Buzz
1. Đề thi tham khảo số 1.
Câu 1: (1 điểm) Viết số lớn nhất có thể bằng cách sử dụng các chữ số 1, 2, 3 mỗi chữ số chỉ dùng một lần.
Câu 2: (2 điểm) Tìm giá trị của x (x thuộc tập hợp số nguyên dương)
a) 5x = 125
b) 3^2x = 81
c) 5^(2x-3) - 2.5^2 = 5^2 . 3
Câu 3: (3 điểm) Tính tổng M = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2017 + 2^2018
a) Tính giá trị của M.
b) Chứng minh rằng M chia hết cho 3.
Câu 4: (2 điểm) Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số, với chữ số cuối cùng là 4. Khi di chuyển chữ số 4 từ cuối lên đầu, các chữ số khác giữ nguyên, số mới tạo thành gấp 4 lần số ban đầu.
Câu 5: (2 điểm) Tìm đáp án cho các câu hỏi sau
a) Có 40 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ đường thẳng qua mỗi cặp điểm. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng được vẽ ra?
b) Có 40 điểm, trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng và không có ba điểm nào thẳng hàng còn lại. Vẽ đường thẳng qua mỗi cặp điểm. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng được vẽ ra?
c) Cho n điểm (với n thuộc tập số tự nhiên). Trong đó, không có ba điểm nào thẳng hàng và mỗi cặp điểm tạo thành một đường thẳng. Biết tổng số đường thẳng là 105. Tìm giá trị của n?
Đáp án cho đề số 1:
Câu 1: Nếu không sử dụng lũy thừa, số lớn nhất có thể tạo ra là 321.
Khi sử dụng lũy thừa, lũy thừa với cơ số và số mũ là 1 sẽ bị loại bỏ.
- Xem xét các lũy thừa với số mũ có hai chữ số: 2^13, 2^31, 3^12, 3^21
So sánh 21^3 với 31^2, ta thấy 21^3 > 31^2 (vì 21^3 = 9261 và 31^2 = 961)
- Xem xét các lũy thừa với số mũ có hai chữ số: 2^13, 2^31, 3^12, 3^21
So sánh 3^21 với 2^31, ta có:
3^21 = 3 × 3^20 = 3 × (3^2)^10 = 3 × 9^10
2^31 = 2 × 2^30 = 2 × (2^3)^10 = 2 × 8^10
Do đó, ta có 3^21 > 2^31. So sánh 3^21 với 2^13, ta thấy 3^21 > 3^9 = (3^3)^3 = 27^3 > 21^3
Vậy số lớn nhất là: 3^21
Câu 2:
a) 5^x = 125
5^x = 5^3 ⇒ x = 3
b) 3^2x = 81
3^2x = 3^4
⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
c) 5^(2x-3) - 2.5^2 = 5^2 × 3
5^(2x-3) = 5^2 × 3 + 2.5^2
5^(2x-3) = 5^3
2x - 3 = 3
⇒ x = 3
Câu 3:
a) Ta có 2M = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2018 + 2^2019
Từ 2M - M = 2^2019 - 2, ta có
Do đó, M = 2^2019 - 2
b) M = (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + (2^5 + 2^6) + ... + (2^1207 + 2^2018)
M = (2 + 2^2) + (2^3 + 2^4) + (2^5 + 2^6) + ... + 2^2017 × (1 + 2)
M = 3 × (2 + 2^3 + 2^5 + ... + 2^2017)
Vậy M chia hết cho 3.
Câu 4:
Gọi số cần tìm là abcde4, ta có abcde4.4 = 4abcde. Đặt abcde = x ⇒ abcde4 = x4
Ta có: x4.4 = 400.000 + x
(10x + 4) . 4 = 400.000 + x
40x + 16 = 400.000 + x
39x = 399984
x = 10256
Vậy số cần tìm là 10256.
Câu 5:
a) Kẻ từ một điểm bất kỳ với các điểm còn lại tạo ra 39 đường thẳng. Áp dụng cho 40 điểm ta có 39.40 = 1560 (đường thẳng).
Tuy nhiên, mỗi đường thẳng được tính hai lần. Do đó, số đường thẳng thực tế là 1560 : 2 = 780 (đường thẳng).
b) Nếu không có ba điểm nào thẳng hàng trong 40 điểm thì có thể vẽ được 780 đường thẳng. Với 10 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng thì có thể vẽ 10.9 : 2 = 45 (đường thẳng). Số đường thẳng cần tìm là 780 - 44 = 736 (đường thẳng).
c) Ta có:
n.(n - 1) : 2 = 105
n(n -1) = 210
n(n - 1) = 15.14
Do đó, n = 15
2. Đề tham khảo tuyển tập số 2
Câu 1: Một hiệu sách có năm hộp đựng bút bi và bút chì, mỗi hộp chỉ chứa một loại bút. Hộp 1 có 78 chiếc; hộp 2 có 80 chiếc, hộp 3 có 82 chiếc, hộp 4 có 114 chiếc và hộp còn lại có 128 chiếc. Sau khi bán một hộp bút chì, số bút bi còn lại gấp bốn lần số bút chì còn lại. Xác định hộp nào ban đầu chứa bút bi và hộp nào chứa bút chì.
