Bình Klein

Trong toán học, bình Klein (hoặc chai Klein) là một ví dụ nổi bật của mặt không định hướng, nghĩa là một bề mặt (một đa tạp hai chiều) mà khái niệm về bên trong và bên ngoài không thể được xác định một cách nhất quán. Các khái niệm hình học không định hướng khác có thể kể đến như mặt Mobius hoặc mặt phản xạ thực. Dải Mobius là một bề mặt có biên, trong khi bình Klein không có biên.

Bình Klein lần đầu tiên được mô tả vào năm 1882 bởi nhà toán học người Đức Felix Klein. Nó ban đầu được gọi là Kleinsche Fläche ('bề mặt của Klein'), nhưng tên gọi này không hoàn toàn chính xác so với các giải thích của Kleinsche Fläche ('Bình Klein'). Cuối cùng, thuật ngữ bình Klein đã được chấp nhận trong tiếng Đức.

Cấu trúc

Bình Klein được hình thành từ một hình vuông, nếu gắn các cạnh có màu tương ứng với nhau, theo hình minh họa dưới đây.

Cụ thể, bình Klein là không gian hợp nhất được mô tả như hình vuông [0,1] × [0,1] với các cạnh bên được xác định bởi quan hệ (0, y) ~ (1, y) với 0 ≤ y ≤ 1 và (x, 0) ~ (1 − x, 1) với 0 ≤ x ≤ 1:

Hình vuông này là đa giác cơ bản của bình Klein. Chú ý rằng việc 'gắn' ở đây có nghĩa là trừu tượng để dễ hình dung trong không gian ba chiều, và kết quả là chúng ta có thể hình dung bình Klein tự giao. Tuy nhiên, bình Klein không thực sự giao nhau. Nhưng có thể hình dung bình Klein trong không gian bốn chiều.

Gắn các cạnh có mũi tên màu đỏ trên hình vuông với nhau để tạo thành một hình trụ. Sau đó, gắn hai cạnh còn lại, mỗi cái tạo thành một hình trụ. Chú ý rằng chúng ta sẽ tạo ra một hình tròn tự giao nhau. Đây là một phép nhúng của bình Klein trong không gian ba chiều.

Bằng cách thêm một chiều thứ tư vào không gian ba chiều, chúng ta có thể loại bỏ sự tự giao. Hãy tưởng tượng đẩy một phần của hình ống chứa phần giao dọc theo chiều thứ tư ra khỏi không gian ba chiều ban đầu. Tương tự, một đường cong tự giao trên mặt phẳng có thể được loại bỏ bằng cách nâng phần giao lên khỏi mặt phẳng.

Phép nhúng này rất hữu ích trong việc hình dung các đặc điểm của bình Klein. Ví dụ, bình Klein không có biên, bề mặt có các điểm dừng đột ngột, và không có định hướng, được phản ánh từ một phía của mặt nhúng.

Mô hình vật lý phổ biến của bình Klein là một cấu trúc đồng dạng. Bảo tàng Khoa học ở London trưng bày một bộ sưu tập bình Klein thổi thủ công bằng thủy tinh, với nhiều biến thể của chủ đề topo này. Các bình do Alan Bennett chế tác từ năm 1995 được thực hiện cho các bảo tàng.

Tính chất

Tương tự như dải Mobius, bình Klein là một đa tạp khả vi trong không gian hai chiều không định hướng. Tuy nhiên, bình Klein là một đa tạp đóng, một đa tạp compact không có biên. Trong khi dải Mobius có thể nhúng được vào không gian Euclid ba chiều trong R, bình Klein thì không. Nhưng bình Klein có thể được nhúng vào trong R

Chai Klein có thể được coi như một bó sợi quấn quanh vòng tròn S, với sợi S: chọn một hình vuông (theo quy tắc tương đương các cạnh) từ trên xuống là E là tổng của các không gian, với không gian cơ sở B trong khoảng đơn vị y, có modul 1~0. Phép chiếu π: E → B được định nghĩa như sau:

π([x, y])=[y]

Chai Klein được tạo ra (theo nghĩa toán học, vì nó không thể được xây dựng mà không có bề mặt tự giao) bằng cách nối các cạnh của hai dải Mobius lại với nhau, như mô tả trong bài thơ năm câu của nhà toán học Leo Moser:

Có một nhà toán học tên là Klein

Đã xem dải Mobius là thần thánh.

Ông nói: 'Nếu bạn dán

Hai cạnh lại với nhau,

Bạn sẽ có một chai kỳ lạ như của tôi.'

Cấu trúc ban đầu của chai Klein được xác định bằng cách nối các cạnh đối diện của hình vuông, điều này chứng tỏ chai Klein là một phức CW với 0-ngăn P, 2 ngăn đơn C₁, C₂ và 1 ngăn đôi D. Do đó, đặc trưng Euler của nó là 1-2+1 = 0. Biên đồng cấu được xác định bởi ∂D = 2C₁ và ∂C₁=∂C₁=0, do đó nhóm đồng cấu của chai Klein K là H₀(K,Z)=Z, H₁(K,Z)=Z×(Z/2Z) và H_n(K,Z) = 0 với n>1.

Có một phép ánh xạ bao phủ 2-1 từ hình xuyến đến chai Klein, vì hai bản sao đều nằm trong miền cơ bản của chai Klein, một cái được đặt theo cách phản xạ của cái kia, tạo ra một miền cơ bản cho hình xuyến. Phép bao phủ này của cả hình xuyến và chai Klein đều là mặt phẳng R.

