Biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace (trong tiếng Anh là Laplace transform) là một phép biến đổi tích phân chuyển hàm số $f\left(t\right)$ từ miền thời gian sang miền tần số phức $F\left(s\right)$, được phát triển bởi nhà toán học người Pháp Pierre-Simon Laplace. Cùng với biến đổi Fourier, phép biến đổi này là công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán vật lý bằng cách đơn giản hóa các phép toán phức tạp như đạo hàm và tích phân thành các phép toán đại số (tương tự như cách hàm logarit chuyển đổi phép toán nhân thành phép cộng). Điều này làm cho nó rất hữu ích trong việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, và các phương trình khác thường gặp trong các bài toán vật lý, phân tích mạch điện, xử lý dữ liệu, dao động điều hòa, và các hệ cơ học,... Thông qua biến đổi Laplace, các phương trình này có thể được chuyển đổi thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Để tìm lại hàm gốc từ không gian p, chúng ta sử dụng biến đổi Laplace ngược để quay về không gian thực t.

Lịch sử

Vào năm 1744, nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler đã đưa ra các tích phân sau đây để giải quyết các phương trình vi phân.

$z=\int <!--\; \int \; -->X\left(x\right)e^{ax}dx$ và $z=\int <!--\; \int \; -->X\left(x\right)x^{A}dx$

Vào năm 1773, Joseph-Louis Lagrange, nhà toán học người Pháp gốc Ý và người hâm mộ Euler, đã nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất và đưa ra biểu thức tích phân sau:

$\int <!--\; \int \; -->X\left(x\right)e^{ax}{a}^{x}dx$

Năm 1782, Laplace đã tiếp tục nghiên cứu các dạng tích phân này khi mở rộng công trình của Euler, sử dụng phép tính tích phân để giải các phương trình. Đến năm 1785, ông đã phát triển các biến đổi mới vượt ra ngoài phương pháp tích phân để giải các phương trình, với biểu thức tích phân như sau:

$\int <!--\; \int \; -->x^s\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}\left(s\right)dx$

Tương tự như biến đổi Mellin, phép biến đổi Laplace cũng sử dụng phương pháp tương tự để giải các phương trình sai phân. Laplace đã rút ra những đặc tính của biến đổi này và nhận thấy rằng phương pháp chuỗi Fourier của Joseph Fourier để giải phương trình khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong không gian giới hạn.

Định nghĩa

Biến đổi Laplace cung cấp cách tiếp cận trong miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục, bất kể tính ổn định của hệ thống. Biến đổi Laplace của hàm số f(t) (với mọi giá trị thực t ≥ 0) được ký hiệu là F(s) và được định nghĩa như sau:

$L\left\{f\right(t\left)\right\}=F\left(s\right)=\underset{0^{-<!--\; -\; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f\left(t\right)e^{-<!--\; -\; -->st}dt$

Trong đó, $s$ là biến số phức được xác định bởi $s=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}+j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$ (với $s$ thuộc miền tần số, với đơn vị là giây (second) $s^{-<!--\; -\; -->1}$

Giới hạn $0^{-<!--\; -\; -->}$ cho biết thời điểm bắt đầu ngay trước khi $t=0$, dùng để lấy giá trị của hàm số $f\left(t\right)$ ngay tại thời điểm $t=0$.

Biến đổi Laplace hai chiều

Khi chỉ nhắc đến 'biến đổi Laplace' mà không có thêm chú thích, thường là chúng ta đang nói đến biến đổi một chiều. Tuy nhiên, biến đổi Laplace cũng có thể được mở rộng thành biến đổi hai chiều bằng cách mở rộng giới hạn tích phân ra vô cực.

$F\left(s\right)=L\left\{f\left(t\right)\right\}={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f\left(t\right)e^{-<!--\; -\; -->st}dt$

Vì vậy, biến đổi Laplace một chiều có thể xem là trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai chiều, được xác định bằng cách nhân hàm đã chuyển đổi với hàm bước nhảy Heaviside.

Biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược cho phép chúng ta khôi phục hàm số gốc f(t) từ hàm biến đổi F(s). Định nghĩa của biến đổi Laplace ngược được biểu diễn qua tích phân sau đây.

Tuy nhiên, thay vì sử dụng tích phân này để tính hàm gốc, chúng ta thường dựa vào các bảng 'hàm gốc – hàm ảnh tương ứng' đã được chuẩn bị sẵn để dễ dàng tìm lại hàm gốc f(t).

