Buzz
1. Tại sao việc xác định miền xác định của hàm số mũ, lũy thừa và logarit lại quan trọng?
Theo sách giáo khoa giải tích lớp 12, miền xác định của hàm số lũy thừa phụ thuộc vào số mũ. Có ba trường hợp chính: Lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ nguyên không âm, và số mũ không nguyên.
Miền xác định của hàm số mũ là tập hợp các giá trị của biến độc lập mà hàm số có thể hoạt động đúng đắn. Việc xác định miền xác định là bước quan trọng để hiểu và ứng dụng hàm số mũ trong toán học và thực tiễn. Dưới đây là lý do vì sao việc này cần thiết.
- Xác định tính hợp lệ của biểu thức: Bằng cách xác định tập xác định, bạn có thể kiểm tra tính hợp lệ của biểu thức mũ, từ đó tránh các phép toán không hợp lệ hoặc vô nghĩa.
- Tránh lỗi toán học: Một số phép toán trong toán học có thể tạo ra giá trị không hợp lệ như chia cho 0 hay căn bậc âm. Việc tìm tập xác định của hàm mũ giúp tránh những lỗi này và đảm bảo các phép tính chính xác.
- Phân tích biểu đồ: Khi dựng biểu đồ cho hàm mũ, tập xác định cho phép bạn xác định khu vực mà hàm có giá trị thực. Điều này giúp bạn hiểu rõ hơn về hình dạng và hành vi của đồ thị.
- Ứng dụng trong thực tế: Trong các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và khoa học dữ liệu, việc xác định tập xác định giúp xác định phạm vi giá trị của biến mà hàm mũ có thể áp dụng, quan trọng cho tính chính xác của mô hình và phương trình.
- Giải quyết vấn đề: Khi giải các phương trình hoặc bài toán liên quan đến hàm mũ, việc tìm tập xác định là bước thiết yếu để tìm ra các nghiệm hợp lệ và giải quyết vấn đề hiệu quả.
2. Bài tập về xác định tập xác định của hàm số mũ, lũy thừa và logarit
Tập xác định của hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa có dạng y = xα (với α ∈ R). Tập xác định của hàm số lũy thừa thay đổi tùy thuộc vào giá trị của α:
- Với α là số nguyên dương, tập xác định là R
- Với α là số nguyên âm hoặc α = 0, tập xác định là R∖{0}
- Nếu α không phải là số nguyên, thì tập xác định của hàm là (0; +∞).
Chú ý:
- Hàm số y = √x có tập xác định là [0; +∞).
- Hàm số y = 3√x có tập xác định là R, trong khi các hàm y = x½ và y = x1/3 có tập xác định là (0; +∞).
Ví dụ: Xác định tập xác định của các hàm số sau:
a. y=x³
b. y=x¹/²
c. y=x⁻√3
d. y=e^(√2×2 - 8)
a. y=x³: Vì 3 là số nguyên dương, tập xác định của hàm số là: D = R
b. y=x¹/²: Vì 1/2 là số hữu tỉ, không nguyên, nên tập xác định của hàm số là D = (0; +∞).
c. y=x⁻√3: Vì -√3 là số vô tỉ và không phải số nguyên, nên tập xác định của hàm số là D = (0; +∞).
d. Để hàm số 2x² - 8 có giá trị xác định, điều kiện là 2x² - 8 ≥ 0, tương đương với x ∈ (–∞; -4] ∪ [4; +∞).
Do đó, tập xác định của hàm số là: D = R (–4, 4).
Bài 1: Xác định tập xác định D của hàm số.
Giải pháp:
Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 - x² ≠ 0, tức là x ≠ ±1
Bài 2: Xác định tập xác định D của hàm số.
Giải pháp: Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 - 2x > 0, tương đương với x < 1/2
Bài 3: Xác định tập xác định D của hàm số
y = (2x - 4)⁻²⁰¹⁸
Giải pháp: Hàm số xác định khi và chỉ khi 2x - 4 ≠ 0, tức là x ≠ 2
Bài 4: Xác định tập xác định D của hàm số
y = (4 - x)^(3/11)
Giải pháp: Hàm số xác định khi và chỉ khi 4 - x > 0, tức là x < 4
Bài 5: Xác định tập xác định D của hàm số
Giải pháp: Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 + x - 2x² > 0, tương đương với -1/2 < x < 1
Bài 6: Xác định tập xác định D của hàm số
Giải pháp: Hàm số xác định khi và chỉ khi
Do đó, tập xác định của hàm số là D = (5/2; 3).
Bài 7: Xác định tập xác định D của hàm số
Giải pháp: Hàm số xác định khi và chỉ khi
Do đó, tập xác định của hàm số là D = (-4; 4) { -2, 2}.
Bài 8: Xác định tập xác định của hàm số
y = log₂(5^(x + 2) - 125)
Giải pháp: Hàm số xác định khi 5^(x + 2) - 125 > 0, tức là 5^(x + 2) > 125, tương đương với x > 1.
