Bất đẳng thức Hölder

Trong toán học, bất đẳng thức Hölder được đặt theo tên của nhà toán học Otto Hölder người Đức, là một định lý cơ bản trong các không gian L: giả sử S là một không gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ sao cho 1/p + 1/q = 1, và f thuộc L(S) cũng như g thuộc L(S). Khi đó, fg sẽ thuộc L(S) và

$\Vert <!--\; \Vert \; -->fg{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_1\le <!--\; \le \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p\Vert <!--\; \Vert \; -->g{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_q.$

Các giá trị p và q trong công thức trên được gọi là cặp liên hợp Holder của nhau.

Bất đẳng thức Holder có ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong không gian L, bất đẳng thức Minkowski, và cũng để chứng minh rằng L là đối ngẫu với L.

Các trường hợp đặc biệt cần lưu ý

• Khi p = q = 2, bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
• Trong không gian Euclide, với tập S là {1,...,n} và sử dụng độ đo kiểu đếm, ta có kết quả là áp dụng cho mọi x, y thuộc R (C)

$\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_k{y}_k|\le <!--\; \le \; -->{\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_k{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|y_k{|}^q\right)}^{1/q}$

• Nếu S=N với độ đo kiểu đếm, bất đẳng thức Holder có thể áp dụng cho các dãy trong không gian lp

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_n\cdot <!--\; \cdot \; -->y_n|\le <!--\; \le \; -->{\left(\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|x_n{|}^p\right)}^{1/p}\cdot <!--\; \cdot \; -->{(\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}}^{}$

| y n | q ) 1 / q , ∀ x ∈ l p , y ∈ l q {displaystyle sum limits {n=1}^{infty }|x{n}cdot y_{n}|leq left(sum limits {n=1}^{infty }|x{n}|^{p} ight)^{1/p}cdot left(sum limits {n=1}^{infty }|y{n}|^{q} ight)^{1/q},;orall xin l^{p},yin l^{q}}

• Trong không gian của các hàm có giá trị phức khả tích, bất đẳng thức được diễn tả như sau:

$\left|\int <!--\; \int \; -->f\left(x\right)g\left(x\right)dx\right|\le <!--\; \le \; -->{\left(\int <!--\; \int \; -->{\left|f\left(x\right)\right|}^{p}dx\right)}^{1/p}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\left(\int <!--\; \int \; -->{\left|g\left(x\right)\right|}^{q}dx\right)}^{1/q}.$

• Trong chứng minh bất đẳng thức Holder, thường gặp dạng đại số sau:

• Trong không gian xác suất $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},F,P)$ và không gian các hàm với moment p hữu hạn, ký hiệu $L^p(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},F,P)$ được dùng để chỉ không gian của các biến ngẫu nhiên có moment p hữu hạn.

, trong đó $E$ biểu thị giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Holder trở thành

.

Trường hợp tổng quát

Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau bằng phương pháp quy nạp

Giả sử $p_k\ge <!--\; \ge \; -->1,k=1,\dots <!--\; \dots \; -->n$ sao cho

Giả sử $u_k\in <!--\; \in \; -->L^{p_k}\left(S\right)$. Khi đó ta có $\underset{k=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{u}_k\in <!--\; \in \; -->L^1\left(S\right)$ và

${\Vert \underset{k=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{u}_k\Vert }_{L^1\left(S\right)}\le <!--\; \le \; -->\underset{k=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\Vert <!--\; \Vert \; -->u_k{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{L^{p_k}\left(S\right)}$

• Kuttler, Kenneth (2007), Giới thiệu về đại số tuyến tính (PDF), Đại học Brigham Young, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 7 tháng 8 năm 2008, truy cập ngày 9 tháng 10 năm 2011.