Bộ ba số Pythagoras là gì?

Buzz

Ngày cập nhật gần nhất: 15/4/2026

Nội dung bài viết

Công thức tổng quát

Tính chất

Chú thích

Liên kết ngoài

Xem thêm

Định lý Pythagoras: a + b = c

Một bộ ba số Pythagoras (hay còn gọi là bộ ba số Pytago hoặc bộ ba số Pythagore) bao gồm ba số nguyên dương a, b và c sao cho a + b = c. Bộ ba nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này là (3, 4, 5). Nếu (a, b, c) là một bộ ba số Pythagoras, thì mọi bộ ba (ka, kb, kc) với k là số nguyên dương đều là Pythagoras. Một bộ ba số Pythagoras được gọi là bộ ba số Pythagoras nguyên tố khi a, b và c là các số nguyên tố cùng nhau.

Tên gọi của các bộ ba số này xuất phát từ Định lý Pythagoras. Những bộ ba số Pythagoras có thể dùng làm độ dài các cạnh của một tam giác vuông với cạnh huyền là c. Tuy nhiên, nếu độ dài các cạnh của tam giác vuông không phải là số nguyên, chúng không tạo thành bộ ba số Pythagoras. Ví dụ, tam giác có các cạnh a = b = 1 và c = √2 là tam giác vuông, nhưng (1, 1, √2) không phải là bộ ba số Pythagoras vì √2 không phải là số nguyên.

Không có bộ ba số Pythagoras nào với hai số chẵn.

Chỉ có một bộ ba số Pythagoras duy nhất với ba số liên tiếp là (3, 4, 5).

Có tổng cộng 159 bộ ba số Pythagoras nguyên thủy với c ≤ 1000.

c ≤ 100 (17 bộ ba):

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(6, 8, 10)	(8, 15, 17)	(9, 12, 15)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)		(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)		(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)		(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

101 ≤ c ≤ 200 (16 bộ ba):

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)

201 ≤ c ≤ 300 (15 bộ ba):

(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)	(60, 221, 229)
(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)	(23, 264, 265)	(96, 247, 265)
(69, 260, 269)	(115, 252, 277)	(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

301 ≤ c ≤ 400 (16 bộ ba):

(136, 273, 305)	(207, 224, 305)	(25, 312, 313)	(75, 308, 317)
(36, 323, 325)	(204, 253, 325)	(175, 288, 337)	(180, 299, 349)
(225, 272, 353)	(27, 364, 365)	(76, 357, 365)	(252, 275, 373)
(135, 352, 377)	(152, 345, 377)	(189, 340, 389)	(228, 325, 397)

401 ≤ c ≤ 500 (17 bộ ba):

(40, 399, 401)	(120, 391, 409)	(29, 420, 421)	(87, 416,425)
(297, 304, 425)	(145, 408, 433)	(84, 437, 445)	(203, 396, 445)
(280, 351, 449)	(168, 425, 457)	(261, 380, 461)	(31, 480, 481)
(319, 360, 481)	(44, 483, 485)	(93, 476, 485)	(132, 475, 493)
(155, 468, 493)

501 ≤ c ≤ 600 (15 bộ ba):

(217, 456, 505)	(336, 377, 505)	(220, 459, 509)	(279, 440, 521)	(92, 525, 533)
(308, 435, 533)	(341, 420, 541)	(33, 544, 545)	(184, 513, 545)	(165, 532, 557)
(276, 493, 565)	(396, 403, 565)	(231, 520, 569)	(48, 575, 577)	(368, 545, 593)

601 ≤ c ≤ 700 (17 bộ ba):

(240, 551, 601)	(35, 612, 613)	(105, 608, 617)	(336, 527, 625)
(100, 621, 629)	(429, 460, 629)	(200, 609, 641)	(315, 572, 653)
(300, 589, 661)	(385, 552, 673)	(52, 675, 677)	(37, 684, 685)
(156, 667, 685)	(111, 680, 689)	(400, 561, 689)	(185, 672, 697)
(455, 528, 697)

701 ≤ c ≤ 800 (16 bộ ba):

(260, 651, 701)	(259, 660, 709)	(333, 644, 725)	(364, 627, 725)
(108, 725, 733)	(216, 713, 745)	(407, 624, 745)	(468, 595, 757)
(39, 760, 761)	(481, 600, 769)	(195, 748, 773)	(56, 783, 785)
(273, 736, 785)	(168, 775, 793)	(432, 665, 793)	(555, 572, 797)

