Bài tập về lũy thừa (Exponents) trong SAT Math với đáp án và giải thích chi tiết

Bài viết này cung cấp tổng quan về bài tập dạng bài lũy thừa trong SAT Math, giúp thí sinh nắm vững các quy tắc cơ bản và phương pháp giải. Sau đó, một số bài tập minh họa kèm đáp án chi tiết được đưa ra, giúp thí sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng lý thuyết vào thực tế. Với các ví dụ này, thí sinh sẽ tự tin hơn khi đối mặt với những câu hỏi lũy thừa (exponents) trong kỳ thi SAT Math, từ đó nâng cao số điểm của mình.

Tổng quan về dạng bài lũy thừa trong SAT Math

Lũy thừa được viết dưới dạng

an

trong đó:

• a là cơ số (base)

• n là số mũ (exponent).

Điều này có nghĩa là nhân cơ số a với chính nó n lần. [1]

Ví dụ: Khi nhìn thấy một biểu thức lũy thừa như 2³ với 2 là cơ số và 3 là số mũ, thí sinh có thể hiểu đơn giản đây là cách viết gọn của phép nhân cơ số 2 với chính nó 3 lần (2 × 2 × 2 = 8).

Trong SAT Math, lũy thừa không chỉ đơn thuần là các phép tính cơ bản mà còn được tích hợp vào nhiều dạng bài phức tạp hơn. Thí sinh có thể gặp các biểu thức lũy thừa trong phương trình mũ, trong các bài toán về tăng trưởng (như lãi kép, tăng trưởng dân số), hay trong các bài toán về thể tích và diện tích. Các dạng này này không chỉ kiểm tra khả năng tính toán mà còn đánh giá sự hiểu biết của thí sinh về ý nghĩa và ứng dụng của lũy thừa trong đời sống hàng ngày. Việc nắm vững khái niệm lũy thừa cũng sẽ tạo nền tảng vững chắc cho việc học các chủ đề nâng cao hơn trong toán học như logarit và giải tích.

Các nguyên tắc quan trọng cần nắm vững cho dạng bài lũy thừa trong SAT Math

Lũy thừa với số mũ bằng 0 (với a khác 0):

a0=1

Lũy thừa với cơ số bằng 0:

0n=0

Nhân lũy thừa cùng cơ số:

am.an=am+n

Chia lũy thừa cùng cơ số:

aman=am−n

Lũy thừa của một tích:

(a.b)m=am.bm

Lũy thừa của một thương (b khác 0):

(ab)m=ambm

Lũy thừa của lũy thừa:

(am)n=am.n

Số mũ âm:

a−m=1am

Số mũ phân số:

amn=amn

Tìm hiểu thêm: Phương pháp giải các dạng bài trong SAT Math (P1)

Một số công thức ứng dụng phổ biến liên quan đến lũy thừa trong các bài tập

Công thức tính sự tăng trưởng hoặc giảm sút theo cấp số nhân (Exponential Growth and Decay)

Công thức tính sự tăng trưởng: y=a.(1+r)t

Công thức tính sự suy giảm: y=a.(1−r)t

Trong đó:

• y là số lượng sau t năm

• a là số lượng ban đầu

• r là tỷ lệ tăng trưởng (0 < t < 1)

• t là thời gian, đơn vị là năm.

Ví dụ: A population grows at a rate of 2% per year. If the initial population is 1,000 people, what will the population be after 5 years? (Một dân số tăng trưởng với tốc độ 2% mỗi năm. Nếu dân số ban đầu là 1.000 người thì sau 5 năm, dân số là bao nhiêu?)

y=a.(1+r)t

⇔ y=1,000⋅(1+0.02)5

⇔ y=1,000⋅1.10408

⇔ y = 1,104.08

After 5 years, the population will be approximately 1,104 people. (Vậy sau 5 năm, dân số sẽ lên đến xấp xỉ 1,104 người.)

Công thức tính lãi suất kép (Compound interest)

A=P.(1+rn)nt

Trong đó:

• A là số tiền cuối cùng, đơn vị là đô la (hoặc đơn vị tiền tệ khác).

• P là vốn ban đầu, đơn vị là đô la.

• r là lãi suất hàng năm (không có đơn vị), được biểu diễn dưới dạng thập phân.

• n là số lần lãi kép trong một năm (không có đơn vị).

• t là thời gian, đơn vị là năm.

Ví dụ: If you invest $2,000 at an annual interest rate of 5%, compounded annually for 3 years, how much will you have after 3 years? (Nếu bạn đầu tư 2.000 đô la với lãi suất 5% mỗi năm và được tính lãi kép hàng năm trong 3 năm, thì số tiền sau 3 năm là bao nhiêu?)

A=P.(1+rn)nt

⇔ A=2,000⋅(1+0.051)1⋅3

⇔ A=2,000⋅1.157625

⇔ A = 2,315.25

After 3 years, the investment will grow to approximately $2,315.25. (Vậy sau 3 năm, số tiền đầu tư sẽ xấp xỉ 2,315.25 đô la.)

