Biến động cùng phương

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, biến động cùng phương là chỉ số đo lường sự biến đổi cùng nhau của hai biến ngẫu nhiên (khác với phương sai - đo mức độ biến đổi của một biến).

Nếu 2 biến có xu hướng thay đổi đồng bộ (tức là, khi một biến có giá trị cao hơn giá trị kỳ vọng thì biến kia cũng có xu hướng cao hơn giá trị kỳ vọng), thì biến động cùng phương của hai biến này có giá trị dương. Ngược lại, nếu một biến nằm trên giá trị kỳ vọng và biến kia có xu hướng nằm dưới giá trị kỳ vọng, thì biến động cùng phương của hai biến này có giá trị âm.

Biến động cùng phương giữa hai biến ngẫu nhiên giá trị thực X và Y, với các giá trị kỳ vọng E(X)=μ và E(Y)=ν được định nghĩa như sau:

Cov(X, Y) = E((X - μ)(Y - ν))

trong đó E là hàm kỳ vọng. Công thức trên cũng có thể được viết như sau:

Cov(X, Y) = E(X ⋅ Y) − μν.

Nếu X và Y độc lập, thì hiệp phương sai của chúng bằng 0. Điều này là do khi có sự độc lập thống kê,

E(X ⋅ Y) = E(X) ⋅ E(Y) = μν.

Thay thế vào dạng thứ hai của công thức hiệp phương sai ở trên, ta có

Cov(X, Y) = μν − μν = 0.

Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng: nếu X và Y có hiệp phương sai bằng 0, không nhất thiết chúng độc lập.

Đơn vị đo của hiệp phương sai Cov(X, Y) là đơn vị của X nhân với đơn vị của Y. Ngược lại, tương quan (correlation), đại lượng dựa trên hiệp phương sai, là một độ đo không có đơn vị về sự phụ thuộc tuyến tính.

Các biến ngẫu nhiên có hiệp phương sai bằng không được gọi là không tương quan (uncorrelated).

Đặc tính

Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, và a, b là các hằng số (ở đây hằng có nghĩa là không ngẫu nhiên), thì các hệ quả sau của định nghĩa hiệp phương sai sẽ được liệt kê như sau:

$\mathrm{Cov}<!--\; \; -->(X,X)=\mathrm{Var}<!--\; \; -->\left(X\right)$

$\mathrm{Cov}<!--\; \; -->(X,Y)=\mathrm{Cov}<!--\; \; -->(Y,X)$

$\mathrm{Cov}<!--\; \; -->(aX,bY)=ab\mathrm{Cov}<!--\; \; -->(X,Y)$

Với các dãy biến ngẫu nhiên X₁,..., X_n và Y₁,..., Y_m, chúng ta có các hệ quả sau:

$\mathrm{Cov}<!--\; \; -->\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i,\underset{j=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{Y}_j\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{Cov}<!--\; \; -->\left(X_i,Y_j\right).$

Đối với dãy biến ngẫu nhiên X₁,..., X_n, ta có:

• Ma trận hiệp phương sai
• Tự hiệp phương sai (Autocovariance)