Bài tập tổng hợp hình học lớp 8

1. Nội dung chương trình hình học lớp 8

Chương 3: Tứ giác

Bài 10: Tứ giác: Áp dụng tính chất các góc trong một tứ giác để xác định góc; Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải quyết các bài toán liên quan đến cạnh của tứ giác

Bài 11: Hình thang cân: Các tính chất góc của hình thang; Áp dụng các đặc điểm của hình thang cân để tính toán và chứng minh; Chứng minh một tứ giác là hình thang cân

Bài 12: Hình bình hành: Sử dụng các tính chất của hình bình hành để chứng minh các đặc điểm hình học; Áp dụng dấu hiệu nhận diện để chứng minh một tứ giác là hình bình hành

Bài 13: Hình chữ nhật: Sử dụng dấu hiệu nhận diện để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật; Áp dụng kiến thức về hình chữ nhật để giải các bài toán

Bài 14: Hình thoi và hình vuông: Sử dụng dấu hiệu nhận diện để chứng minh một tứ giác là hình thoi; Áp dụng kiến thức về hình thoi để giải toán; Sử dụng dấu hiệu nhận diện để chứng minh một tứ giác là hình vuông; Áp dụng kiến thức về hình vuông để giải toán

Chương 4: Định lý Thalès

Bài 15: Định lý Thalès trong tam giác: Tính toán độ dài đoạn thẳng; Chứng minh hai đường thẳng là song song

Bài 16: Đường trung bình trong tam giác

Bài 17: Tính chất của đường phân giác trong tam giác

Chương 9: Tam giác đồng dạng: Ứng dụng tam giác đồng dạng để thực hiện các phép tính

Bài 33: Hai tam giác đồng dạng: Cách chứng minh hai tam giác là đồng dạng

Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Bài 35: Định lý Pythagore và các ứng dụng của nó

Bài 36: Các tình huống đồng dạng trong hai tam giác vuông

Bài 37: Các hình đồng dạng

Chương 10: Một số hình khối thực tiễn: Chứng minh tính chất song song và vuông góc; Tính diện tích và thể tích

Bài 38: Hình chóp tam giác đều

Bài 39: Hình chóp có đáy là tứ giác đều

2. Bài tập tổng hợp hình học lớp 8

Câu 1. Tính góc C trong tứ giác ABCD với các góc A = 72º, B = 114º, D = 85º.

Câu 2. Xác định đúng (Đ) hoặc sai (S) cho các khẳng định sau:

A. Tứ giác có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.

B. Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau.

C. Trong hình thang cân, hai góc kề một cạnh đáy bù nhau.

D. Trong hình thang cân, hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau.

Câu 3: Xác định số đo góc BCD trong hình thang cân ABCD với BAD = 60º.

A. 50º

B. 60º

C. 120º

D. 80º

Câu 4: Trong hình thang cân ABCD (AB // CD), chọn mệnh đề không đúng.

A. Tam giác ABC bằng tam giác BAD

B. Góc CAB bằng góc DBA

C. Tam giác ABE là tam giác cân

D. Tam giác AED là tam giác cân

Câu 5: Trong hình bình hành ABCD với đường chéo BD, kẻ AH và CK vuông góc với BD tại H và K. Hãy chứng minh rằng tứ giác AHCK là hình bình hành.

Câu 6: Trong tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Điểm D là đối xứng của G qua M, điểm E là đối xứng của G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì và tại sao?

Câu 7: Xét tam giác ABC với M, N, và P lần lượt là trung điểm của AC, AB và BC, và biết rằng AB = BC. Tứ giác NMPB là hình gì?

A. Hình thoi

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Hình thang

Câu 8: Xét hình vuông ABCD. Trên cạnh AD và DC, chọn các điểm E và F sao cho AE = DF. Chứng minh:

a) Hai tam giác ADF và BAE là bằng nhau;

b) BE vuông góc với AF.

3. Hướng dẫn giải các bài tập tổng hợp hình học lớp 8

Câu 1.

Áp dụng định lý về tổng góc của tứ giác: Tứ giác ABCD có tổng các góc bằng 360º, nên ta có: A + B + C + D = 360º, từ đó suy ra C = 360º − (A + B + D).

Thay các giá trị vào công thức, ta tính được: C = 360º − (72º + 114º + 85º) ⇒ C = 89º.

Câu 2.

