Biểu thức đại số

Trong toán học, một số đại số là nghiệm (có thể thực hoặc ảo) của một phương trình đại số. Nói cách khác, một số đại số là nghiệm của một đa thức với hệ số là số nguyên (hoặc tương đương là số hữu tỷ). Trong khái niệm rộng hơn, số đại số không chỉ là số phức mà còn có thể là các số đại số trên các trường khác, như các số p-adic (p-adic number).

Các số đại số khác

Toàn bộ các số đại số hợp thành một trường các số đại số.

• Số tự nhiên
• Số nguyên
• Phân số
• Số vô tỷ
• Số hữu tỷ
• Số phức
• Số nguyên tố
• Số nguyên Gauss
• Số nguyên Eisenstein
• Số vô tỷ Quadratic
• Căn của đơn vị
• Gaussian period
• Số Pisot-Vijayaraghavan
• Số Salem

Ví dụ

Mọi số hữu tỷ đều là số đại số. Một số vô tỷ có thể là số đại số hoặc không. Ví dụ, $\sqrt{2}$ và là những ví dụ về số đại số vì chúng là nghiệm của các phương trình đại số.

x − 2 = 0 và 8x − 3 = 0. Đơn vị ảo i là số đại số vì nó là nghiệm của phương trình x + 1 = 0.

Các thuộc tính

Các số không thuộc tập hợp số đại số được gọi là số siêu việt. Hầu hết các số thực và số phức đều là số siêu việt vì tập hợp số đại số có thể đếm được, trong khi tập hợp số thực và số phức thì không. Do đó, tập hợp số siêu việt là vô hạn và không thể đếm được. Ví dụ về số siêu việt bao gồm π và e, và các ví dụ khác được cung cấp bởi định lý Gelfond-Schneider.

• Tập hợp các số đại số là tập đếm được, nên nó được gọi là tập hợp xác định.
• Nếu một số đại số là nghiệm của một phương trình đa thức bậc n nhưng không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình nào có bậc thấp hơn n, thì số đó được gọi là số đại số bậc n. Một số đại số bậc 1 là số hữu tỷ.

• Khái niệm số đại số có thể mở rộng cho các trường mở rộng; các phần tử trong một trường mở rộng mà thỏa mãn một phương trình đa thức được gọi là các phần tử đại số.

Trường số đại số

Tổng, hiệu, tích và thương của các số đại số đều thuộc về tập số đại số, vì vậy chúng tạo thành một trường. Trường này có thể được ký hiệu bằng $A$ hoặc $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Q}$. Mọi nghiệm của đa thức với hệ số là số đại số cũng thuộc vào số đại số. Vì vậy, trường các số đại số là trường đóng đại số, là trường đóng đại số nhỏ nhất bao chứa trường số hữu tỷ, và được gọi là bao đóng đại số của các số hữu tỷ.

Tất cả các kết quả được trình bày đều được chứng minh dựa trên cơ sở đại số của việc mở rộng trường.

Các số được xác định qua căn thức

Tất cả các số có thể được tính từ các số nguyên bằng một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, và căn bậc n (với n là số nguyên dương) đều là số đại số. Tuy nhiên, không phải tất cả các số đại số đều có thể được tính như vậy. Có những số đại số không thể giải được bằng cách đó, chẳng hạn như nghiệm của các phương trình đại số bậc ≥ 5. Đây là kết quả của lý thuyết Galois (xem phương trình bậc năm và định lý Abel-Ruffini). Một ví dụ là nghiệm thực duy nhất của phương trình x − x − 1 = 0.

Số đại số nguyên

Một số đại số được gọi là số đại số nguyên nếu nó thỏa mãn một phương trình đa thức bậc n với hệ số cao nhất a_n = 1 và tất cả các hệ số còn lại a_i thuộc tập số nguyên Z. Ví dụ, số $3\sqrt{2}+5$ và 6i - 2.

Tổng, hiệu, và tích của các số đại số nguyên cũng là số đại số nguyên, nghĩa là tập số đại số nguyên tạo thành một vành. Tên gọi số đại số nguyên xuất phát từ việc các số hữu tỷ là đại số nguyên và cũng là số nguyên, và vì các số đại số nguyên trong trường số đại số có nhiều tính chất tương tự như các số nguyên. Nếu K là một trường số, thì vành các số nguyên của nó là một phần của vành số đại số nguyên trong K, thường được ký hiệu là O_K.

• Số siêu phức
• Số siêu việt

Liên kết ngoài

• Algebraic number tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-004763-5, MR 1129886
• Hardy, G. H. và Wright, E. M. 1978, 2000 (với chỉ mục tổng hợp) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 84, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 0-387-97329-X, MR 1070716
• Niven, Ivan 1956. Irrational Numbers, Carus Mathematical Monograph no. 11, Mathematical Association of America.
• Ore, Øystein 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)