Bất đẳng thức tam giác

Buzz

Nội dung bài viết

Không gian vectơ định chuẩn

Không gian metric

Hệ quả

Sự thay đổi phương hướng trong không gian Minkowski

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Bất đẳng thức tam giác trong toán học khẳng định về chiều dài cạnh tam giác.
- Bất đẳng thức áp dụng trong không gian như hệ thống số thực, không gian Euclide.
- Trong không gian vectơ định chuẩn, bất đẳng thức tam giác là ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
- Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác ước lượng giới hạn trên tổng hai số.
- Trong không gian metric, bất đẳng thức tam giác có dạng d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y,z).
- Hệ quả của bất đẳng thức tam giác là | ||x||.
- ||y|| | ≤ ||x.
- y||.
- Trong không gian Minkowski, bất đẳng thức tam giác ngược lại: |x + y| ≥ |x| + |y|.

Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý khẳng định rằng trong một tam giác, chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu của hai cạnh còn lại.

Ví dụ: Với ΔABC có BC = a, AC = b, AB = c, ta có các bất đẳng thức sau:

|b-c| < a < b+c

|a-c| < b < a+c

|a-b| < c < a+b

Bất đẳng thức là một định lý quan trọng trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, các không gian L (p≥1) và mọi không gian metric. Bất đẳng thức cũng là một tiên đề quan trọng trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích hàm, ví dụ như các không gian vectơ định chuẩn và các không gian metric.

Không gian vectơ định chuẩn

Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác được phát biểu như sau: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V tức là, chuẩn của tổng hai vectơ không thể lớn hơn tổng chuẩn của hai vectơ đó.

Đường thẳng thực là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, do đó có thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ x và y như sau:

|x+y| ≤ |x|+|y|.

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được sử dụng để ước tính giới hạn trên tốt nhất cho tổng của hai số, dựa trên giá trị của từng số trong hai số đó.

Cũng có một ước tính giới hạn dưới có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng bất đẳng thức tam giác nghịch đảo, với phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y:

| |x|-|y| | ≤ |x-y|.

Không gian metric

Trong không gian metric M với metric là d, bất đẳng thức tam giác có dạng

d(x, z) ≤

d(x,y) + d(y,z) với mọi x, y, z thuộc M

tức là, khoảng cách từ x đến z không thể lớn hơn tổng các khoảng cách từ x đến y với khoảng cách từ y đến z.

Hệ quả

Người ta thường sử dụng một hệ quả sau đây của bất đẳng thức tam giác, thay vì cho cận trên hệ quả này cho cận dưới:

| ||x|| - ||y|| | ≤ ||x - y|| được biểu diễn theo định lý metric | d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z)

điều này chỉ ra rằng chuẩn ||–|| và hàm khoảng cách d(x, –) là 1-Lipschitz và do đó là hàm liên tục.

Sự thay đổi phương hướng trong không gian Minkowski

Trong không gian Minkowski thông thường hoặc trong các không gian Minkowski mở rộng với số chiều bất kỳ, giả sử các vectơ không và các vectơ cùng giống thời gian có cùng chiều thời gian, bất đẳng thức tam giác là ngược lại:

|x + y| ≥ |x| + |y| với mọi x, y thuộc R sao cho |x| > 0, |y| > 0 và tx ty ≥ 0

Một ví dụ vật lý cho bất đẳng thức này là hiện tượng nghịch lý sinh đôi trong lý thuyết tương đối hẹp

Theovi.wikipedia.org

Copy link

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Bất đẳng thức tam giác là gì và có ý nghĩa như thế nào trong toán học?

Bất đẳng thức tam giác khẳng định rằng trong một tam giác, chiều dài của một cạnh luôn nhỏ hơn tổng và lớn hơn hiệu của hai cạnh còn lại, rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học.

Bất đẳng thức tam giác được áp dụng trong không gian nào?

Bất đẳng thức tam giác áp dụng cho nhiều không gian, bao gồm hệ thống số thực, không gian Euclide, không gian L (p≥1) và mọi không gian metric, thể hiện tính chất quan trọng của khoảng cách.

Ý nghĩa của bất đẳng thức tam giác trong không gian metric là gì?

Trong không gian metric, bất đẳng thức tam giác thể hiện rằng khoảng cách giữa hai điểm không thể lớn hơn tổng khoảng cách qua một điểm thứ ba, điều này giúp định nghĩa các khái niệm về độ bền và độ liên tục.

Bất đẳng thức tam giác nghịch đảo có tác dụng gì trong giải tích?

Bất đẳng thức tam giác nghịch đảo giúp ước lượng cận dưới cho khoảng cách giữa hai số thực, hỗ trợ trong việc phân tích giới hạn và tính liên tục của các hàm số trong giải tích toán học.