Bất bình trung trung và bình nhân trung

Trong toán học, bất bình trung AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Tên gọi đúng của bất đẳng thức này là bất bình trung trung và bình nhân trung, nhưng thường được gọi là bất bình trung AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means). Vì có nhiều cách để chứng minh bất bình trung này nhưng cách chứng minh quy nạp của Cauchy được đánh giá là hiệu quả nhất nên nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất bình trung này. Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên. Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất bình trung Bunyakovsky có tên là bất bình trung Cauchy-Schwarz, còn bất bình trung Cauchy (phiên âm tiếng Việt: bất bình trung Côsi) có tên là bất bình trung AM-GM.

Phổ quát

Bất bình trung AM-GM có thể được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

• Với 2 số thực không âm a và b:

$\frac{a+b}{2}\ge <!--\; \ge \; -->\sqrt{ab}$ Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $a=b$

• Với 3 số thực không âm a, b và c:

$\frac{a+b+c}{3}\ge <!--\; \ge \; -->\sqrt[3]{abc}$

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

• Với n số thực không âm:

$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge <!--\; \ge \; -->\sqrt[n]{x_1.x_2.....x_n}$ , với n là số tự nhiên lớn hơn 1

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $x_1=x_2=...=x_n$

Trung bình có hệ số :

Cho n số x₁, x₂,..., x_n ≥ 0 và các hệ số α₁, α₂,..., α_n > 0

Đặt $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$.

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ số, như sau:

$\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1{x}_1+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2{x}_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n{x}_n}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\ge <!--\; \ge \; -->\sqrt[\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}]{x_1^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_1}{x}_2^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n^{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n}}$

Dấu ' = ' xảy ra khi và chỉ khi $x_1=x_2=\cdots <!--\; \cdots \; -->=x_n$

Với các loại trung bình khác :

Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng

$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}\le <!--\; \le \; -->\sqrt[n]{x_1{x}_2...x_n}\le <!--\; \le \; -->\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

Đẳng thức khi và chỉ khi $x_1=x_2=\cdots <!--\; \cdots \; -->=x_n$

Ví dụ ứng dụng

Cho hàm số sau:

$f(x,y,z)=\frac{x}{y}+\sqrt{\frac{y}{z}}+\sqrt[3]{\frac{z}{x}}$

Với x, y và z là các số thực dương. Giả sử cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$f(x,y,z)$	$=6\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\frac{x}{y}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}}{6}$
	$\ge <!--\; \ge \; -->6\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt[6]{\frac{x}{y}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}}$
	$=6\cdot <!--\; \cdot \; -->\sqrt[6]{\frac{1}{2\cdot <!--\; \cdot \; -->2\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->3\cdot <!--\; \cdot \; -->3}\frac{x}{y}\frac{y}{z}\frac{z}{x}}$
	$=2^{2/3}\cdot <!--\; \cdot \; -->3^{1/2}$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của:

$f(x,y,z)\text{ là }{2}^{2/3}\cdot <!--\; \cdot \; -->3^{1/2}\text{khi}\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}.$

Chứng minh bằng quy nạp

Đặt:

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\frac{x_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n}{n}$

Với x₁,...,xn là các số thực không âm, bất đẳng thức tương đương với :

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^n\ge <!--\; \ge \; -->x_1{x}_2\cdots <!--\; \cdots \; -->x_n$

dấu bằng xảy ra nếu μ = xi với mọi i = 1,...,n.

Chứng minh dưới đây sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Cơ sở: với n = 1 bất đẳng thức đúng.

Giả thiết quy nạp: giả sử rằng bất đẳng thức đúng với n (n ≥ 1).

Quy nạp: xét n + 1 số thực không âm. Ta có:

$(n+1)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=x_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n+x_{n+1}.$

Nếu tất cả các số đều bằng μ, thì ta có đẳng thức và đã được chứng minh. Ngược lại, ta sẽ tìm được ít nhất một số nhỏ hơn μ và một số lớn hơn μ, không mất tính tổng quát, xem rằng: xn > μ và x_n+1 < μ. Ta có:

$(x_n-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->x_{n+1})>0.(\ast <!--\; \ast \; -->)$

Xét n số sau:

$x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_{n-<!--\; -\; -->1},x_n^{\prime }$ với $x_n^{\prime }=x_n+x_{n+1}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->x_n-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}>0,$

cũng là số không âm. Từ đó:

$n\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=x_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_{n-<!--\; -\; -->1}+\underset{=x_n^{\prime }}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{x_n+x_{n+1}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}},$

μ cũng là trung bình cộng của $x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_{n-<!--\; -\; -->1},x_n^{\prime }$ và theo giả thuyết quy nạp ta có:

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{n+1}={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^n\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->x_1{x}_2\cdots <!--\; \cdots \; -->x_{n-<!--\; -\; -->1}{x}_n^{\prime }\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}.(\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->)$

Mặt khác từ (*) ta có:

$\left(\underset{=x_n^{\prime }}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{x_n+x_{n+1}-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}\right)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->x_n{x}_{n+1}=(x_n-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->x_{n+1})>0,$

hay là

$x_n^{\prime }\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}>x_n{x}_{n+1},\left(\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->\right)$

hiển nhiên μ > 0. Nếu có ít nhất một trong x₁,...,x_n−1 bằng không, ta dễ thấy bất đẳng thức đúng và dấu bằng không xảy ra. Ngược lại, từ (**) và (***) ta có:

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^{n+1}>x_1{x}_2\cdots <!--\; \cdots \; -->x_{n-<!--\; -\; -->1}{x}_n{x}_{n+1},$

bất đẳng thức được chứng minh.

