng tổng DE + DF luôn không thay đổi khi D di chuyển trên BC

b) Vẽ một đường thẳng qua A song song với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K là trung điểm của FE

3. Đáp án cho bài tập ôn tập liên quan đến các trường hợp đồng dạng của tam giác

Bài 1:

a) Gọi AB = c, AC = b. Do BD // AC (cùng vuông góc với AB) nên AH/AB = AC/BD = b/c, từ đó AH/HB = b/c và AH/(HB+AH) = b/(b+c)

Do đó, AH/AB = b/(b+c) suy ra AH/c = b/(b+c) và AH = b.c/(b+c) (1)

Vì AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên AK/KC = AB/CF = c/b, do đó AK/KC = c/b và AK/(KC+AK) = c/(b+c)

Vì vậy, AK/AC = b/(b+c) suy ra AK/b = c/(b+c) và AK = bc/(b+c) (2)

Từ (1) và (2) ta có: AH = AK

b) Dựa vào AH/HB = AC/BD = b/c và AK/KC = AB/CF = c/b, ta suy ra AH/HB = KC/AK. Vì AH = AK nên AH/HB = KC/AH, từ đó AH² = BH . KC

Bài 2:

a) Vì ABCD là hình bình hành và K nằm trên BC, nên AD // BK. Theo hệ quả của định lý Ta-lét, ta có:

EK/AE = EB/ED = AE/EG => EK/AE = AE/EG => AE^2 = EK.EG

b) Ta có: AE/AK = DE/DB ; AE/AG = BE/BD nên AE/AK + AE/AG = BE/BD + DE/DB = BD/BD = 1 => AE.(1/AK + 1/AG) = 1 => 1/AE = 1/AK + 1/AG (đpcm)

c) Ta có: BK/KC = AB/CG => BK/KC = a/CG (1);

KC/AD = CG/DG => KC/b = CG/DG (2)

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK/b = a/DG => BK.DG = ab không đổi

(Do a = AB và b = AD là độ dài không thay đổi của hai cạnh đối diện trong hình bình hành ABCD)

Bài 3:

Đặt M và N lần lượt là trung điểm của CF và DG

Có CM = 1/2 CF = 1/3 => BM/BC = 1/3 => BE/BA = BM/BC = 1/3 => EM // AC => EM/AC = BM/BE = 2/3 => EM = 2/3 AC (1)

Tương tự, NF // BD => NF/BD = CF/CB = 2/3 => NF = 2/3 BD (2)

vì AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: EM = NF (a)

Tương tự như trên, ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = 1/3 AC (b)

Ngoài ra, EM // AC; MG // BD và AC vuông góc với BD => EM vuông góc với MG => EMG = 90º (4)

Tương tự, FNH = 90º (5)

Từ (4) và (5) suy ra EMG = FNH = 90º (c)

Dựa vào (a), (b), (c) ta có EMG = FNH (c.g.c) => EG = FH

Suy ra EOP = PQF = 90º => EO vuông góc với OP => EG vuông góc với FH

Bài 4:

a) Vì BD là phân giác nên AD/DC = AB/BC < AC/BC = AE/EB => AD/DC < AE/EB (1)

Ngoài ra, KD // BC nên AD/DC = AK/KB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AK/KB < AE/EB => AB/KB < AB/EB => KB > EB => E nằm giữa K và B

b) Đặt M là giao điểm của DE và CB.

Ta có CBD = KDB (do góc so le trong) => KBD = KDB

Vì E nằm giữa K và B nên KDB > EDB => KBD > EDB => EBD > EDB => EB < DE

Có CBD + ECB = EDB + DEC => DEC > ECB => DEC > DCE (vì DCE = ECB)

Suy ra CD > ED => CD > ED > BE

Bài 5:

Cách 1: Trên tia đối diện với tia BA, chọn điểm E sao cho: BD = BC

= => AC^2 = AB.AD = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 => AC = 12 cm

AB/AC = AE/AB = BE/CB = AC/(AB+CB) => AC^2 = AB(AB + CB) = 8(8 + 10) = 144 => AC = 12 cm

b) Đặt AC = b, AB = a, BC = c, theo câu a, ta có b^2 = a(a + c) (1)

Vì b > a, nên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2

+ Nếu b = a + 1, thì (a + 1)^2 = a^2 + ac => 2a + 1 = ac => a(c – 2) = 1

=> a = 1; b = 2; c = 3 (không hợp lệ)

+ Nếu b = a + 2, thì a(c – 4) = 4

- Với a = 1, c = 8 (không hợp lệ)

- Với a = 2, c = 6 (không hợp lệ)

- Với a = 4, ta có c = 6 và b = 5

Vậy ta có a = 4, b = 5, c = 6

Bài 6:

b) Theo câu a, ta có O3 = E2 (1)

Do B, O, C nằm trên một đường thẳng nên O3 + DOE + EOC = 180º (2)

Trong tam giác EOC, ta có E2 + C + EOC = 180º (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra DOE = B = C

c) Theo câu b, ta có D1 = D2 => DO là phân giác của các góc BDE

Từ câu b cũng cho thấy E1 = E2 => EO là phân giác của các góc CED

d) Gọi OH và OI lần lượt là khoảng cách từ O đến DE và CE, thì OH = OI; vì O cố định nên OH không thay đổi => OI cũng không thay đổi khi D di chuyển trên AB