Bộ bài tập toán nâng cao lớp 8 với đáp án chi tiết

1. Các loại bài tập toán nâng cao cho lớp 8

Dạng 1: Nhân các đa thức

Ví dụ: Tính giá trị của B = x^15 - 8x^14 + 8x^3 - 8x^2 +..... - 8x² + 8x - 5 khi x = 7

Dạng 2: Những hằng đẳng thức quan trọng

Các hệ quả từ các hằng đẳng thức bậc hai

(a + b)² = (a - b)² + 4ab

(a - b)² = (a + b)² - 4ab

a² + b² = (a + b)² - 2ab

a² + b² + c² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

a² + b² - c² = a² + b² + c² + 2ab - 2ac - 2bc

a² - b² - c² = a² + b² + c² - 2ab - 2ac - 2bc

Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ về phân tích đa thức thành nhân tử: x² - x - 6x⁴ + 4x² - 5x³ - 19x - 30

Dạng 4: Chia đa thức

Tìm giá trị của a để đa thức x³ - 3x + a chia hết cho (x - 1)²

2. Đề bài tập toán nâng cao lớp 8 - Đề 1

Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a. 6x² - 3xy

b. x² - y² - 6x + 9

c. x² + 5x - 6

Câu 2 yêu cầu thực hiện phép tính

a. x + 2² - x - 3(x + 1)

b. x³ - 2x² + 5x - 10 chia cho (x - 2)

Câu 3 Xét biểu thức A = (x - 5) / (x - 4) và B = (x + 5) / 2x - (x - 6) / (5 - x) - (2x² - 2x - 50) / (2x² - 10x), với điều kiện x ≠ 0, x ≠ 4, x ≠ 5

a. Tính giá trị của A khi x² - 3x = 0

b. Rút gọn biểu thức B

c. Tìm giá trị nguyên của x sao cho A : B là số nguyên

Câu 4: Xét tam giác ABC cân tại A với đường cao AD. O là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng của D qua cạnh OA.

a. Chứng minh rằng tứ giác ADCE là hình chữ nhật

b. Xét I là trung điểm của AD, hãy chứng minh I cũng là trung điểm của BE

c. Biết AB = 10 cm và BC = 12 cm, tính diện tích của tam giác OAB

d. Đường thẳng Oy cắt AB tại K. Xác định điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK trở thành hình thang cân

Đáp án:

Bài 1:

Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng 0, thì đa thức có nghiệm x = 1. Do đó, đa thức có thể phân tích thành (x - 1) nhân với một đa thức khác.

Khi tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ, thì đa thức có nghiệm x = -1.

Ví dụ, với đa thức -x² + 5x + 6, tổng các hệ số bằng -1 + 6 = 5, bằng tổng hệ số bậc lẻ. Do đó, đa thức có nghiệm x = -1 và có thể phân tích thành (x + 1) nhân với một đa thức khác.

a. 6x² - 3xy = 3x (2x - y)

b. x² - y² - 6x + 9 = x² - 6x + 9 - y² = (x - 3)² - y²

c. x² + 5x - 6 = x² - x + 6x - 6 = (x - 1)(x + 6)

Bài 2

A = (x + 2)² - x - 3(x + 1) = x² + 4x + 4 - x² - 3x - 3 = x + 1 = 6x + 7

B = x³ - 2x² + 5x - 10 = x²(x - 2) + 5(x - 2) = (x - 2)(x² + 5)

Vậy x³ - 2x² + 5x - 10 chia cho (x - 2) = x² + 5

Bài 3: Xét biểu thức A = (x - 5) / (x - 4) và B = (x + 5) / 2x - (x - 6) / (5 - x) - (2x² - 2x - 50) / (2x² - 10x)

Ta có x² - 3x = 0, từ đó x(x - 3) = 0

x = 0 hoặc x = 3

Khi x = 0, ta tính được A = 5/4

Khi x = 3, ta có A = 2

Để p là số nguyên, thì 8 / (x - 4) cũng phải là số nguyên, nghĩa là (x - 4) phải chia hết cho 28

