Bài toán tổng của dãy số theo quy tắc Toán lớp 11 với đáp án

Buzz

Nội dung bài viết

I. Kiến thức về tổng của dãy số theo quy tắc

II. Các kiểu tính tổng dãy số bằng phương pháp quy nạp

1. Tính tổng dãy số theo phương pháp quy nạp

2. Tính tổng của một số dãy số theo quy tắc đã cho

3. Tính tổng sử dụng công thức nhị thức Newton

4. Tính tổng của cấp số cộng

5. Tính tổng của cấp số nhân

III. Một số bài toán liên quan

IV. Một số bài tập tự luyện

Xem thêm

Dưới đây là một bài toán về tổng của dãy số với quy tắc toán lớp 11 và đáp án chi tiết.

I. Kiến thức về tổng của dãy số theo quy tắc

Khi giải bài toán tổng của một dãy số, thường đề bài sẽ cung cấp dãy số với nhiều số hạng. Trước mỗi số hạng có thể xuất hiện dấu cộng, dấu trừ, hoặc cả hai dấu cộng và trừ.

- Phương pháp giải bài toán tổng dãy số:

Để chèn thêm số hạng vào dãy số, trước tiên cần xác định quy luật của dãy số đó:

+ Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng được tính bằng cách cộng (hoặc trừ) một số tự nhiên a với số hạng đứng trước.

+ Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng là kết quả của việc nhân (hoặc chia) số hạng đứng trước với một số tự nhiên q khác 0.

+ Từ số hạng thứ 3 trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng ngay trước nó.

+ Từ số hạng thứ 4 trở đi, mỗi số hạng bằng tổng của số hạng đứng trước cộng với một số tự nhiên d và cộng với chỉ số của số hạng đó.

+ Số hạng tiếp theo được tính bằng số hạng trước đó nhân với chỉ số của nó.

+ Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng a lần số hạng ngay trước đó.

+ Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng là a lần số hạng trước cộng (hoặc trừ) một số n (n khác 0).

- Phương pháp giải bài toán tổng dãy số theo quy tắc:

Để tính tổng của một dãy số có quy luật đều, chúng ta thường hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Xác định số lượng số hạng trong dãy: (Số hạng lớn nhất - số hạng nhỏ nhất) chia cho khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp, cộng thêm 1.

Bước 2: Tính tổng dãy số: (Số hạng lớn nhất + số hạng nhỏ nhất) nhân với số số hạng chia cho 2.

II. Các kiểu tính tổng dãy số bằng phương pháp quy nạp

1. Tính tổng dãy số theo phương pháp quy nạp

Bài toán: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n > n₀

Phương pháp:

Bước 1: Xác minh mệnh đề P(n₀) đúng

₀

2. Tính tổng của một số dãy số theo quy tắc đã cho

Phương pháp: Một số công thức tổng được suy ra từ phương pháp quy nạp như sau:

$\frac{n(n+1)}{2}$ $1^{2}+2^{2}+3^{2}+ ... + n^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ $1^{3}+2^{3}+3^{3}+ ... + n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$ $1^{5}+2^{5}+3^{5}+ ... + n^{5} = \frac{1}{12}n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)$

3. Tính tổng sử dụng công thức nhị thức Newton

$(a+b)^{n}= C_{n}^{0}a^{n}+ C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+...+ C_{n}^{n}b^{n}$

Một số công thức liên quan:

$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$ $\sum_{k=0}^{n}a^{k}C_{n}^{k}=(1+a)^{n}$ $\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{n}^{k}= 0$ $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + ... + C_{n}^{n} = 2^{n}$ $\sum_{k=0}^{n}C_{2n}^{2k} = \sum_{k=0}^{n}C_{2n}^{2k-1}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{2n}C_{2n}^{k}$

4. Tính tổng của cấp số cộng

$(u_{n})$ $\left\{\begin{matrix} u_{1} =a & \\ u_{n+1}=u_{n}+d& \end{matrix}\right., n \in N^{*}$

Phương pháp: Tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng với công sai d được tính như sau:

$S_{n}= u_{1}+ u_{2}+u_{3}+...+ u_{ n} = \frac{n}{2}(u_{1}+u_{n})= \frac{n}{2}(2u_{1}+(n-1)d)$

5. Tính tổng của cấp số nhân

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=a & \\ u_{n+1}=u_{n}\cdot q & \end{matrix}\right., n \in N^{*}$

Phương pháp: Tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số nhân với công bội q được tính như sau:

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... + u_{n} = u_{1}\cdot\frac{q^{n}-1}{q-1}$

III. Một số bài toán liên quan

$\frac{n(n+1)}{2}$ $n \geq 1$

Giải thích chi tiết:

$\frac{n(n+1)}{2}$

Bước 1: Với n = 1, ta có: VT = VP = 1 ⇒ (1) đúng với n = 1

$k \in N$ $k \geq 1$ $\frac{k(k+1)}{2}$

Cần chứng minh mệnh đề (1) đúng với k + 1, tức là:

$\frac{[(k+1)(k+2)]}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Ta có:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + (k + 1)

= (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1)

$= \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1)$ $= \frac{k^{2} + 3k + 2}{2}$ $= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

= (2) ⇒ dpcm

Câu 2:

sin x + sin 2x + sin 3x + ... + sin nx = rac{sinrac{nx}{2}.sinrac{(n+1)x}{2}}{sinrac{x}{2}}

Hướng dẫn giải chi tiết:

VP = rac{sinrac{x}{2}.sinx}{sinrac{x}{2}} = sin x = VT Rightarrow (1)

rac{sinrac{kx}{2}.sinrac{(k+1)x}{2}}{sinrac{x}{2}}

Chúng ta sẽ chứng minh rằng (1) đúng với n = k + 1, tức là:

rac{sinrac{(k+1)x}{2} cdot sinrac{(k+2)x}{2}}{sinrac{x}{2}}

Cụ thể là:

sinx + sin2x + sin3x + ... + sin kx + sin(k+1)x = rac{sinrac{kx}{2} cdot sinrac{(k+1)x}{2}}{sinrac{x}{2}} cdot sin(k+1)x

= rac{sinrac{kx}{2} cdot sinrac{(k+1)x}{2} + sin[(k+1)x] cdot sinrac{x}{2}}{sinrac{x}{2}}

rac{sinrac{kx}{2} cdot sinrac{(k+1)x}{2} cdot cosrac{(k+1)x}{2} cdot sinrac{x}{2}}{sinrac{x}{2}}

sinrac{(k+1)x}{2} cdot left[rac{sinrac{kx}{2} + 2 cdot cosrac{(k+1)x}{2} cdot sinrac{x}{2}}{sinrac{x}{2}}
ight]

= VP implies dpcm

Bài 3: Tính tổng của dãy số

rac{1}{1 cdot 2} + rac{1}{2 cdot 3} + rac{1}{3 cdot 4} + ... + rac{1}{n cdot (n+1)}

$(1 - rac{1}{2^{2}})(1 - rac{1}{3^{3}}) cdot (1 - rac{1}{4^{2}}) cdots (1 - rac{1}{n^{2}})$

Chi tiết lời giải:

a. Xét ta có

rac{1}{k cdot (k+1)} = rac{1}{k} - rac{1}{k+1}

A = rac{1}{1 cdot 2} + rac{1}{2 cdot 3} + rac{1}{3 cdot 4} + ... + rac{1}{n cdot (n+1)}

1 - rac{1}{2} + rac{1}{2} - rac{1}{3} + ... + rac{1}{n} - rac{1}{n+1} = 1 - rac{1}{n+1}

$B = (1 - rac{1}{2^{2}})(1 - rac{1}{3^{3}}) cdot (1 - rac{1}{4^{2}}) cdots (1 - rac{1}{n^{2}})$ $a - rac{1}{a^{2}} = rac{(a-1)(a+1)}{a^{2}}$ $B = (1 - rac{1}{2^{2}})(1 - rac{1}{3^{3}}) cdot (1 - rac{1}{4^{2}}) cdots (1 - rac{1}{n^{2}})$ $rac{1 cdot 3}{2^{2}} cdot rac{2 cdot 4}{3^{2}} cdot rac{3 cdot 5}{4^{2}} cdots rac{(n-1) cdot (n+1)}{n^{2}} = rac{n+1}{2n}$ Bài 4: $S = rac{1}{2} cdot C_{n}^{0} - rac{1}{4} cdot C_{n}^{1} + rac{1}{6} cdot C_{n}^{2} + cdots + rac{(-1)^{n}}{n+1} cdot C_{n}^{n}$

Chi tiết lời giải:

$rac{1}{2} left(C_{n}^{0} - rac{1}{2} cdot C_{n}^{2} + cdots + rac{(-1)^{n}}{n+1} cdot C_{n}^{n} ight)$ $rac{(-1)^{k}}{k+1} cdot C_{n}^{k} = rac{(-1)^{k}}{n+1} cdot C_{n+1}^{k+1}$ $S = rac{1}{2(n+1)} sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} C_{n+1}^{k+1} = rac{-1}{2(n+1)} left(sum_{k=0}^{n+1} (-1)^{k} C_{n+1}^{k} - C_{n+1}^{0} ight) = rac{1}{2(n+1)}$

Bài 5: Tính tổng của dãy số:

$S = C_{n}^{1} cdot 3^{n-1} + 2 cdot C_{n}^{2} cdot 3^{n-2} + 3 cdot C_{n}^{3} cdot 3^{n-3} + cdots + n cdot C_{n}^{n}$