801 ≤ c ≤ 900 (12 bộ ba):

(280, 759, 809)	(429, 700, 821)	(540, 629, 829)	(41, 840, 841)
(116, 837, 845)	(123, 836, 845)	(205, 828, 853)	(232, 825, 857)
(287, 816, 865)	(504, 703, 865)	(348, 805, 877)	(369, 800, 881)

901 ≤ c ≤ 1000 (18 bộ ba):

(60, 899, 901)	(451, 780, 901)	(464, 777, 905)	(616, 663, 905)	(43, 924, 925)	(533, 756, 925)
(129, 920, 929)	(215, 912, 937)	(580, 741, 941)	(301, 900, 949)	(420, 851, 949)	(615, 728, 953)
(124, 957, 965)	(387, 884, 965)	(248, 945, 977)	(473, 864, 985)	(696, 697, 985)	(372, 925, 997)

Công thức tổng quát

Công thức tổng quát cho tất cả các bộ ba số Pythagoras (không đơn trị) như sau:

a = k (m^{2} - n^{2})

b = k 2 m n

c = k (m^{2} + n^{2})

Trong công thức này, m và n là hai số nguyên tố cùng nhau, trong đó một số là chẵn và một số là lẻ, với m lớn hơn n, và k là số nguyên dương bất kỳ. Các số a và b có thể đổi chỗ cho nhau. Đặc biệt, khi k = 1, ta thu được công thức cổ điển do Euclid (khoảng 300 TCN) đưa ra trong tác phẩm Elements của ông, thường được gọi là công thức Euclid:

a = m^{2} - n^{2}

b = 2 m n

c = m^{2} + n^{2}

Các bộ ba số sinh ra từ công thức Euclid chỉ là nguyên tố khi m và n là các số nguyên tố cùng nhau và chỉ có một trong số đó là chẵn. Nếu cả hai đều là chẵn (hoặc đều lẻ), thì a, b và c đều là chẵn, và bộ ba số đó không phải là nguyên tố cùng nhau. Mọi bộ ba nguyên tố (với a và b có thể hoán đổi) xuất phát từ một cặp duy nhất các số nguyên tố cùng nhau m và n, trong đó một số là lẻ.

Tính chất

Trong một bộ ba số Pythagoras nguyên thủy, ký hiệu:

Hai cạnh góc vuông trong một bộ ba Pythagoras là:

m^{2} - n^{2}

và

2 m n

là hai cạnh góc vuông a và b, trong đó

2 m n

là cạnh góc vuông chẵn.

c = m^{2} + n^{2}

là cạnh huyền.

Các mối quan hệ khác giữa ba số trong bộ ba Pythagoras,

a + b = c + 2 \sqrt{\frac{(c - a) (c - b)}{2}}

(c − a)(c − b)/2 phải là số chính phương. Đây là điều kiện hữu ích để kiểm tra xem một bộ ba có phải là bộ ba Pythagoras hay không, nhưng chỉ là điều kiện cần, không đủ. Ví dụ, bộ ba {6, 12, 8} thỏa mãn (c − a)(c − b)/2 là số chính phương nhưng không phải là bộ ba Pythagoras. Điều kiện đầy đủ (nếu a là cạnh góc vuông chẵn) là '(c − a) và (c − b)/2 đồng thời là số chính phương', đây là điều kiện cần và đủ để (a,b,c) tạo thành bộ ba Pythagoras, mặc dù bộ ba này có thể không nguyên thủy.
Nếu hai số bất kỳ trong bộ ba Pythagoras nguyên tố cùng nhau thì đó là bộ ba Pythagoras nguyên thủy.
Trong ba số a, b, c, có tối đa một số chính phương.
Có vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy có cạnh huyền là số chính phương.
Có vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy với một cạnh góc vuông là số chính phương.
Tổng và hiệu của cạnh huyền với cạnh góc vuông chẵn là hai số chính phương lẻ; trong hai số tổng và hiệu của cạnh huyền với cạnh góc vuông lẻ, một số là tích của 2 với một số chính phương chẵn và một số là tích của 2 với một số chính phương lẻ:

(m^{2} + n^{2}) + (2 m n) = (m + n)^{2}

(m^{2} + n^{2}) - (2 m n) = (m - n)^{2}

(m^{2} + n^{2}) + (m^{2} - n^{2}) = 2 m^{2}

(m^{2} + n^{2}) - (m^{2} - n^{2}) = 2 n^{2}

Chu vi (P = a+b+c) là một số chẵn (Vì trong ba số a, b, c có hai số lẻ và một số chẵn)
Diện tích (S = ab/2) là số đồng dư và chia hết cho 6 (Vì trong hai số a, b có một số lẻ và một số chẵn; có một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4)
Trong hai số a, b có một số lẻ và một số chẵn; c là số lẻ.