Vậy tập xác định là D = (1; +∞).
Giải pháp: Để hàm số y = log(x² - 2x - m + 1) có tập xác định là R
3. Trắc nghiệm về hàm số mũ, lũy thừa và logarit
Bài 1: Chọn mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau:
A. Đồ thị của hàm số y = a^x và y = logₐx đối xứng qua đường thẳng y = x.
B. Hàm số y = a^x với 0 < a < 1 là hàm đồng biến trên toàn bộ khoảng (-∞; +∞).
C. Hàm số y = a^x với a > 1 là hàm nghịch biến trên toàn bộ khoảng (-∞; +∞).
D. Đồ thị của hàm số y = a^x với a > 0 và a ≠ 1 luôn đi qua điểm M(a; 1).
Giải pháp:
Đáp án đúng là: A
Giải thích:
Chọn mệnh đề A
Câu B sai vì hàm số y = a^x với 0 < a < 1 là hàm nghịch biến trên toàn bộ khoảng (-∞; +∞).
Câu C sai vì hàm số y = a^x với a > 1 là hàm đồng biến trên toàn bộ khoảng (-∞; +∞).
Câu D sai vì đồ thị của hàm số y = a^x với a < 0 và a ≠ 1 luôn đi qua điểm M(a; a^a) hoặc M(0; 1), không phải M(a; 1).
Bài 2: Với a > 0 và a ≠ 1, phát biểu nào dưới đây là không chính xác?
A. Hai hàm số y = a^x và y = logₐx có cùng tính đơn điệu
B. Hai hàm số y = a^x và y = logₐx có cùng tập giá trị.
C. Đồ thị của hai hàm số y = a^x và y = logₐx đối xứng qua đường thẳng y = x.
D. Đồ thị của hai hàm số y = a^x và y = logₐx đều có đường tiệm cận.
Giải pháp:
Đáp án đúng là: B
Giải thích:
Hàm số y = a^x có tập giá trị là (0; +∞), trong khi hàm số y = logₐx có tập giá trị là R.
Bài 3: Xét hàm số y = (√2 - 1)^x. Phát biểu nào dưới đây là chính xác?
A. Hàm số là hàm nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞).
B. Hàm số là hàm đồng biến trên khoảng (0; +∞).
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục y.
D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục x.
Lời giải:
Đáp án: A
Giải thích:
Vì 0 < √2-1 < 1, nên hàm số y = (√2-1)x giảm trên toàn khoảng (-∞; +∞).
Bài 4: Xác định giá trị lớn nhất của hàm số f(x)=x2e2 trong khoảng [-1;1]
A. 2e
B. 1/e
C. e
D. 0
Lời giải:
Đáp án: C
Giải thích:
Trong khoảng [-1;1], ta có: f' (x)=xex (x+2); f' (x)=0 ⇔ x = 0 hoặc x = -2 (loại).
Bài 5: Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2|x| trên khoảng [-2;2]
A. Giá trị lớn nhất là 4; giá trị nhỏ nhất là -1/4
B. Giá trị lớn nhất là 4; giá trị nhỏ nhất là 1/4
C. Giá trị lớn nhất là 1; giá trị nhỏ nhất là 1/4
D. Giá trị lớn nhất là 4; giá trị nhỏ nhất là 1
Lời giải:
Đáp án: D
Giải thích: Đặt t = |x|, với x thuộc khoảng [-2;2] nên t thuộc khoảng [0;2]
Xem xét hàm số f(t) = 2t trên đoạn [0;2]; hàm này đồng biến trong khoảng [0;2]
Hoặc với x thuộc khoảng [-2;2], ta có |x| thuộc [0;2]. Từ đó, ta suy ra: 20 ≤ 2|x| ≤ 22 ⇔ 1 ≤ 2|x| ≤ 4
Bài 6: Gọi m và M lần lượt là giá trị cực tiểu và cực đại của hàm số f(x)=e2-3x trên đoạn [0;2]. Mệnh đề nào sau đây là chính xác?
A. m+M = 1
B. M - m = e
C. M.m = 1/e2
D. Tỉ số M/m = e2
Lời giải:
Đáp án: C
Giải thích:
Hàm số f(x) được xác định và liên tục trên đoạn [0;2].
Đạo hàm f'(x) = -3e2-3x luôn âm với mọi x ∈ R, nên hàm số f(x) giảm trên đoạn [0;2].
Bài 7: Xác định phát biểu chính xác về hàm số y=(lnx)/x
A. Hàm số không có điểm cực trị.
B. Hàm số có một điểm cực đại
C. Hàm số có một điểm cực tiểu
D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu
Lời giải:
Đáp án: C
Giải thích:
Hàm số y' chuyển từ âm sang dương tại x=e, do đó x=e là điểm cực tiểu của hàm số.