Chi tiết lời giải:

Ta có:

$S = C_{n}^{1} cdot 3^{n-1} + 2 cdot C_{n}^{2} cdot 3^{n-2} + 3 cdot C_{n}^{3} cdot 3^{n-3} + cdots + n cdot C_{n}^{n} = 3^{n} sum_{k=1}^{n} k cdot C_{n}^{k} cdot left( rac{1}{3} ight)^{k}$ $k cdot C_{k}^{n} cdot left( rac{1}{3} ight)^{k} = n cdot left( rac{1}{3} ight)^{k} cdot C_{n-1}^{k-1}, ; k geq 1$ $Leftrightarrow S = 3^{n} sum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} cdot left( rac{1}{3} ight)^{k} = 3^{n} cdot n sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1} cdot left( rac{1}{3} ight)^{k}$ $3^{n-1} cdot n sum_{k=1}^{n-1} C_{n-1}^{k} cdot left( rac{1}{3} ight)^{k} = 3^{n-1} cdot n cdot left(1 + rac{1}{3} ight)^{n-1} = n cdot 4^{n-1}$ Bài 6: $left{egin{matrix} u_{5} + 3u_{3} - u_{2} = -21 & \ 3u_{7} - 2u_{4} = -34 & end{matrix} ight.$

Tính tổng S = u_{4} + u_{5} + u_{6} + u_{7} + cdots + u_{30}

Đáp án chi tiết:

Dựa vào các giả thiết của bài toán, ta có:

$left{egin{matrix} u_{5} + 3u_{3} - u_{2} = -21 & \ 3u_{7} - 2u_{4} = -34 & end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} u_{1} + 4d + 3(u_{1} + 2d) - u_{1} - d = -21 & \ 3(u_{1} + 6d) - 2(u_{1} - 3d) = -34 & end{matrix} ight.$ $Leftrightarrow left{egin{matrix} u_{1} + 3d = -7 & \ u_{1} + 12d = -34 & end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} u_{1} = 2 & \ d = 3 & end{matrix} ight.$ ₄₅₆₇₃₀ $rac{27}{2} [2u_{4} + 26d] = 27 (u_{1} + 16d) = -1242$ Bài 7: $left{egin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10 & \ u_{4} + u_{6} = 26 & end{matrix} ight.$

Tính tổng S = u_{5} + u_{7} + u_{9} + u_{11} + cdots + u_{2011}

_{Chi tiết lời giải:}

$left{egin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10 & \ u_{4} + u_{6} = 26 & end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} u_{1} + d - (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 4d) = 10 & \ (u_{1} + 3d) + (u_{1} + 5d) = 26 & end{matrix} ight.$ $Leftrightarrow left{egin{matrix} u_{1} + 3d = 10 & \ u_{1} + 4d = 13 & end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} u_{1} = 1 & \ d = 3 & end{matrix} ight.$ ₅₇₉₁₁₂₀₁₁ $rac{1003}{2} (2u_{5} + 1002 cdot 6) = 3028057$

Bài 8: Tính giá trị của A biết rằng:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + cdots + 2014

Chi tiết lời giải:

Đây là bài toán cơ bản về tổng của dãy số liên tiếp. Chúng ta sẽ hướng dẫn cách tính giá trị của A qua hai bước đơn giản như đã trình bày.

Dãy số trên có tổng số hạng là:

( 2014 - 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)

Giá trị của A là:

( 2014 + 1) imes 2014 : 2 = 2029105

Bài 9: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; cdots. Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số này?

Chi tiết lời giải: Học sinh sẽ xác định số hạng thứ 2014 bằng cách sử dụng công thức: Số hạng cuối cùng = (Số lượng số hạng - 1) x khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp + số hạng đầu tiên trong dãy.

Số hạng thứ 2014 của dãy số này là: (2014 – 1) x 2 + 2 = 4028

Bài 10: Một dãy phố có 15 căn nhà. Các số nhà được đánh bằng các số lẻ liên tiếp và tổng của 15 số nhà là 915. Hãy xác định số nhà đầu tiên trong dãy phố này?

Chi tiết lời giải: Bài toán cung cấp số lượng số hạng là 15, khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp là 2 và tổng của các số nhà là 915. Dựa vào các bước đã học, học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng. Từ đó, ta có thể hướng dẫn học sinh chuyển bài toán thành bài toán tìm số bé dựa trên tổng và hiệu của hai số đó.

