Bí quyết tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp

Mặt cầu là tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định khoảng R, kí hiệu: S(O; R) hay {M/OM = R}. Vậy công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp là gì? Mời bạn đọc bài hướng dẫn chi tiết của chúng tôi.

Bí quyết tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều với cạnh a, cũng như trong trường hợp hình chóp, hình lăng trụ, và hình lập phương.
 

I. Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp

S = 4.π.R²

Với: S là kí hiệu diện tích mặt cầu
R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp

- Trục cơ sở: Là đường thẳng qua trung điểm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
- Trung trực đoạn thẳng: Là đường thẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

II. Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp của các hình cơ bản

- Tâm và bán kính mặt cầu là hai đại lượng quan trọng để tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp. Để xác định chúng, làm theo các bước quan trọng để tìm diện tích. Cùng theo dõi cách xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp trên một số hình dạng khác nhau.

1. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Hình lăng trụ đứng A₁A₂A₃A₄.A'₁A'₂A'₃A'₄ có hai đáy nội tiếp đường tròn O và O'.
- Tâm mặt cầu: I và I' (đều là trung điểm của OO')
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R = IA₁ = IA₂ = ....
- Biết tâm, bán kính, áp dụng công thức để giải các bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều có các cạnh bằng a,...

2. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

a) Hình chóp đều

Hình minh họa 

* Tìm tâm mặt cầu:

Hình chóp đều S.ABC có:
- O là tâm của đáy => SO là trục đáy
- Trên mặt phẳng (SAO), vẽ d là đường trung trực của SA cắt SA tại giao điểm M, cắt SO tại giao điểm I
=> Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là I.

* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Xét hai tam giác đồng dạng với nhau là SMI và SOA, ta có:
=> R = SI = SA² : 2.SO = IB = IB = IC (R: Bán kính)

* Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
=> Sau khi tính được bán kính mặt cầu, ta áp dụng công thức: S = 4.π.R²

b) Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Hình minh họa

* Tìm tâm mặt cầu:

Hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC) trong đó mặt đáy ABC nội tiếp đường tròn tâm O
- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, vẽ d vuông góc với (ABC) tại O.
- Trong mặt phẳng được tạo bởi đường thẳng d với SA, vẽ đường trung trực d' của SA, giao với SA tại M, giao với d tại I.

* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
Từ các dữ kiện đã biết, ta có hình chữ nhật MIOB
- Xét tam giác vuông MAI tại M:
R = AI = √(MI² + MA²) = √[AO² + (SA/2)²]

Lưu ý: Nếu hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy (ABC) và tam giác ABC vuông tại B thì tâm đường tròn ngoại tiếp của hình chóp chính là trung điểm của đường SC. 

3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, hình hộp chữ nhật

* Xác định tâm của mặt cầu:
- Tâm của mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng AC' (tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật/ hình lập phương).
* Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp: 
- Bán kính mặt cầu = 1/2 độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật / hình lập phương.
* Áp dụng công thức tính S để giải các bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng 1, cạnh bằng 2a,...

III. Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Để tính được diện tích mặt cầu ngoại tiếp, các bạn cần tính được bán kính ngoại tiếp. Các bạn cùng xem công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện để áp dụng vào trong bài cho đúng. 

IV. Bài tập tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp

Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SAB là tam giác đều, đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a, (SAB) vuông (ABC). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.

Bài giải:

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA = a√3, SA ⊥ (ABCD). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Công thức tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện, hình lập phương, hình chóp, hình lăng trụ là những kiến thức tương đối đơn giản, dễ nhớ và dễ thuộc. Các em hãy linh hoạt áp dụng chúng trong từng dạng bài tập để tìm ra đáp án chính xác. Ngoài ra, cần hiểu và ghi nhớ cách tính diện tích hình tròn để áp dụng vào những loại hình tương tự trong hình học không gian.

Ngoài ra, hãy tham khảo thêm các dạng bài về mặt cầu ngoại tiếp. Bài toán công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là một bài toán thú vị và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi, hãy chuẩn bị kỹ để giải quyết mọi thách thức.