Lời giải:

+ Tứ giác có hai cạnh bên bằng nhau không nhất thiết là hình thang cân. Do đó, Đáp án A sai vì hai cạnh bên bằng nhau không đủ điều kiện để tạo ra hình thang cân.

+ Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau. → Đáp án B là chính xác.

+ Hình thang cân có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau. → Đáp án D đúng, còn đáp án C không chính xác.

Câu 3.

Theo tính chất của hình thang cân, ta có: A = B và C = D.

Tổng các góc trong tứ giác là 360º, nên: 2A + 2C = 360º, suy ra 2C = 360º - 2A = 360º - 2×60º = 240º, từ đó C = 120º.

Chọn đáp án C.

Câu 4.

Xem xét tam giác ABC và tam giác BAD, ta có: AD = BC (vì ABCD là hình thang cân); AB là cạnh chung; AC = BD (do hai đường chéo của hình thang cân bằng nhau).

Do đó: tam giác ABC bằng tam giác BAD (theo cạnh-cạnh-cạnh) => góc CAB bằng góc DBA (hai góc tương ứng).

Vì vậy, góc EAB = góc EBA. Do đó, tam giác ABE là tam giác cân tại E.

Câu 5.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: AD = BC và AD // BC.

Do AD // BC nên góc ADH và góc CBK là hai góc so le trong.

Ta có: AH vuông góc với BD và CK vuông góc với BD, suy ra góc AHD = 90° và góc CKB = 90°. Đồng thời, AH // CK.

Xem xét tam giác AHD và CKB với: AHD = CKB = 90° và ADH = CBK. Ta có AD = BC, nên ΔAHD = ΔCKB (cạnh huyền và góc nhọn) dẫn đến AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Xem tứ giác AHCK, với AH = CK và AH // CK. Do đó, tứ giác AHCK là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết).

Câu 6.

Hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại G, do đó G là trọng tâm của tam giác ABC.

Theo đặc điểm của trọng tâm tam giác, ta có: BG = 2GM và CG = 2GN (1)

G đối xứng với D qua M, nên GM = MD, dẫn đến GD = 2GM (2)

G đối xứng với E qua N, nên GN = EN, dẫn đến GE = 2GN (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: BG = GD và CG = GE, nghĩa là G là trung điểm của BD và CE.

Xem tứ giác BCDE với G là trung điểm của các đường chéo BD và CE, do đó tứ giác BCDE là hình bình hành.

Ta có: Tam giác ABC cân tại A, vì vậy AB = AC. Với M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB, ta có BN = CM.

Xét hai tam giác BNC và CMB với: BC là cạnh chung; BN = CM; và góc NBC = góc MCB (do tam giác ABC cân tại A). Suy ra: Δ BNC = Δ CMB (c – g – c) dẫn đến CN = BM.

Theo đó, CN = 3/4 EC và BM = 3/4 BD.

Do EC = BD và hai đường chéo EC và BD bằng nhau, hình bình hành BCDE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Câu 7.

Xem xét tam giác ABC với M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB, ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: MN song song với BC và MN = 1/2 BC (1).

Hơn nữa, P là trung điểm của BC nên BP = 1/2 BC (2).

Từ (1) và (2), ta có MN = BP. Tứ giác NMPB có hai cạnh đối MN và BP song song và bằng nhau, vì vậy nó là hình bình hành.

Ngoài ra, vì N là trung điểm của AB nên BN = 1/2 AB.

Theo giả thiết AB = BC, từ (1) và (2) suy ra BP = BN.

Tứ giác NMPB là hình bình hành với hai cạnh kề BP và BN bằng nhau, do đó nó là hình thoi.

Đáp án chính xác là A.

Câu 8.

a) Trong hình vuông ABCD, ta có AB = AD và góc D = góc EAB = 90 °.

Xem xét hai tam giác ADF và BAE, chúng ta có: AD = AB; góc D = góc EAB = 90 °; AE = DF (theo giả thiết).

Từ đó, Δ ADF = Δ BAE (cạnh - góc - cạnh).

b) Đặt giao điểm của BE và AF là G.

Ta có tổng hai góc DFA và DAF bằng 90 °.

Vì góc DFA = góc AEB (do Δ ADF = Δ BAE), ta có tổng góc AEB và DAF = 90 °, hay tổng góc AEG và EAG = 90 °.

Theo định lý tổng ba góc trong tam giác AEG: góc AGE + góc AEG + góc EAG = 180 °, suy ra góc AGE = 90 °, do đó BE vuông góc với AF tại G.