Bất đẳng thức Bernoulli

Trong toán học, bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức dùng để ước lượng các lũy thừa của 1 + x.

Bất đẳng thức này được diễn tả như sau:

$(1+x{)}^r\ge <!--\; \ge \; -->1+rx$

Đối với mọi số nguyên r ≥ 0 và mọi số thực x > −1, nếu số mũ r là số chẵn, thì bất đẳng thức này áp dụng cho mọi số thực x. Khi đó, bất đẳng thức trở thành một bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau:

$(1+x{)}^r>1+rx$

Đối với mọi số nguyên r ≥ 2 và mọi số thực x ≥ −1 với x khác 0.

Bất đẳng thức Bernoulli thường được áp dụng để chứng minh các bất đẳng thức khác. Chính bản thân nó có thể được chứng minh qua phương pháp quy nạp toán học:

Chứng minh:

Khi r=0, bất đẳng thức trở thành $(1+x{)}^0\ge <!--\; \ge \; -->1+0x$, tức là $1\ge <!--\; \ge \; -->1$, điều này hiển nhiên đúng.

Giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: $(1+x{)}^k\ge <!--\; \ge \; -->1+kx$

Cần chứng minh rằng: $(1+x{)}^{k+1}\ge <!--\; \ge \; -->1+(k+1)x$

Thực tế, ta có: $(1+x{)}^{k+1}=(1+x\left)\right(1+x{)}^k\ge <!--\; \ge \; -->(1+x)(1+kx)$ (do theo giả thuyết $(1+x)\ge <!--\; \ge \; -->0$) $=1+kx+x+k{x}^2=1+(k+1)x+k{x}^2\ge <!--\; \ge \; -->1+(k+1)x$ (bởi vì $k{x}^2\ge <!--\; \ge \; -->0$)

=> Bất đẳng thức được chứng minh đúng với r=k+1.

Áp dụng nguyên lý quy nạp, ta có thể khẳng định rằng bất đẳng thức đúng với mọi $r\ge <!--\; \ge \; -->0\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}$

Số mũ r có thể mở rộng cho bất kỳ giá trị thực nào như sau: nếu x > −1, thì

$(1+x{)}^r\ge <!--\; \ge \; -->1+rx$

đối với r ≤ 0 hoặc r ≥ 1, và

$(1+x{)}^r\le <!--\; \le \; -->1+rx$

với 0 ≤ r ≤ 1.

Bất đẳng thức tổng quát có thể được chứng minh thông qua việc so sánh các đạo hàm.

Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu x ≥ -1 và 1 ≤ r là một số nguyên dương.

Những bất đẳng thức liên quan

Dưới đây là một bất đẳng thức khác ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x từ một góc nhìn khác. Đối với mọi số thực x và r > 0, ta có

với e = 2.718... Bất đẳng thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức (1 + 1/k) < e.