Miền cơ bản của chai Klein có thể được xác định bằng nhóm các biến đổi bao phủ và được biểu diễn dưới dạng <a,b | ab = ba>.

Sáu màu là đủ để tô màu bất kỳ bản đồ nào trên bề mặt của chai Klein, đây là trường hợp ngoại lệ duy nhất cho giả thuyết Heawood, một dạng tổng quát của định lý bốn màu, nhưng cần đến bảy màu.

Chai Klein là đồng dạng với tổng kết nối của hai mặt phản xạ. Nó cũng đồng dạng với một quả cầu cộng với hai mặt chéo. Khi thực hiện phép nhúng trong không gian Euclide, chai Klein là một chiều. Tuy nhiên, còn có ba không gian topo khác, và trong một số ví dụ không định hướng, chai Klein có thể được nhúng vào không gian hai chiều, mặc dù bản chất không gian của nó vẫn không định hướng.

Chai Klein chia đôi

Khi xẻ một chai Klein dọc theo mặt phẳng đối xứng của nó, ta thu được hai hình ảnh phản chiếu của dải Mobius, một cái xoắn nửa vòng bên trái và một cái xoắn nửa vòng bên phải (hình bên phải là một trong hai hình).

Chú ý: phần giao của các hình ảnh không thực sự tồn tại tại đó.

Các đường cong đóng đơn giản

Các đường cong đơn giản và đóng trên bề mặt của chai Klein có thể được chỉ ra bằng cách sử dụng phép thấu xạ đầu tiên của nhóm chai Klein với hệ số nguyên. Nhóm này đẳng cấu với Z×Z2. Đảo ngược định hướng, các lớp thấu xạ chỉ chứa các đường cong đơn và đóng như sau: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). Định hướng của một đường cong đơn, đóng và đảo ngược, nếu nằm trong một trong hai mặt chéo tạo nên chai Klein, thì nó thuộc lớp thấu xạ (1,0) hoặc (1,1); nếu nó chia chai Klein thành hai dải Mobius, nó thuộc lớp thấu xạ (2,0); nếu nó chia chai Klein thành một hình vành khuyên, nó thuộc lớp thấu xạ (0,1); và nếu nó là một đĩa có biên, nó thuộc lớp thấu xạ (0,0).

Tham số hóa

Phép nhúng của chai Klein (bánh Klein) dạng 'số 8' có một cách tham số hóa đặc biệt đơn giản. Đây là hình xuyến 'số 8' được xoắn Mobius 180 độ và chèn vào như sau:

Với 0 ≤ θ < 2π và 0 ≤ v < 2π.

Trong phép nhúng này, vòng tròn tự giao là một vòng tròn hình học nằm trong mặt phẳng Oxy. Bán kính r của vòng tròn là một hằng số dương. Tham số θ xác định góc trong mặt phẳng xy và v xác định vị trí trên mặt cắt hình số tám. Với các tham số này, mặt cắt ngang trở thành đường cong Lissajous với tỷ lệ 2:1. Trong không gian bốn chiều, mặt phẳng này có thể được điều chỉnh để không giao nhau bằng cách thêm biến v 'tăng dần' trên trục thứ tư (trục w) tại giao điểm.

Ví dụ:

Việc tham số hóa cho phép nhúng 3 chiều của chai Klein phức tạp hơn rất nhiều. Dưới đây là cách tham số hóa theo Robert Israel:

Với 0 ≤ u < π và 0 ≤ v < 2π.

Hình thức tổng quát

Các dạng tổng quát phức tạp hơn của chai Klein được trình bày trong tài liệu về đa diện cơ bản. Một số quan điểm khác cho rằng cấu trúc đa tạp ba chiều mà chúng ta biết là chai Klein rắn tương đương với cấu trúc topology của sản phẩm Descartes Cartesian: $M\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{o}\times <!--\; \times \; -->I$ của dải Mobius nhân với một đoạn. Chai Klein rắn là phiên bản không định hướng của khối xuyến, tương đương với $D^2\times <!--\; \times \; -->S^1$.

Đặt nền tảng cho mặt phẳng Klein

Mặt phẳng Klein, tương tự như mặt Riemann, là một loại mặt có tập ánh xạ thỏa mãn các hàm chuyển đổi bằng số phức liên hợp. Một đối tượng thỏa mãn điều kiện này được gọi là cấu trúc phi giải tích (cấu trúc dianalytic) trong không gian.

• Topologia

Ghi chú thêm

• Weisstein, Eric W., 'Klein Bottle' từ MathWorld.
• Một tài liệu kinh điển về lý thuyết mặt phẳng Klein là [1] của Alling-Greenleaf

Các liên kết ngoài

• Imaging Maths - Mặt phẳng Klein Lưu trữ ngày 02-03-2011 tại Wayback Machine
• Mặt phẳng Klein lớn nhất trên toàn thế giới
• Hoạt hình Mặt phẳng Klein: sản xuất cho một hội thảo về topologia tại Đại học Leibniz Hannover. [2] Lưu trữ ngày 25-04-2012 tại Wayback Machine
• Hoạt hình Mặt phẳng Klein từ năm 2010 bao gồm chuyến đi xe qua mặt phẳng và mô tả gốc của Felix Klein: sản xuất tại Đại học Tự do Berlin.
• Trò chơi Torus Các trò chơi miễn phí có thể tải xuống cho Windows và Mac OS X nhấn mạnh các topologies của Torus và Mặt phẳng Klein.