Các tính chất của hàm gốc

Tập hợp các hàm f liên quan đến biến t sao cho tích phân ${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f\left(t\right)e^{-<!--\; -\; -->st}dt$ hội tụ với ít nhất một số phức p được gọi là lớp hàm gốc. Đồng thời, tập hợp các giá trị của p mà tại đó tích phân ${\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}f\left(t\right)e^{-<!--\; -\; -->st}dt$ tồn tại được gọi là miền hội tụ (hoặc miền qui tụ).

Chúng ta có thể chứng minh rằng lớp hàm gốc cần đáp ứng những điều kiện sau.

• f(t) = 0 đối với mọi t < 0.
• Đối với t ≥ 0, hàm f(t) phải liên tục và có đủ số cấp đạo hàm trên toàn bộ trục t, ngoại trừ một số điểm gián đoạn hữu hạn loại một.
• Khi $t\to <!--\; \to \; -->+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$ hàm f(t) phải tăng theo cấp bậc bị chặn, nghĩa là tồn tại các hằng số s > 0 và M > 0 sao cho Khi đó, s_o = inf {s} được gọi là chỉ số tăng của hàm f. (Hàm f(t) không được tăng nhanh hơn hàm e để đảm bảo tích phân Laplace hội tụ).

Tính chất của biến đổi Laplace

• Cho hai hàm f(t) và g(t), với các hàm ảnh tương ứng là F(s) và G(s):

$f\left(t\right)=L^{-<!--\; -\; -->1}\left\{F\left(s\right)\right\}$

$g\left(t\right)=L^{-<!--\; -\; -->1}\left\{G\left(s\right)\right\}$

• Dưới đây là bảng tổng hợp các tính chất của biến đổi Laplace:

• Định lý về giá trị ban đầu: (Định lý giới hạn)

$f\left(0^{+}\right)=\underset{s\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}sF\left(s\right)$

• Định lý về giá trị cuối: (Định lý giới hạn)

$f\left(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)=\underset{s\to <!--\; \to \; -->0}{lim}sF\left(s\right)$, trong nửa mặt phẳng với Re.s > so

Biến đổi Laplace của đạo hàm của một hàm

Chúng ta thường sử dụng biến đổi Laplace để tìm đạo hàm của hàm số. Ta có thể lấy được từ biểu thức cơ bản của biến đổi Laplace như sau:

$L\left\{f\left(t\right)\right\}={\int <!--\; \int \; -->}_{0^{-<!--\; -\; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->st}f\left(t\right)dt$

(Từng phần)

Trong trường hợp hai bên, ta có

$L\left\{\frac{df}{dt}\right\}=s{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{-<!--\; -\; -->st}f\left(t\right)dt=s\cdot <!--\; \cdot \; -->L\left\{f\right(t\left)\right\}.$

Liên kết với các biến đổi khác

Biến đổi Fourier liên tục có thể xem như biến đổi Laplace hai bên với tham số phức s = iω hay $s=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}fi$

Lưu ý rằng công thức này không bao gồm hệ số tỷ lệ , yếu tố này được tính trong định nghĩa của biến đổi Fourier.

Mối liên hệ giữa biến đổi Laplace và biến đổi Fourier thường được sử dụng để xác định phổ tần số của tín hiệu hoặc hệ thống động lực học (dynamic system).

Biến đổi Mellin và phép nghịch đảo của nó có mối liên hệ với biến đổi Laplace hai bên thông qua sự thay đổi biến. Cụ thể, trong biến đổi Mellin

Khi thay đổi biến θ thành e, ta sẽ thu được biến đổi Laplace hai bên.

Biến đổi Z có thể được coi là biến đổi Laplace của tín hiệu thử lý tưởng khi thực hiện thay thế sau đây:

$z\stackrel{def}{=}{e}^{sT}$, với $T=1/f_s$ là chu kỳ (tính bằng giây), và $f_s$ là tần số (tính bằng hertz).

đặt

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_T\left(t\right)\stackrel{def}{=}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->nT)$ là xung thử (hay còn gọi là xung Dirac).

và

$x_q\left(t\right)\stackrel{def}{=}x\left(t\right){\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_T\left(t\right)=x\left(t\right)\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->nT)$ $=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x\left(nT\right)\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->nT)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x\left[n\right]\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->nT)$

là dạng biểu diễn liên tục thời gian (continuous-time) của x(t), trong khi $x\left[n\right]\stackrel{def}{=}x\left(nT\right)$ đại diện cho sự rời rạc của x(t).

