Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier hay chuyển đổi Fourier, được đặt theo tên nhà toán học người Pháp Joseph Fourier, là phép biến đổi một hàm số hoặc tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số. Ví dụ như một bản nhạc có thể được phân tích dựa trên các tần số của nó.

Ứng dụng

Biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng trong khoa học, ví dụ như trong vật lý, toán học, xử lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, âm nhạc, hải dương học, quang học, hình học và nhiều lĩnh vực khác. Trong xử lý tín hiệu và các lĩnh vực liên quan, biến đổi Fourier thường được sử dụng để chuyển đổi tín hiệu thành các thành phần biên độ và tần số. Sự ứng dụng rộng rãi của biến đổi Fourier bắt nguồn từ những tính chất hữu ích của nó:

• Tính tuyến tính: $F[a.f+b.g]=a.F\left[f\right]+b.F\left[g\right]$
• Tồn tại biến đổi nghịch đảo, và thực tế là biến đổi Fourier nghịch đảo gần như có cùng dạng với biến đổi thuận.
• Những hàm số sin cơ sở là các hàm riêng của phép vi phân, có nghĩa là khai triển này biến những phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số không đổi thành các phương trình đại số cơ bản. Ví dụ, trong một hệ vật lý tuyến tính không phụ thuộc thời gian, tần số là một đại lượng không đổi, do đó những thành phần tần số khác nhau có thể được tính toán một cách độc lập.
• Theo định lý tích tổng chập, biến đổi Fourier chuyển một tích tổng chập phức tạp thành một tích đại số đơn giản.
• Biến đổi Fourier rời rạc có thể được tính toán một cách nhanh chóng bằng máy tính nhờ thuật toán FFT (fast Fourier transform).
• Theo định lý Parseval-Plancherel, năng lượng của tín hiệu (tích phân của bình phương giá trị tuyệt đối của hàm) không đổi sau biến đổi Fourier.

Các loại biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier liên tục

Thông thường, thuật ngữ 'biến đổi Fourier' thường ám chỉ đến biến đổi Fourier liên tục, một phương pháp biểu diễn một hàm bất kỳ f(t) dưới dạng tổng của các hàm mũ phức có tần số góc ω và biên độ phức F(ω):

$f\left(t\right)=F^{-<!--\; -\; -->1}$

Đây là biến đổi nghịch đảo của biến đổi Fourier liên tục, trong khi biến đổi Fourier biểu diễn hàm F(ω) dưới dạng f(t). Xem biến đổi Fourier liên tục để biết thêm chi tiết.

Dãy Fourier

Biến đổi Fourier liên tục là phiên bản tổng quát của một khái niệm cổ điển hơn là chuỗi Fourier. Chuỗi Fourier mở rộng các hàm tuần hoàn f(x) với chu kỳ 2π (hoặc các hàm với miền giá trị bị chặn) thành một chuỗi của các hàm sin:

$f\left(x\right)=\underset{n=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{F}_n{e}^{inx},$

trong đó $F_n$ biểu thị biên độ phức. Đối với các hàm thực, chuỗi Fourier có thể được biểu diễn dưới dạng:

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{a}_0+\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left[a_n\cos <!--\; \; -->\left(nx\right)+b_n\sin <!--\; \; -->\left(nx\right)\right],$

trong đó a_n và b_n là các hằng số Fourier (giá trị thực).

Phép biến đổi Fourier rời rạc

Các dạng biến đổi khác

• Biến đổi Fourier hai chiều
• Biến đổi Laplace
• Các hàm số trực giao
• Quang học Fourier
• Xử lý tín hiệu