Chứng minh

Vì a, b, c là ba số nguyên tố cùng nhau từng đôi một, nên không thể tất cả đều là số chẵn.

Giả sử a và b là số lẻ, c là số chẵn

Khi đó:

a^{2}

và

b^{2}

chia 4 dư 1

Suy ra:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

chia 4 dư 2, điều này vô lý vì c là số chẵn nên

c^{2}

phải chia hết cho 4.

Do đó trong hai số a và b có một số lẻ và một số chẵn; c là số lẻ.

Trong hai số a, b có chính xác một số chia hết cho 3.

Chứng minh

Mọi số chính phương đều chia hết cho 9 hoặc chia 3 dư 1.

Giả sử không có số nào trong a và b chia hết cho 3.

Khi đó:

a^{2}

và

b^{2}

đều chia 3 dư 1

Suy ra: chia 3 dư 2, điều này vô lý vì là số chính phương.

Vì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, nên trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 3.

Trong hai số a, b có chính xác một số chia hết cho 4; và không có số nào có dạng 4k + 2.

Chứng minh

Vì c là số lẻ nên không chia hết cho 4.

Tất cả các số chính phương chẵn đều chia hết cho 4, trong khi các số chính phương lẻ chia 8 dư 1.

Nếu a và b có một số chẵn, thì số chính phương của số đó chia 8 dư 4.

Kết luận: không thể chia 8 dư 5, vì là số chính phương lẻ.

Vậy nên trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 4.

Trong ba số a, b, c có đúng một số chia hết cho 5.

Chứng minh

Tất cả các số chính phương đều chia hết cho 25 hoặc chia 5 dư 1 hoặc 4.

Giả sử rằng không có số nào trong a, b, c chia hết cho 5 ()

Trường hợp 1:

a^{2}

và

b^{2}

đều chia 5 dư 1

Khi đó:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

sẽ chia 5 dư 2, điều này là không hợp lý vì

c^{2}

là số chính phương.

Trường hợp 2:

a^{2}

và

b^{2}

đều chia 5 dư 4

Khi đó:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

chia 5 dư 3, không hợp lý vì

c^{2}

là số chính phương.

Trường hợp 3: Trong hai số

a^{2}

và

b^{2}

có một số chia 5 dư 1 và một số chia 5 dư 4.

Khi đó:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

sẽ chia hết cho 5, điều này mâu thuẫn với ()

Vì a, b, c là ba số nguyên tố cùng nhau từng đôi một, nên trong ba số a, b, c có đúng một số chia hết cho 5.

Trong bốn số a, b, (a + b), (b − a) có đúng một số chia hết cho 7.
Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có đúng một số chia hết cho 8.

Chứng minh

Trong hai số a, b, có đúng một số chia hết cho 4.

Giả sử a chia hết cho 4

Khi đó,

a^{2}

chia hết cho 16

Vì vậy:

c^{2} - b^{2}

chia hết cho 16

Ngoài ra,

(c + b) (c - b)

cũng chia hết cho 16

Do a chia hết cho 4 nên b là số lẻ, còn c chia 4 dư 1, do đó (c + b) và (c – b) là số chẵn, còn (c + b) và (c – b) là số lẻ.

Trường hợp 1: Nếu cả (c + b) và (c – b) đều chia hết cho 4

Trường hợp 2: Trong hai số (c + b), (c – b) có một số chia hết cho 8 và số còn lại chia 4 dư 2

Trường hợp 1 không hợp lý vì b và c đều là số lẻ và b, c đều chia hết cho 4 hoặc dư 2

Do đó, chỉ có trường hợp 2 xảy ra.

Ngược lại, nếu b chia hết cho 4 thì (c + b), (c – b) là số lẻ, trong khi một trong hai số (c + a), (c – a) chia hết cho 8.

Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b), có đúng một số chia hết cho 9.

Chứng minh

Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 3.

Giả sử a chia hết cho 3. ()

Vì c không chia hết cho 3 nên (c + a) và (c – a) không chia hết cho 3.

Từ () suy ra:

a^{2}

chia hết cho 9.

Suy ra:

c^{2} - b^{2}

chia hết cho 9.

Suy ra:

(c + b) (c - b)

chia hết cho 9.

Trường hợp 1: Cả (c + b) và (c – b) đều chia hết cho 3.

Trường hợp 2: Trong 2 số (c + b), (c – b) chỉ có một số chia hết cho 9.

Từ trường hợp 1 suy ra: c và b cùng chia hết cho 3, điều này vô lý vì c và b là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy nên chỉ có trường hợp 2 xảy ra.

Tương tự, nếu b chia hết cho 3 thì (c + b), (c – b) không chia hết cho 3, một trong hai số (c + a), (c – a) chia hết cho 9.

Trong sáu số a, b, (2a + b), (2a − b), (2b + a), (2b − a), có đúng một số chia hết cho 11.
Trong bảy số a, b, c, (3a + b), (3a − b), (3b + a), (3b − a), có đúng một số chia hết cho 13.
Tất cả các ước của c đều có dạng 4k + 1.

Chứng minh

Giả sử có một ước nguyên tố p dạng 4k+3, thì:

m^{2}

đồng dư với

- n^{2}

mod p.

Suy ra

m^{2 (2 k + 1)}

đồng dư với

- n^{2 (2 k + 1)}

mod p.

Suy ra

m^{p - 1}

đồng dư với

- n^{p - 1}

mod p.

Vì m và n là nguyên tố cùng nhau, do đó chúng không chia hết cho p. Theo định lý Fermat nhỏ, đồng dư với 1 mod p, và đồng dư với -1 mod p. Do đó, 1+1 chia hết cho p, điều này vô lý vì p có dạng 4k+3. Do đó, p phải có dạng 4k+1. Suy ra tất cả các ước của c đều có dạng 4k+1.

Tất cả các số tự nhiên lớn hơn 2 và không có dạng 4k + 2 đều thuộc ít nhất một bộ ba Pythagoras nguyên thủy.
Mọi số tự nhiên lớn hơn 2 đều có thể thuộc vào một bộ ba Pythagoras nào đó, dù bộ ba đó có phải là nguyên thủy hay không. Ví dụ, các số 6, 10, 14, và 18 không thuộc vào bộ ba Pythagoras nguyên thủy nào, nhưng lại thuộc vào các bộ ba Pythagoras không nguyên thủy như 6, 8, 10; 14, 48, 50; và 18, 80, 82.
Có vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn (cạnh góc vuông lớn là cạnh có độ dài lớn hơn trong hai cạnh góc vuông) bằng 1. Tổng quát: Với bất kỳ số nguyên lẻ j, tồn tại vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông chẵn bằng j.
Có vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn bằng 2. Tổng quát: Với bất kỳ số nguyên dương k, tồn tại vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lẻ bằng 2k.
Nếu j và k là các số nguyên dương lẻ, thì luôn tồn tại đúng một bộ ba Pythagoras nguyên thủy sao cho
Không tồn tại bộ ba Pythagoras nguyên thủy nào mà hiệu giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông là một số nguyên tố lẻ.
Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pythagoras nguyên thủy có cùng diện tích, nhưng độ dài ba cạnh thì khác nhau. Ví dụ: (20, 21, 29) và (12, 35, 37).
Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pythagoras nguyên thủy có cùng chu vi, nhưng độ dài ba cạnh thì khác nhau. Ví dụ: (364, 627, 725) và (195, 748, 773).
Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pythagoras nguyên thủy có cùng cạnh góc vuông a, với a là một số tự nhiên nào đó.
Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pythagoras nguyên thủy có cùng cạnh huyền.
Trong mỗi bộ ba Pythagoras, bán kính đường tròn nội tiếp và '3 bán kính của ba đường tròn bàng tiếp' là số tự nhiên. Bán kính của đường tròn nội tiếp bằng .
Không có bộ ba Pythagoras nguyên thủy nào mà cạnh huyền và một cạnh góc vuông lại là các cạnh của bộ ba Pythagoras nguyên thủy khác.

