Bài tập về đạo hàm với các dạng và đáp án chi tiết cho Toán lớp 11

Mytour gửi đến bạn đọc bộ bài tập đạo hàm minh họa kèm lời giải và bài tập tự luyện, giúp bạn ôn tập và củng cố kiến thức môn học.

Đạo hàm là tỷ số giữa sự thay đổi của đối số và sự thay đổi của hàm số tại một điểm cụ thể, gọi là x₀. Đạo hàm có vai trò quan trọng trong vật lý cũng như các ứng dụng hình học và hình học không gian. Để giải các bài tập về đạo hàm, bạn cần nắm vững các lý thuyết sau:

- Công thức đạo hàm cơ bản

- Công thức đạo hàm lượng giác

- Công thức đạo hàm cho biến số, hàm số và phân thức hữu tỉ

- Công thức đạo hàm và bảng nguyên hàm

- Công thức đạo hàm nâng cao

Khi đã nắm vững các công thức trên, Mytour mời bạn tiếp tục luyện tập các dạng bài toán về đạo hàm với lời giải chi tiết dưới đây:

Dạng 1: Tính đạo hàm theo định nghĩa

Bài 1: Xem xét ba phát biểu dưới đây và chọn câu đúng nhất:

(1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x = x_o thì f(x) liên tục tại điểm đó

(2) Nếu hàm số f(x) liên tục tại điểm x = x_o thì f(x) có đạo hàm tại điểm đó

(3) Nếu f(x) gián đoạn tại x = x_o thì chắc chắn f(x) không có đạo hàm tại điểm đó

Trong ba phát biểu trên:

A. Có hai phát biểu đúng và một phát biểu sai

B. Có một phát biểu đúng và hai phát biểu sai

C. Tất cả ba phát biểu đều đúng

D. Tất cả ba phát biểu đều sai

Đáp án: Chọn B. Có một phát biểu đúng và hai phát biểu sai.

Bài 2: Chọn câu đúng trong các phát biểu dưới đây:

A. Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi điểm trong miền xác định của nó

B. Hàm số tanx có đạo hàm tại mọi điểm trong miền xác định của nó

C. Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi điểm trong miền xác định của nó

D. Hàm số y = 1/sinx có đạo hàm tại mọi điểm trong miền xác định của nó

Đáp án: Chọn D. Hàm số y = 1/sinx có đạo hàm tại mọi điểm trong miền xác định của nó.

Bài 3

(I) y = cosx/sinx có dạng u/v

(III) Thực hiện các phép biến đổi, ta có y' = - 1/sin²x = - (1 + cot²x)

Xác định bước nào là chính xác?

A. Chỉ bước (II) đúng

B. Chỉ bước (III) đúng

C. Chỉ bước (I) đúng

D. Tất cả ba bước đều chính xác

Lựa chọn: C

Bài 4:³_o

A. Số gia là -19

B. Số gia là 7

C. Số gia là 19

D. Số gia là -7

Đáp án: Lựa chọn B. 7

Bài 5: Xét hàm số f(x) = x² + |x| với hai nhận định sau:

(1) Hàm số có đạo hàm tại x = 0

(2) Hàm số liên tục tại x = 0

Trong hai nhận định trên:

A. Chỉ có (1) đúng

B. Chỉ có (2) đúng

C. Cả hai nhận định đều sai

D. Cả hai nhận định đều đúng

Đáp án: Lựa chọn D. Cả hai nhận định đều đúng

Loại 2: Đạo hàm của đa thức - Hữu tỷ - Căn bậc hai

Bài 1:

A. 1/2

B. 1

C. 0

D. Không tồn tại

Đáp án: Lựa chọn C

Bài 2:

A. 1/2

B. -1/2

Đáp án: Chọn D

Bài 3: Xét hàm số f(x) = 2x

³ + 1. Tính giá trị f'(-1)

A. 6

B. 3

C. -2

D. -6

Đáp án: Lựa chọn A

Bài 4

A. Y'(0) = 1/2

B. Y'(0) = 1/3

C. Y'(0) = 1

D. Y'(0) = 2

Đáp án: Chọn A. Y'(0) = 1/2

Loại 3: Tìm đạo hàm của hàm số

Khi làm bài tập dạng này, cần lưu ý:

- Trong một số bài toán, ta có thể rút gọn f(x) trước rồi mới tính đạo hàm (đặc biệt là với các hàm số lượng giác)

- Để rút gọn, nhớ các công thức sau:

Sin2x = 2sinx cosx

Cos2x = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - sin²x

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số y = 1/4 - 1/3x + x² - 0,5x⁴