Biến đổi Laplace của tín hiệu thử x_q(t) được tính như sau:

$X_q\left(s\right)={\int <!--\; \int \; -->}_{0^{-<!--\; -\; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{x}_q\left(t\right)e^{-<!--\; -\; -->st}dt$

$={\int <!--\; \int \; -->}_{0^{-<!--\; -\; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x\left[\mathrm{n\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>}\right]\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->nT)e^{-<!--\; -\; -->st}dt$

$=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x\left[n\right]{\int <!--\; \int \; -->}_{0^{-<!--\; -\; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t-<!--\; -\; -->nT)e^{-<!--\; -\; -->st}dt$

$=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x\left[n\right]e^{-<!--\; -\; -->nsT}.$

Đây là cách chính xác để định nghĩa biến đổi Z cho hàm x[n].

$X\left(z\right)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}x\left[n\right]z^{-<!--\; -\; -->n}$ (với $z\leftarrow <!--\; \leftarrow \; -->e^{sT}$)

Khi so sánh hai phương trình cuối cùng, ta có thể nhận ra mối quan hệ giữa biến đổi Z và biến đổi Laplace của tín hiệu.

$X_q\left(s\right)=X\left(z\right){|}_{z=e^{sT}}.$

Biến đổi Borel có mối liên hệ với biến đổi Laplace, tuy nhiên, có sự nhầm lẫn phổ biến khi cho rằng chúng tương đương. Thực tế, biến đổi Borel tổng quát là một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace cho các hàm không phải hàm mũ.

Biến đổi Laplace có thể được coi là một dạng đặc biệt của biến đổi hai bên, trong khi biến đổi hai bên lại là tổng của hai biến đổi một bên. Các biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, và Z có sự khác biệt chủ yếu là cách chúng liên quan đến biến đổi tích phân.

Bảng các biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính, vì vậy

• Biến đổi Laplace của tổng hai hàm bằng tổng các biến đổi Laplace của từng hàm

$L\left\{f\left(t\right)+g\left(t\right)\right\}=L\left\{f\left(t\right)\right\}+L\left\{g\left(t\right)\right\}$

• Biến đổi Laplace của một hàm khi được nhân với một hằng số bằng hằng số nhân với biến đổi Laplace của hàm đó

$L\left\{af\left(t\right)\right\}=aL\left\{f\left(t\right)\right\}$

Biến đổi Laplace chỉ có tính đơn ánh khi t là số không âm, vì vậy các hàm trong miền thời gian được thể hiện trong bảng dưới đây là các bội số của hàm bậc thang Heaviside u(t).

• Bảng liệt kê các biến đổi Laplace cho những hàm phụ thuộc vào một biến.

Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong miền s

Biến đổi Laplace được áp dụng để chuyển các yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang miền s.

Mối quan hệ giữa dòng và áp suất trong miền s của các yếu tố mạch điện RLC

$V_R\left(s\right)=R.I\left(s\right)$

$V_L\left(s\right)=s.L.I\left(s\right)-<!--\; -\; -->L.I_o$

$V_C\left(s\right)=\frac{1}{s.C}I\left(s\right)+\frac{V_o}{s}$

Chú ý: Đối với điện trở R, mạch trong miền thời gian và miền s giống nhau. Tuy nhiên, đối với cuộn cảm L và tụ điện C, cần xem xét các điều kiện ban đầu (dòng điện ban đầu với cuộn cảm và điện áp ban đầu với tụ điện).

Ứng dụng các tính chất và định lý của biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace được áp dụng rộng rãi trong kỹ thuật và vật lý học. Việc chuyển đổi này đưa phép nhân chập về dạng phép nhân thông thường, giúp giải quyết các bài toán thông qua các phương pháp đại số.

Biến đổi Laplace cũng được sử dụng để giải các phương trình vi phân và có ứng dụng quan trọng trong kỹ thuật điện. Phương pháp này, do kỹ sư Oliver Heaviside phát triển, giúp giải các phương trình vi phân một cách hiệu quả.