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là: (15 - 1) x 2 = 28

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 915 x 2 : 15 = 122

Số nhà đầu tiên trong dãy phố là: (122 - 28) : 2 = 47

IV. Một số bài tập tự luyện

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+ cdots + n^{2}= rac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ $rac{1}{3}+ rac{2}{3^{2}}+ rac{3}{3^{3}}+ cdots + rac{n}{3^{n}}= rac{3}{4}- rac{2n+3}{4 cdot 3^{n}}$

$sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2+cdots+sqrt{2+2}}}} = 2 cos rac{pi }{2^{n+1}}$ $n in mathbb{N}^{*}$

rac{1}{1 cdot 2 cdot 3}+rac{1}{2 cdot 3 cdot 4}+rac{1}{3 cdot 4 cdot 5}+ cdots + rac{1}{n(n+1)(n+2)}= rac{n(n+3)}{4 cdot (n+1)(n-2)}

Câu hỏi 4: Tính tổng của dãy số

A = rac{1}{1 cdot 2 cdot 3}+ rac{1}{2 cdot 3 cdot 4}+rac{1}{3 cdot 4 cdot 5} + cdots + rac{1}{n(n+1)(n+2)}

$B = rac{3}{(1 cdot 2)^{2}}+ rac{5}{(2 cdot 3)^{2}}+ cdots + rac{2n+1}{[n(n+1)]^{2}}$

Câu hỏi 5: Tính tổng các dãy số sau:

C = rac{1}{2+sqrt{2}}+ rac{1}{3sqrt{2}+2sqrt{3}}+ cdots + rac{1}{(n+1)sqrt{n}+nsqrt{n+1}}

$C = (1 - rac{1}{a_{1}})(1 - rac{1}{a_{2}}) cdots (1 - rac{1}{a_{n}}), với a_{n} = rac{n(n+1)}{2}$

Câu hỏi 6: Tính tổng các dãy số sau:

$A = (C_{n}^{0})^{2} + (C_{n}^{1})^{2} + (C_{n}^{2})^{2} + cdots + (C_{n}^{n})^{2}$ $B = C_{n}^{1}3^{n-1} + 2C_{n}^{2}3^{n-2} + 3C_{n}^{3}3^{n-3} + cdots + nC_{n}^{n}$

Câu hỏi 7: Tính tổng của dãy số

$D = C_{n}^{0}C_{n}^{k} + C_{n}^{1}C_{n-1}^{k-1} + cdots + C_{n}^{k}C_{n-k}^{0}, với 0 leq k leq n$ $E = C_{n}^{1} + 2C_{n}^{2} + 3C_{n}^{3} + cdots + nC_{n}^{n}$

Câu hỏi 8: Trong một cấp số cộng có u₄ = -12 và u₁₄ = 18. Hãy tính tổng của 16 số hạng đầu tiên

Câu hỏi 9: Trong một cấp số cộng với u₅ = 18 và S_n = 0,25S_2n. Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng

Câu hỏi 10: Trong một cấp số cộng có u₂₀₁₃ + u₆ = 1000. Tính tổng của 2018 số hạng đầu tiên

Câu hỏi 11: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ...; 2014.

a. Tính tổng của dãy số này.

b. Xác định số hạng thứ 99 trong dãy.

c. Kiểm tra xem số hạng 1995 có nằm trong dãy không và lý do tại sao?

Câu hỏi 12: Một dãy phố có 20 nhà với số nhà là các số chẵn liên tiếp, và tổng của 20 số nhà là 2000. Tìm số nhà cuối cùng trong dãy phố đó.

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Làm thế nào để xác định số lượng số hạng trong dãy số?

Để xác định số lượng số hạng trong dãy số, bạn cần lấy hiệu giữa số hạng lớn nhất và số hạng nhỏ nhất, sau đó chia cho khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp và cộng thêm 1.

Các phương pháp tính tổng của dãy số theo quy tắc là gì?

Có nhiều phương pháp tính tổng dãy số, bao gồm xác định quy luật dãy, sử dụng công thức tổng trong cấp số cộng và cấp số nhân, cùng với phương pháp quy nạp để chứng minh các mệnh đề liên quan.

Tại sao cần phải biết cách tính tổng dãy số liên tiếp?

Biết cách tính tổng dãy số liên tiếp là rất quan trọng trong toán học, giúp học sinh hiểu các khái niệm cơ bản về số học, đồng thời ứng dụng trong nhiều bài toán thực tế như tính toán tài chính hoặc đo lường.

Có những bài toán nào liên quan đến tổng của dãy số?

Một số bài toán liên quan đến tổng của dãy số bao gồm tính tổng dãy số liên tiếp, xác định số hạng thứ k trong dãy, và bài toán tìm số nhà trong dãy phố với tổng đã cho. Những bài toán này thường gặp trong các kỳ thi toán.

Làm thế nào để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n?

Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n, bạn cần xác minh P(n0) đúng trước, sau đó chứng minh rằng nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng, áp dụng phương pháp quy nạp.