Định lý lớn Fermat

Chú thích

Alperin, Roger C. (2005), “The modular tree of Pythagoras” (PDF), American Mathematical Monthly, 112 (9): 807–816, CiteSeerX 10.1.1.112.3085, doi:10.2307/30037602, JSTOR 30037602, MR 2179860, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 16 tháng 11 năm 2022, truy cập ngày 24 tháng 3 năm 2024
Berggren, B. (1934), “Pytagoreiska trianglar”, Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (bằng tiếng Thụy Điển), 17: 129–139
Barning, F.J.M. (1963), “Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices” (PDF), Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. (bằng tiếng Hà Lan), ZW-011: 37
Eckert, Ernest (1992), “Primitive Pythagorean triples”, The College Mathematics Journal, 23 (5): 413–417, doi:10.2307/2686417, JSTOR 2686417
Elkies, Noam, Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90 (PDF)
Heath, Thomas (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements Vol. 1 (Books I and II) (ấn bản 2), Dover Publications, ISBN 978-0-486-60088-8
Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (ấn bản 2), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77171950
Martin, Artemas (1875), “Rational right angled triangles nearly isosceles”, The Analyst, 3 (2): 47–50, doi:10.2307/2635906, JSTOR 2635906
McCullough, Darryl (2005), “Height and excess of Pythagorean triples” (PDF), Mathematics Magazine, 78 (1): 26–44, doi:10.1080/0025570X.2005.11953298, S2CID 1701449
Romik, Dan (2008), “The dynamics of Pythagorean triples” (PDF), Trans. Amer. Math. Soc., 360 (11): 6045–6064, arXiv:math.DS/0406512, doi:10.1090/S0002-9947-08-04467-X, MR 2425702
Teigen, M.G.; Hadwin, D.W. (1971), “On Generating Pythagorean Triples”, The American Mathematical Monthly, 78 (4): 378–379, doi:10.2307/2316903, JSTOR 2316903
Trautman, Andrzej (1998), “Pythagorean spinors and Penrose twistors”, trong S.A. Hugget; L.J. Mason; K.P. Tod; S.T. Tsou; N.M.J. Woodhouse (biên tập), Geometric universe (Postscript)

Liên kết ngoài

http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html cung cấp một thảo luận chi tiết về các bộ ba Pythagoras.
Pythagorean Triples tại cut-the-knot: Ứng dụng tương tác cho thấy mối quan hệ với các bộ ba Pythagoras qua vòng tròn đơn vị.
Các cây Trinary dưới đây các bộ ba Pythagoras nguyên thủy tại cut-the-knot.
http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pythagoreantriples.html Lưu trữ ngày 23 tháng 12 năm 2008 tại Wayback Machine: Các thuộc tính lý thuyết của bộ ba Pythagoras và mối liên hệ với hình học.
Các đại số Clifford và phương pháp phân loại bộ ba Pythagoras của Euclid Lưu trữ ngày 13 tháng 6 năm 2010 tại Wayback Machine.
Bộ ba Pythagorean Triplets.
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Pythag/pythag.html Lưu trữ ngày 29 tháng 11 năm 2005 tại Wayback Machine: Thảo luận về thuộc tính của các bộ ba Pythagoras, máy tính tương tác, đố vui và bài toán.
http://people.wcsu.edu/sandifere/Academics/2007Spring/Mat342/PythagTrip02.pdf Lưu trữ ngày 24 tháng 1 năm 2009 tại Wayback Machine: Tạo các bộ ba Pythagoras bằng cách sử dụng tiến trình số học.
Phương pháp phân loại các bộ ba Pythagoras qua một bộ ba đa thức duy nhất.
Những hệ quả thú vị của một phương trình bậc hai sao chép Lưu trữ ngày 17 tháng 9 năm 2006 tại Wayback Machine.
Giải pháp cho các cặp tương thích bậc hai liên quan đến bộ ba Pythagoras.
Phương trình Pell âm và bộ ba Pythagoras.
Đường tròn nội tiếp đáng chú ý của một tam giác.

Tiêu đề chuẩn	GND: 4587982-5

Theovi.wikipedia.org

Copy link

Nội dung từ Mytour nhằm chăm sóc khách hàng và khuyến khích du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không áp dụng cho mục đích khác.

Nếu bài viết sai sót hoặc không phù hợp, vui lòng liên hệ qua Zalo: 0978812412 hoặc Email: [email protected]