Các ví dụ dưới đây sử dụng hệ đơn vị SI

Giải các phương trình vi phân

Vấn đề trong lĩnh vực vật lý hạt nhân nguyên tử

Phương trình mô tả quá trình phân rã phóng xạ của một chất đồng vị phóng xạ

$\frac{dN}{dt}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}N$(1) N=N(t): số nguyên tử không bị phân rã tại thời điểm t(s)

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$: hằng số phân rã của chất

Chúng ta sẽ áp dụng biến đổi Laplace để giải phương trình này

Từ phương trình (1) ta có

$\frac{dN}{dt}+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}N=0$

Áp dụng biến đổi Laplace cho cả hai vế của phương trình trên

$\left(s\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{N}\left(s\right)-<!--\; -\; -->N_o\right)+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{N}\left(s\right)=0$

Với $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{N}$

$N_o=N\left(0\right).$

Giải phương trình ta thu được

$\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{N}\left(s\right)=\frac{N_o}{s+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}.$

Cuối cùng, thực hiện biến đổi ngược để đưa về miền thời gian

$N\left(t\right)=L^{-<!--\; -\; -->1}\left\{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{N}\right(s\left)\right\}=L^{-<!--\; -\; -->1}\left\{\frac{N_o}{s+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\right\}$

Tổng trở Z(s) của tụ và cuộn cảm

Ví dụ này dựa trên lý thuyết phân tích mạch điện

Mối quan hệ giữa dòng điện và điện áp của các thành phần RLC trong miền thời gian t

$i_R\left(t\right)=\frac{V_R\left(t\right)}{R}$

$i_C\left(t\right)=C.\frac{d{V}_C\left(t\right)}{dt}$

$V_L\left(t\right)=L.\frac{d{i}_L\left(t\right)}{dt}$

Với i(t) là dòng điện qua các phần tử RLC và V(t) là điện áp giữa hai đầu, cả hai đều là hàm theo thời gian t

Sử dụng phép biến đổi Laplace để chuyển sang miền s

$V_R\left(s\right)=R.I\left(s\right)$

$V_L\left(s\right)=s.L.I\left(s\right)-<!--\; -\; -->L.I_o$

$V_C\left(s\right)=\frac{1}{sC}I\left(s\right)+\frac{V_o}{s}$

Với $I\left(s\right)=Li\left(t\right)$, $V\left(s\right)=Lv\left(t\right)$

$I_o=i\left(0\right)$: dòng điện ban đầu qua cuộn cảm L

$V_o=V_C\left(0\right)$: điện áp ban đầu qua tụ điện C

Tổng trở Z(s) được định nghĩa là tỷ số giữa V và i khi điều kiện ban đầu bằng 0

$Z\left(s\right)=\frac{V\left(s\right)}{I\left(s\right)}{|}_{V_o=0}.$

Từ đây, chúng ta có thể xác định tổng trở của các thành phần RLC

$Z_R\left(s\right)=R$

$Z_L\left(s\right)=s.L$

$Z_C\left(s\right)=\frac{1}{sC}$

Hàm truyền của hệ thống

Mối quan hệ giữa miền thời gian t và miền tần số được thể hiện qua bảng sau:

Lưu ý rằng ký hiệu * trong miền thời gian biểu thị phép nhân chập

Xem xét một hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian với

$h\left(t\right)=A{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}\cos <!--\; \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{d}t-<!--\; -\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_d)$ (1)

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{d}t-<!--\; -\; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_d\ge <!--\; \ge \; -->0$

$0\le <!--\; \le \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_d\le <!--\; \le \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$: độ trễ pha

Ta chuyển đổi phương trình (1)

$h\left(t\right)=A{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}\cos <!--\; \; -->\left[{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_d(t-<!--\; -\; -->t_d)\right]\cdot <!--\; \cdot \; -->u(t-<!--\; -\; -->t_d)$

Với $t_d=\frac{{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_d}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_d}$: thời gian trễ của hệ thống và u(t) là hàm bước Heaviside.

Hàm truyền H(s) được xác định bằng cách áp dụng biến đổi Laplace cho hàm h(t)

$H\left(s\right)=L\left\{h\right(t\left)\right\}=A{e}^{-<!--\; -\; -->s{t}_d}\frac{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_d^2}$

$=A{e}^{-<!--\; -\; -->s{t}_d}\frac{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}{(s^2+2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}s+{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2)+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_d^2}$

$=A{e}^{-<!--\; -\; -->s{t}_d}\frac{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}{(s^2+2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}s+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2)}$

với ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0=\sqrt{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_d^2}$ là tần số cộng hưởng của hệ thống (rad/s)

Phương pháp phân tích thành phần riêng

Xem xét hệ tuyến tính thời gian bất biến và hàm truyền của nó

$H\left(s\right)=\frac{1}{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})(s+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}$

$h\left(t\right)=L^{-<!--\; -\; -->1}\left\{H\right(s\left)\right\}$: nghịch đảo biến đổi Laplace của hàm truyền H(s)