Bài tập về số mũ (exponents) trong SAT Math

A. 83B. 84C. 2D. 8

Bài 2: Solve for x in the equation:

32x+1=27

A. 12B. 1C. 2D. 32

Bài 3: Simplify the expression:

5x815x5

A. x3B. 53x3C. 13x3D. 35x3

Bài 4: Which of the following is equivalent to this expression?

(x3y2x2y4)3

A. x9y6B. x3y6C. x3y6D. x3y2

Bài 5: If xm2xn2=x36 and x > 1, and m + n = 12, what is m - n?

A. 3B. 4C. 5D. 6

Bài 6: Which of the following is equivalent to this expression?

(x4y5z2)(x3y2z4)

A. x7y7z6B. x7y6z8C. x6y7z6D. x6y6z7

Bài 7: In 2010, there were 500 birds on an island. The population grows by 6% each year. At this rate, how many birds will there be on the island by 2025?

Bài 8: The value of a laptop in 2018 was $1,200. It depreciates 10% each year. How much will the laptop be worth in 2026?

Bài 9: John invests $5,000 in a savings account with an annual interest rate of 5%, compounded once a year. How much money will he have in the account after 10 years?

Bài 10: John invests $15,000 in an annuity paying 8% annual interest compounded quarterly, while Sarah invests $15,000 in an annuity paying 8% annual interest compounded annually. How much more money will John have compared to Sarah after 15 years?

A. $1,200.50B. $1,500.75C. $1,632.90D. $1,750.60

Giải đáp

• Rewrite 4 as a power of 2: 4 = $2^2$

• So the equation becomes:

  
  $4^{\frac{3}{4}}={\left(2^2\right)}^{\frac{3}{4}}$

  ⇔ $2^{\frac{6}{4}}=2^{\frac{3}{2}}$

  ⇔ $\sqrt{2^3}$ = $\sqrt{8}$

⇒ D

Bài 2:

• Rewrite 27 as a power of 3: 27 = $3^3$

• So the equation becomes: $3^{2x+1}=3^3$

• Since the bases are the same, set the exponents equal to each other: 2x + 1 = 3

• Solve for x:

2x = 2

x = 1

⇒ B

Bài 3:

• Divide the coefficients: $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

• Divide the x: $\frac{x^8}{x^5}=x^{8-5}=x^3$

• Combine the results: $\frac{5x^8}{15x^5}=\frac{1}{3}{x}^3$

⇒ C

Bài 4:

• Simplify the inner fraction:

  $\frac{x^3{y}^2}{x^2{y}^4}=x^{3-2}{y}^{2-4}=x^1{y}^{-2}=\frac{x}{y^2}$

• Apply the exponent 3: ${\left(\frac{x}{y^2}\right)}^3=\frac{x^3}{y^6}$

⇒ B

Bài 5:

• Simplify the left side: $\frac{x^{m^2}}{x^{n^2}}=x^{m^2-n^2}$

• So the equation becomes: $x^{m^2-n^2}=x^{36}$

• Since the bases are the same, equate the exponents: $m^2-n^2=36$

• This is a difference of squares, so factor it: (m + n)(m - n) = 36

• Substitute m + n = 12:

  12(m - n) = 36

  ⇔ m - n = 3

⇒ A

Bài 6:

• Rearrange to combine like terms:

  $\left(x^4{y}^5{z}^2\right)\left(x^3{y}^2{z}^4\right)=x^4{x}^3{y}^5{y}^2{z}^2{z}^4$

• Simply add the exponents together: $x^4{x}^3{y}^5{y}^2{z}^2{z}^4=x^{4+3}{y}^{5+2}{z}^{2+4}=x^7{y}^7{z}^6$

⇒ A

Bài 7:

y=a.(1+r)t

⇔ y=500⋅(1+0.06)15

⇔ y≈500⋅2.39656

⇔ y ≈ 1,198.28

So, by 2025, there will be approximately 1,198 birds on the island.

Bài 8:

y=a⋅(1−r)t

⇔ y=1,200⋅(1−0.1)8

⇔ y≈1,200⋅0.430467

⇔ y ≈ 516.56

So, by 2026, the laptop will be worth approximately $516.56.

Bài 9:

A=P.(1+rn)nt

⇔ A=5,000⋅(1+0.051)1⋅10

⇔ A≈5,000⋅1.6289

⇔ A ≈ 8,144.53

So, after 10 years, John will have approximately $8,144.53 in his account.

Bài 10:

A=P.(1+rn)nt

For John (compounded quarterly):

• P = 15,000

• r = 0.08

• n = 4 (quarterly compounding)

• t = 15

⇒ A(John)=15,000.(1+0.084)4⋅15

⇔ A(John)=15,000.(1.02)60

⇔ A(John)≈15,000⋅3.28103≈49,215.45

For Sarah (compounded annually):

• P = 15,000

• r = 0.08

• n = 1 (annual compounding)

• t = 15

⇒ A(Sarah)=15,000.(1+0.081)1⋅15

⇔ A(Sarah)=15,000⋅(1.08)15

⇔ A(Sarah)≈15,000⋅3.17217≈47,582.55

The difference:

Difference = A(John​) − A(Sarah​) = 49,215.45 − 47,582.55 = 1,632.90

⇒ C

Learn more: How to approach Linear and Exponential Growth questions in SAT Math

Tổng kết lại