Vậy (x - 4) phải là ước của 8, tức là các giá trị -8, -4, -1, 1, 4, 8

Nếu x - 4 = 8, thì x = 12

Nếu x - 4 = 4, thì x = 8

Khi x - 4 = -1, thì x = 3, điều này thỏa mãn điều kiện

Khi x - 4 = 1, thì x = 5, không thỏa mãn điều kiện

Khi x - 4 = 4, và 2x = 8, thì x = 4, điều này thỏa mãn điều kiện

Khi x - 4 = 8, thì x = 12, điều này thỏa mãn điều kiện

Bài 4: Ta có OA bằng OC

DO = OE vì điểm D đối xứng với điểm E qua điểm O

Góc ADC bằng 90 độ

Vì vậy, ADCE là hình chữ nhật. Nếu ADCE là hình chữ nhật, thì AE song song với BC, AE = BC và DC = BD

Do tam giác ABC là tam giác cân, suy ra AE = BD

ABDE là hình bình hành, và I là trung điểm của AB, do đó I cũng là trung điểm của DE

Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta tính được AD = √(AB^2 - (BC/2)^2) = √(10^2 - 6^2) = 8 cm

Diện tích của tam giác OAB bằng 1/2 diện tích tam giác ABC, tức là 1/2 x 1/2 AD x DC = 1/4 x 8 x 6 = 12 cm²

Trong tứ giác ABDE, vì là hình bình hành nên AKDE là hình thang

Để AKDE trở thành hình thang cân, ta có KD = AE và KD = 1/2 AC, do đó AE = 1/2 BC

Vì vậy, ta có AC = BC

Vì vậy, tam giác ABC là một tam giác đều

3. Một số bài toán nâng cao lớp 8: Đề số 2

A = 2018² + 2016² + 2014² + 4² + 2² - 2017² + 2015² + 2013² + 3² + 1

A = 2018² - 2017² + 2016² - 2015² + 2014² - 2013² + 2² - 1²

A = 2018 + 2017 + 2016 + 2015 + 2014 + 2013 + 2 + 1 = 2018² + 1² = 2037 171

Bài 2: Chứng minh rằng C = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1 là một số chính phương

Ta có C = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1

C = n^4 + 2n^2 × 3n + 1 + 9n^2 + 6n + 1

C = n^4 + 2n^2 × (3n + 1) + (3n + 1)^2

C = n^2 + (3n + 1)^2

Vì n là số tự nhiên, do đó C sẽ là một số chính phương

Bài 3: Chứng minh rằng F(x) = 19x^5/5 + 8x^3/3 + 27x^2/2 - 29x/30 là số nguyên khi x là số nguyên

F(x) = 19x^5/5 + 8x^3/3 + 27x^2/2 - 29x/30 = 114x^5 + 8x^3 + 405x^2 - 29x/30

F(x) sẽ là số nguyên khi và chỉ khi 114x^5 + 80x^3 + 405x^2 - 29x là một số nguyên

Ta có 114x^5 + 8x^3 + 405x^2 - 29x = 120x^5 + 90x^3 + 390x^2 - 30x - 6x^5 + 10x^3 - 15x^2 - x

Do đó, cần chứng minh rằng 6x^5 + 10x^3 - 15x^2 - x chia hết cho 30

Ta có 6x^5 + 10x^3 - 15x^2 - x = 6x(x^5 - x) + 10x(x^3 - 1) - 15x(x - 1)

Vì x^5 - x chia hết cho 30

x^3 - x cũng chia hết cho 30

Và x(x - 1) chia hết cho 30 với mọi số nguyên x

Do đó, 6x^5 + 10x^3 - 15x^2 - x = 6x^5 - x + 10x^3 - x - 15x(x - 1) : 30

Vậy, giá trị nguyên của x là một số nguyên.

Câu 4: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác AM, BN, CP đồng quy tại điểm I. Chứng minh rằng MB/MC x NC/NA x BA x TB = IM/AM + IN/BN + IB/CB

Đáp án: Dựa vào tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có MB/MC = AB/AC

NC/NA = BC/BA

BP = CA/CB

Kết quả là MB/MC x NC/NA x BA x PB