Để thực hiện nghịch đảo biến đổi Laplace, chúng ta bắt đầu bằng cách khai triển H(s) sử dụng phương pháp phân tích thành phần riêng

$H\left(s\right)=\frac{1}{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})(s+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}=\frac{P}{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}+\frac{R}{(s+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}$

P và R là các hằng số cần tìm. Để xác định các hằng số này, ta sử dụng phương pháp đồng nhất

$\frac{s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{s+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{P(s+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+R(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})(s+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}$

Từ đó ta có kết quả

$P={\frac{1}{(s+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}|}_{s=-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\frac{1}{(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}$

và

$R={\frac{1}{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}|}_{s=-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\frac{1}{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}=\frac{-<!--\; -\; -->1}{(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}=-<!--\; -\; -->P$

Thay giá trị này vào H(s), ta thu được

$H\left(s\right)=\left(\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left(\frac{1}{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}-<!--\; -\; -->\frac{1}{(s+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}\right)$

Sử dụng bảng và tính chất của biến đổi Laplace, ta tiến hành tính biến đổi Laplace ngược của H(s)

$h\left(t\right)=L^{-<!--\; -\; -->1}\left\{H\right(s\left)\right\}=\frac{1}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\left(e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}t}\right)$

Hàm tổng hợp của sin, cos và hàm mũ

Xem xét hàm biến đổi Laplace $X\left(s\right)=\frac{s+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$

Chúng ta sẽ tìm hàm ngược của X(s) bằng cách thêm và bớt một hằng số trong tử số

$X\left(s\right)=\frac{s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}+\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{(s+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$

Áp dụng định lý dịch chuyển, ta có được

$x\left(t\right)=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}{L}^{-<!--\; -\; -->1}\left\{\frac{s}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}+\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}\right\}$

$=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}{L}^{-<!--\; -\; -->1}\left\{\frac{s}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}+\left(\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\right)\left(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}\right)\right\}$

$=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}\left[L^{-<!--\; -\; -->1}\left\{\frac{s}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}\right\}+\left(\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\right)L^{-<!--\; -\; -->1}\left\{\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}\right\}\right]$

Cuối cùng, áp dụng biến đổi Laplace cho các hàm sin và cos, ta có kết quả: $x\left(t\right)=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}\left[\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t\right)u\left(t\right)+\left(\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\right)\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t\right)u\left(t\right)\right]$

$x\left(t\right)=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}t}\left[\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t\right)+\left(\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\right)\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t\right)\right]u\left(t\right)$

Sự trễ pha

Chúng ta bắt đầu từ hàm biến đổi Laplace: $X\left(s\right)=\frac{s\sin <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$

Chúng ta bắt đầu từ hàm biến đổi Laplace: $X\left(s\right)=\frac{s\sin <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$

Kết luận

$X\left(s\right)=\frac{s\sin <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}+\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}$

$=(\sin <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})\left(\frac{s}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}\right)+(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})\left(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}\right)$

Khi thực hiện biến đổi ngược hàm X(s), ta thu được

Áp dụng công thức lượng giác trong tam giác (trigonometric identity) $a\sin <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+b\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t=\sqrt{a^2+b^2}\cdot <!--\; \cdot \; -->\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\arctan <!--\; \; -->\left(b/a\right)\right)$

Chúng ta suy luận rằng

Tương tự, ta có thể rút ra

$L^{-<!--\; -\; -->1}\left\{\frac{s\cos <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{s^2+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}\right\}=\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$

• Pierre-Simon Laplace
• Biến đổi Fourier
• Xử lý tín hiệu analog
• Biến đổi Laplace áp dụng cho phương trình vi phân

Tham khảo thêm

• Công cụ tính toán trực tuyến Lưu trữ ngày 01-04-2012 tại Wayback Machine của biến đổi hoặc biến đổi ngược, wims.unice.fr
• Bảng các biến đổi tích phân tại EqWorld: Thế giới của các phương trình toán học.
• Module biến đổi Laplace của John H. Mathews
• Giải thích tốt về các định lý giá trị ban đầu và giá trị cuối cùng Lưu trữ ngày 08-01-2009 tại Wayback Machine
• Laplace và Heaviside tại Toán học tương tác.
• Bảng biến đổi Laplace và ví dụ tại Vibrationdata.
• Sách công thức biến đổi Laplace Lưu trữ ngày 12-12-2008 tại Wayback Machine của Syscomp Electronic Design.