Giải:
Tổng số bút bi và bút chì ban đầu là: 78 + 80 + 82 + 114 + 128 = 482 chiếc.
Vì số bút bi còn lại gấp bốn lần số bút chì còn lại, nên tổng số bút bi và bút chì còn lại phải chia hết cho 5. Do 482 chia cho 5 dư 2, nên số lượng bút chì bán đi cũng phải chia cho 5 dư 2.
Trong các số 78, 80, 82, 114, 128, chỉ có 82 chia cho 5 dư 2. Do đó, hộp bút chì bán đi là hộp 3 (82 chiếc).
Số bút bi và bút chì còn lại là 482 - 82 = 400 chiếc.
Số bút chì còn lại là 400 : 5 = 80 chiếc
Vậy, các hộp đựng bút chì là hộp 2 và hộp 3, còn các hộp đựng bút bi là hộp 1, hộp 4 và hộp 5.
Câu 2: Trên tia Ox có 4 điểm A, B, C và D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D; với OA = 7 cm; OD = 3 cm; BC = 8 cm và AC = 3BD.
a) Tính độ dài của đoạn AC;
b) Chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn AD.
Giải:
a) Gọi BD = x (cm), ta có AC = 3x (cm).
Vì D nằm giữa O và A (do OD < OA) nên OD + DA = OA, từ đó DA = 4 cm. Do đó, BD + BA = 4, hay x + BA = 4 (1).
A nằm giữa B và C, vì vậy BA + AC = BC, tức là 3x + BA = 8 (2).
Từ (1) và (2), ta có (3x + BA) - (x + BA) = 8 - 4, suy ra 2x = 4, từ đó x = 2 và AC = 3 x 2 = 6 (cm).
b) Theo phương trình x + BA = 4 và x = 2, ta có BA = 2
Vì BD = x = 2 nên BD = BA = 2, vậy B là trung điểm của đoạn AD.
Câu 3: Tìm số tự nhiên có ba chữ số sao cho khi chia số đó cho 25, 28 và 35, ta lần lượt thu được các số dư 5, 8 và 15.
Giải:
Gọi số tự nhiên cần tìm là x. Theo giả thiết, (x + 20) phải chia hết cho 25, 28 và 35.
⇒ x + 20 thuộc vào bội chung của (25, 28, 35)
Bội chung nhỏ nhất của (25, 28, 35) là 700, do đó x + 20 = 700k với k thuộc tập số tự nhiên.
Vì x là số tự nhiên có ba chữ số nên x ≤ 999, suy ra x + 20 ≤ 1019 và k = 1.
⇒ x + 20 = 700, từ đó x = 680.
Câu 4: Chứng minh rằng tích n(n + 1)(2n + 1)(3n + 1)(4n + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.
Giải thích:
Với bất kỳ số tự nhiên n nào, ta có các tình huống sau:
- Trường hợp 1: Nếu n chia hết cho 5 thì tích cũng chia hết cho 5
- Trường hợp 2: Nếu n chia cho 5 dư 1 thì n có dạng 5k + 1
⇒ 4n + 1 = 20k + 5, chia hết cho 5 ⇒ tích chia hết cho 5
- Trường hợp 3: Nếu n chia cho 5 dư 2 thì n có dạng 5k + 2
⇒ 2n + 1 = 10k + 5, chia hết cho 5 ⇒ tích cũng chia hết cho 5
- Trường hợp 4: Nếu n chia cho 5 dư 3 thì n có dạng 5k + 3
⇒ 3n + 1 = 15k + 10, chia hết cho 5 ⇒ tích cũng chia hết cho 5
- Trường hợp 5: Nếu n chia cho 5 dư 4 thì n có dạng 5k + 4
⇒ n + 1 = 5k + 5, chia hết cho 5 ⇒ tích cũng chia hết cho 5
Do đó, n (n + 1) x (2n + 1) x (3n + 1) x (4n + 1) luôn chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.
Câu 5: Tìm giá trị của x, biết rằng:
a) (7x - 11)3 = 25 x 52 + 200
Giải quyết:
⇒ (7x - 11)3 = 800 + 200
⇒ (7x - 11)3 = 1000 = 103
⇒ 7x - 11 = 10, nên x = 3
b) Tổng x + (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + 2013) = 2035147
Giải quyết như sau:
2014x + (1 + 2 + 3 + ... + 2013) = 2035147
2014x + 2027091 = 2035147
2014x = 8056, suy ra x = 4
