Biểu thức toán học

Trong toán học, một biểu thức hoặc biểu thức toán học là sự kết hợp của các ký hiệu theo những quy tắc cụ thể, tạo nên một cấu trúc có nghĩa trong ngữ cảnh. Các ký hiệu này có thể bao gồm số, biến, phép toán, hàm số, dấu ngoặc, dấu chấm, hoặc các ký hiệu để chỉ mức độ ưu tiên của phép toán và các yếu tố cú pháp khác.

Có sự phân biệt giữa biểu thức và công thức như sau: biểu thức là đối tượng toán học, trong khi công thức dùng để diễn đạt một mệnh đề về các đối tượng toán học. Ví dụ, $2x-<!--\; -\; -->1$ và $3x+1$ là các biểu thức, trong khi $2x-<!--\; -\; -->1\le <!--\; \le \; -->3x+1$ là công thức. Tuy nhiên, trong đại số máy tính hiện đại, công thức cũng được coi là biểu thức, với khả năng trả về đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của các biến trong biểu thức. Ví dụ, với $x$ là số thực, $2x-<!--\; -\; -->1\le <!--\; \le \; -->3x+1$ sẽ trả về sai nếu $x$ nhỏ hơn $-<!--\; -\; -->2$, và trả về đúng trong các trường hợp khác.

Ví dụ

Các biểu thức có thể đơn giản như:

$3x-<!--\; -\; -->1$ (đa thức bậc nhất)

$x^2-<!--\; -\; -->x-<!--\; -\; -->1$ (đa thức bậc hai)

$\frac{x^2+x}{{}^{}}$

x 3 − 1 {displaystyle {rac {x^{2}+x}{x^{3}-1}}} (hàm số phân thức)

cho đến mức độ phức tạp:

(chuỗi Ramanujan-Sato)

Cú pháp và ý nghĩa

Cú pháp

Một biểu thức phải tuân theo quy tắc cú pháp để được xem là hợp lệ. Điều này bao gồm việc các phép toán cần đúng số lượng đầu vào, các ký tự phải đúng chuẩn, và thứ tự các toán tử phải rõ ràng. Bất kỳ sự kết hợp ký hiệu nào không tuân theo cú pháp đều bị coi là không hợp lệ và không được công nhận là một biểu thức toán học chính xác. Ví dụ, trong ký hiệu số học thông thường, biểu thức $(a^2+b)\times <!--\; \times \; -->c$ là hợp lệ, trong khi biểu thức $)x+,y(z$ thì không hợp lệ.

Ý nghĩa học

Ý nghĩa học là lĩnh vực nghiên cứu về ý nghĩa của ngôn ngữ. Nó tập trung vào việc phân tích và hiểu ý nghĩa của từng biểu thức trong ngữ cảnh sử dụng của chúng.

Trong đại số, một biểu thức có thể biểu thị một giá trị tùy thuộc vào giá trị được gán cho các biến trong biểu thức đó. Việc xác định giá trị dựa vào ngữ nghĩa của từng ký hiệu trong biểu thức, và lựa chọn ngữ nghĩa phải phù hợp với ngữ cảnh cụ thể. Ví dụ, biểu thức $2+1\times <!--\; \times \; -->3$ có thể có những giá trị khác nhau ($5$ hoặc $9$) nếu quy tắc ưu tiên phép toán được xác định khác nhau trong ngữ cảnh.

Một số quy tắc ngữ nghĩa có thể cho phép biểu thức không cần chỉ định giá trị cụ thể (chẳng hạn như trường hợp chia cho 0). Những biểu thức này được coi là không có giá trị xác định (không được định nghĩa), nhưng vẫn tuân thủ cú pháp. Ngữ nghĩa của biểu thức không chỉ dừng lại ở giá trị, mà đôi khi nó còn có thể là một điều kiện logic, hoặc một phương trình đang chờ giải, hoặc thậm chí là một đối tượng toán học có thể được biến đổi theo các quy tắc đại số. Ví dụ, một số biểu thức có thể vừa biểu thị giá trị vừa ràng buộc một điều kiện nào đó, như biểu thức liên quan đến toán tử tổng trực tiếp $\oplus <!--\; \oplus \; -->$ trong đại số trừu tượng.

Ngôn ngữ hình thức và phép tính lambda

Ngôn ngữ hình thức giúp biểu đạt các khái niệm toán học một cách chính xác và có cấu trúc.

Vào năm 1930, trong quá trình Alonzo Church và Stephen Kleene phát triển lý thuyết hàm số, một loại biểu thức mới mang tên biểu thức lambda đã được giới thiệu. Biểu thức lambda trở thành nền tảng của phép tính lambda, một hệ thống hình thức quan trọng trong logic toán học và lý thuyết ngôn ngữ lập trình.

Xác định xem hai biểu thức lambda có tương đương hay không là một vấn đề chưa có lời giải. Tương tự, vấn đề này cũng xảy ra với biểu thức biểu thị số thực tạo ra từ số nguyên qua các phép toán số học, hàm logarit và hàm mũ, như được chứng minh bởi định lý Richardson.

Biến số

Trong toán học, nhiều biểu thức chứa các biến số. Những biến này có thể được phân loại thành hai loại: biến tự do và biến bị ràng buộc.

Với mỗi tập hợp giá trị của biến tự do, biểu thức có thể được tính toán để có giá trị cụ thể. Tuy nhiên, trong một số trường hợp giá trị của biến tự do, giá trị của biểu thức có thể không xác định. Do đó, một biểu thức có thể được coi là một hàm số, trong đó đầu vào là các giá trị của biến tự do và đầu ra là giá trị của biểu thức tương ứng.

Ví dụ, biểu thức $x/y$ có thể được tính toán với $x=10$, $y=5$ và cho giá trị là $2$, nhưng không xác định khi $y=0$.

Việc tính giá trị của biểu thức phụ thuộc vào cách định nghĩa các toán tử và hệ thống giá trị trong ngữ cảnh của biểu thức hiện tại.

Hai biểu thức được coi là tương đương khi cho bất kỳ tập hợp giá trị nào của biến tự do, cả hai đều trả về cùng một giá trị, tức là chúng mô tả cùng một hàm số. Ví dụ, biểu thức:$\underset{n=1}{\overset{x}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}^2$ chứa một biến tự do $x$, một biến bị ràng buộc $n$, các hằng số $1$, $2$, $3$ cùng với các phép toán như nhân, lũy thừa, và phép lấy tổng $\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}$. Biểu thức này thực sự tương đương với một dạng biểu thức đóng, được thể hiện qua phương trình:$\underset{n=1}{\overset{x}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$

• Biểu thức dạng đóng
• Công thức toán học
• Chương trình hàm
• Phương trình đại số

Tài liệu tham khảo

• Redden, John. Elementary Algebra Lưu trữ 2014-11-15 tại Wayback Machine. Flat World Knowledge, 2011.