A. y' = -1/3 + 2x - 2x³

B. y' = 2x - 2x³

C. y' = -x⁴ + 2x

D. y' = 2x - 2x⁴

Đáp án: Chọn A. y' = -1/3 + 2x - 2x³

Bài 2:

A. y' = rac{ad - bc}{(c + d)²}

B. y' = rac{a + b}{c + d}

C. y' = rac{ad - bc}{c + d}

D. y' = rac{a}{c + d}

Đáp án: Chọn D. y' = rac{a}{c + d}

Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số y = (x⁷ + x)²

A. Y' = (14x⁶ + 2) (x⁷ + x)

B. Y' = (7x⁶ + 1) (x⁷ + x)

C. Y' = 2(x⁷ + x)

D. Y' = (14x⁶ + 1) (x⁷ + x)

Đáp án: Chọn A. Y' = (14x⁶ + 2) (x⁷ + x)

Bài 4: Xét hàm số y = (4x² + 2x) (3x - 7x⁵). Tính tổng các hệ số của y'

A. Tổng các hệ số là 328

B. Tổng các hệ số là -232

C. Tổng các hệ số là -304

D. Tổng các hệ số là -256

Đáp án: Chọn B. Tổng các hệ số là -232

Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số y = cos²x

A. Y' = sin²x

B. Y' = - sin²x

C. Y' = - sin2x

D. Y' = cos2x

Đáp án: Chọn C. Y' = - sin2x

Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số y = cot(sin5x)

A. Y' = - (1 + cot²(sin5x)) cos5x

B. Y' = -5 (1 + cot²(sin5x)) cos5x

C. Y' = (1 + cot²(sin5x)) cos5x

D. Y' = 5 (1 + cot²(sin5x)) cos5x

Đáp án: Chọn B.

Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số y = (1 - 2x²)³

Giải pháp: Áp dụng công thức ta có:

Y' = 3 (1 - 2x²)² . (1 - 2x²)' = 3 (1 - 2x²)² (-4x) = -12x (1 - 2x²)²

Bài 8: Đạo hàm của hàm số y = (1 - x²)⁵ là:

A. y' = 5 (1 - x²)⁴

B. y' = -10x (1 - x²)⁴

C. y' = -2 (1 - x²)⁴

D. y' = -5x (1 - x²)⁴

Đáp án: Chọn B

Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số y = (x³ - x + 1)⁵

A. 4(x³ - x + 1)⁴ (3x - 1)

B. 5(x³ - x + 1)⁴ (3x - 1)

C. 5(x³ - x + 1)

D. (x³ - x + 1)⁴ (3x - 1)

Đáp án: Lựa chọn B

Dạng 4: Bài toán chứng minh, giải phương trình, bất phương trình

Bài 1: Cho hàm số f(x) = x³ - x² + 3mx + 2019. Tìm giá trị của m để phương trình f'(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt

Giải: Ta có f'(x) = 3x² - 2x + 3m và f'(x) = 0 ⇔ 3x² - 2x + 3m = 0 (*)

Bài 2: Cho hàm số y = mx⁴ + (m² - 9) x² + 10. Tìm giá trị của m để phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

³²³²

Vậy giá trị của m cần tìm là m < -3 hoặc 0 < m < 3

Dạng 5: Bài tập đạo hàm ứng dụng, nâng cao

Bài 1: Xét hàm số f(2x) = 4. Cosx. f(x) - 2x. Tính giá trị của f'(0)

A. 0

B. 1

C. -2

D. 2

Hướng dẫn giải: Áp dụng đạo hàm của hàm số hợp và các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số f(2x). Thay x = 0 vào và tính f'(0), ta có f'(0) = 1.

Chọn đáp án B. 1

Bài 2: Tính tổng S, với S = 1 + 2. 2 + 3. 2² + 4 . 2³ + ... + 2023. 2²⁰²²

A. S = 2022. 2²⁰²³ + 1

B. S = 2023. 2²⁰²³ + 1

C. S = 2022. 2²⁰²³ + 1

D. S = 2024. 2²⁰²³ + 1

Đáp án: Chọn A

Đây là bài viết của Mytour về Các bài toán đạo hàm theo từng dạng có lời giải chi tiết. Hy vọng bài viết sẽ cung cấp thông tin hữu ích giúp bạn không chỉ nắm vững kiến thức về đạo hàm mà còn áp dụng thành thạo vào các bài tập đạo hàm với nhiều dạng bài khác nhau. Xin chân thành cảm ơn.