Chứng minh cho trường hợp không hệ số

Trường hợp n = 2

Với mọi số thực $x_1,x_2\ge <!--\; \ge \; -->0$, ta luôn có:

$(\sqrt{x_1}-<!--\; -\; -->\sqrt{x_2}{)}^2\ge <!--\; \ge \; -->0\iff <!--\; \iff \; -->x_1-<!--\; -\; -->2\sqrt{x_1{x}_2}+x_2\ge <!--\; \ge \; -->0\iff <!--\; \iff \; -->x_1+x_2\ge <!--\; \ge \; -->2\sqrt{x_1{x}_2}\iff <!--\; \iff \; -->\frac{x_1+x_2}{2}\ge <!--\; \ge \; -->\sqrt{x_1{x}_2}$

Trường hợp n = 2k

Cho rằng

$\frac{x_1+x_2+...+x_k}{k}\ge <!--\; \ge \; -->\sqrt[k]{x_1{x}_2...x_k}$

Khi đó ta có:

$x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}+x_{k+2}+...+x_{2k}\ge <!--\; \ge \; -->k\sqrt[k]{x_1{x}_2...x_k}+k\sqrt[k]{x_{k+1}{x}_{k+2}...x_{2k}}\left(1\right)$

Sử dụng bất đẳng thức Cô-sin trong trường hợp $n=2$, ta có:

$k\sqrt[k]{x_1{x}_2...x_k}+k\sqrt[k]{x_{k+1}{x}_{k+2}...x_{2k}}\ge <!--\; \ge \; -->2k\sqrt[2k]{x_1{x}_2...x_{2k}}\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$, ta được bất đẳng thức:

$x_1+x_2+...+x_{2k}\ge <!--\; \ge \; -->2k\sqrt[2k]{x_1{x}_2...x_{2k}}$ (đpcm)

Trường hợp n = 2k - 1

Giả sử

$\frac{x_1+x_2+...+x_k}{k}\ge <!--\; \ge \; -->\sqrt[k]{x_1{x}_2...x_k}$

Ta có:

$x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}+x_{k+2}...+x_{2k-<!--\; -\; -->1}+\sqrt[2k-<!--\; -\; -->1]{x_1{x}_2...x_{2k-<!--\; -\; -->1}}\ge <!--\; \ge \; -->k\sqrt[k]{x_1{x}_2...x_k}+k\sqrt[k]{x_{k+1}{x}_{k+2}...x_{2k-<!--\; -\; -->1}\sqrt[2k-<!--\; -\; -->1]{x_1{x}_2...x_{2k-<!--\; -\; -->1}}}\left(3\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với trường hợp $n=2$, chúng ta lại có:

$k\sqrt[k]{x_1{x}_2...x_k}+k\sqrt[k]{x_{k+1}{x}_{k+2}...\sqrt[2k-<!--\; -\; -->1]{x_1{x}_2...x_{2k-<!--\; -\; -->1}}}\ge <!--\; \ge \; -->2k\sqrt[2k]{x_1{x}_2...x_{2k-<!--\; -\; -->1}\sqrt[2k-<!--\; -\; -->1]{x_1{x}_2...x_{2k-<!--\; -\; -->1}}}=2k\sqrt[2k-<!--\; -\; -->1]{x_1{x}_2...x_{2k-<!--\; -\; -->1}}\left(4\right)$

Từ $\left(3\right)$ và $\left(4\right)$, suy ra:

$x_1+x_2+...+x_k+x_{k+1}+...+x_{2k-<!--\; -\; -->1}+\sqrt[2k-<!--\; -\; -->1]{x_1{x}_2...x_{2k-<!--\; -\; -->1}}\ge <!--\; \ge \; -->2k\sqrt[2k-<!--\; -\; -->1]{x_1{x}_2...x_{2k-<!--\; -\; -->1}}$

Cuối cùng, ta được bất đẳng thức:

$x_1+x_2...+x_{2k-<!--\; -\; -->1}\ge <!--\; \ge \; -->(2k-<!--\; -\; -->1)\sqrt[2k-<!--\; -\; -->1]{x_1{x}_2...x_{2k-<!--\; -\; -->1}}$ (đpcm)

Chứng minh của Pólya

George Pólya đưa ra một chứng minh cho bất đẳng thức như sau:

Gọi hàm số f(x) = e − x, có đạo hàm f'(x) = e − 1. Ta thấy f'(1) = 0 và từ đó f đạt giá trị nhỏ nhất tại f(1) = 0. Vậy x ≤ e đối với mọi số thực x.

Xét một dãy các số thực không âm a₁, a₂, ..., aₙ với trung bình cộng μ. Áp dụng bất đẳng thức đã cho, ta có:

Sử dụng bất đẳng thức, ta có: