Buzz
Hiệu hai bình phương là một trong những hằng đẳng thức quan trọng được giảng dạy trong chương trình Toán THCS.
Hiệu hai bình phương là một trong những hằng đẳng thức cơ bản nhất, tuy nhiên lại có thể áp dụng để giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về định nghĩa, ví dụ minh họa cùng các bài tập có đáp án. Hy vọng rằng thông qua tài liệu này, các bạn sẽ có thêm kiến thức và kỹ năng để giải quyết các bài tập liên quan. Đồng thời, bạn cũng có thể tham khảo thêm các tài liệu về các trường hợp đồng dạng của tam giác.
1. Hiệu hai bình phương là gì?
Cho A và B là hai biểu thức bất kỳ, chúng ta có:
Công thức:2 - B2 = (A – B).(A + B)
Ví dụ:
(2x+1)(2x-1) = (2x)2 -12 = 4x2 -1
912 - 92 = (91 - 9)(91 + 9) = 82.100 = 8200
62.78 = (70 - 8)(70 + 8) =702 - 82 = 4900 - 64 = 4836
2. Nguyên lý cơ bản
Hiệu của bình phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và hiệu hai biểu thức.
3. Bài tập về nguyên lý cơ bản
Bài 1: Tính toán nhanh chóng
Tính toán nhanh chóng
a) 1012
b) 47.53
c) 20,1.19,9
d) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1)
e) 1002 - 992 + 982 - 972 +......+ 22 - 12
f) (202 + 182 + 162 +...........+ 42 + 22) - (192 + 172 + 152 +.............+ 32 +12)
Gợi ý đáp án
a) 1012 = (1012 - 1) + 1 = (101 + 1)(101 - 1) +1 = 100.102 + 1 =10201
b) 47.53 = (50 - 3)(50 + 3) = 502 - 32 = 2500 - 9 =2491
c) 20,1.19,1 = (20 + 0,1)(20 - 0,1)= 202 - 0,12 =400 - 0,01 =399,99
d) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) = (9.2)8 - ((184)
e) Đặt A = 1002 - 992 + 982 - 972 +..............+ 22 - 12
Ta có:
A = (1002 - 992) + (982 - 972) +..............+ (22 - 12)
= (100 - 99)(100 + 99) + (98 - 97)(98 + 97) + ................ + (2 - 1)(2 + 1)
= 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + 95 + ........................................+ 2 + 1
= 100.101 : 2
= 5050
f) Đặt B = ( 202 + 182 + 162 +..............+ 42 + 22) - (192 +172 + 152 +.................+ 32 + 12)
Ta có:
B = ( 202 + 182 + 162 +..............+ 42 + 22) - (192 +172 + 152 +.................+ 32 + 12)
= (202 - 192) + (182 - 172) + (162 - 152) + .....................+ (42 - 32) + (22 - 12)
= (20 + 19)(20 - 19) + (18 - 17)(18 + 17) + (16 - 15)(16 + 15) +............+ (4 - 3)(4 + 3) + (2 - 1)(2 + 1)
= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 +..................................+ 4 + 3 + 2 + 1
= 20.21 : 2
= 210
*Mẹo nhỏ khi sử dụng máy tính Casio để phân rã biểu thức thành tổng và hiệu
Bài 2: Thực hiện phép tính:
a) x2 – 4y2 | b) (x + y)2 – (2 – y)2 |
Đáp án gợi ý:
a) x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x – 2y).(x + 2y)
b) (x + y)2 – (2 – y)2
Cách 1: Phân tích (x + y)2 – (2 – y)2
= (x + y + 2 – y).(x + y – 2 + y)
= (x + 2).(x + 2y – 2)
= x2 + 2xy – 2x + 2x + 4y – 4
= x2 + 2xy + 4y - 4
Cách 2: (x + y)2 – (2 – y)2
= x2 + 2xy + y2 – (4 – 4y + y2)
= x2 + 2xy + y2 – 4 + 4y - y2
= x2 + 2xy – 4 + 4y
Bài 3: Đặt các biểu thức sau dưới dạng hiệu hai bình phương:
a) (2x – 3y)(2x + 3y) | b) (1 + 3y)(3y – 1) |
c) (4a – 2)(4a + 2) | d) (a – 3b)(a + 3b) |
Đáp án gợi ý:
a) (2x – 3y)(2x + 3y) = (2x)2 – (3y)2 = 4x2 – 9y2
b) (1 + 3y)(3y – 1) = (3y)2 – 12 = 9y2 - 1
c) (4a – 2)(4a + 2) = (4a)2 – 22 = 16a2 - 4
d) (a – 3b)(a + 3b) = a2 – (3b)2 = a2 – 9b2
Bài 4: Tính nhanh
a) 45 . 55 | b) 55 . 105 |
Đáp án gợi ý:
a) 45 . 55 = (50 – 5).(50 + 5) = 502 – 52 = 2500 – 25 = 2475
b) 55 . 105 = (80 – 25).(80 + 25) = 802 – 252 = 6400 – 625 = 5775
