Buzz
1. Các lý thuyết cơ bản liên quan đến toán xác suất thống kê
Dưới đây là các lý thuyết cơ bản liên quan đến toán xác suất thống kê:
1. Giới thiệu chung
- Những khái niệm cơ bản về xác suất.
- Các định nghĩa cơ bản về xác suất.
- Hai nguyên tắc nền tảng của xác suất.
- Các định lý xác suất được sử dụng để tính toán xác suất của các sự kiện phức tạp.
2. Các phép thử và loại sự kiện
2.1. Khái niệm về phép thử và sự kiện
- Thực hiện một loạt các điều kiện cơ bản để kiểm tra xem một hiện tượng có xảy ra hay không được gọi là thực hiện phép thử.
- Hiện tượng có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố.
- Ví dụ: Tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất trên mặt đất phẳng và cứng.
+ Phép thử: Tung một con xúc xắc.
+ Điều kiện cơ bản: .....
+ Biến cố A6 = ' xuất hiện 6 chấm '; B = ' xuất hiện số chấm lẻ '
2. Phép thử và các loại biến cố
2.2. Các loại biến cố
- Biến cố chắc chắn (U)
- Biến cố không thể xảy ra (V)
- Biến cố ngẫu nhiên (A, B, A1, A2, ...)
- Ví dụ: Tung một con xúc xắc
+ U = ' xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7 '
+ V = ' xuất hiện 7 chấm '
+ A6 = ' xuất hiện 6 chấm ' (biến cố ngẫu nhiên)
+ B = ' xuất hiện số chấm lẻ ' (biến cố ngẫu nhiên)
3. Xác suất của biến cố
- Xác suất của một biến cố là một giá trị đo lường khả năng xảy ra của biến cố đó trong quá trình thực hiện phép thử.
- Ký hiệu xác suất của biến cố A là (PA)
- Ví dụ: Tung một con xúc xắc:
+ A6 = ' xuất hiện 6 chấm ' -> P(A6) = 1/6
+ B = ' xuất hiện số chấm lẻ ' -> P(B) = 3/6 = 1/2 = 0,5
- Dựa vào khả năng tính toán xác suất, biến cố có thể được phân thành hai loại: biến cố đơn giản và biến cố phức tạp
4. Định nghĩa cổ điển về xác suất
4.1. Định nghĩa cổ điển về xác suất
- Xác suất xảy ra của biến cố A trong một phép thử là tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi cho A (ký hiệu: m) và tổng số các kết quả có thể xảy ra trong phép thử đó (ký hiệu: n)
- Công thức tính xác suất: P(A) = m / n
4.2. Các đặc điểm của xác suất
5. Định nghĩa thống kê về xác suất
5.1. Khái niệm về tần số
- Tần số xuất hiện của biến cố A trong n phép thử là tỷ lệ giữa số lần biến cố A xảy ra (k) và tổng số phép thử được thực hiện
- Công thức tính tần số: f(A) = k / n
5.2. Định nghĩa xác suất theo thống kê
- Xác suất của biến cố A trong một phép thử được xác định bởi một số p không thay đổi, và tần suất f của biến cố A trong n phép thử sẽ dao động quanh p khi số phép thử tiến tới vô hạn
6. Một số khái niệm khác về xác suất
- Định nghĩa xác suất theo phương pháp hình học
- Định nghĩa xác suất theo quan điểm chủ quan
- Định nghĩa tiên đề về xác suất
7. Nguyên lý xác suất
- Nguyên lý về xác suất nhỏ:
+ Khi một biến cố có xác suất nhỏ, có thể coi rằng biến cố đó gần như không xảy ra trong một phép thử.
+ Mức xác suất được xem là nhỏ phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể và được gọi là mức ý nghĩa
+ Nguyên lý xác suất nhỏ là nền tảng cho phương pháp kiểm định.
- Nguyên lý xác suất lớn là gì:
+ Khi một biến cố có xác suất rất cao, có thể coi rằng nó sẽ xảy ra trong phép thử.
+ Xác suất đạt mức cao đủ để gọi là độ tin cậy.
+ Nguyên lý xác suất lớn là nền tảng cho phương pháp ước lượng qua khoảng tin cậy.
8. Mối quan hệ giữa các biến cố
- Định nghĩa 2: Biến cố A được coi là tương đương với biến cố B, ký hiệu A = B, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra và ngược lại.
- Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc:
+ Ai = 'Xuất hiện i chấm' (i = 1, 2, ..., 6)
+ A = 'xuất hiện 1, 3 hoặc 5 chấm'
+ B = 'xuất hiện số chấm lẻ'
A = B
8.1. Tổng hợp các biến số
- Định nghĩa 3: Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu C = A + B, nếu C xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra.
- Định nghĩa 4: Biến cố A được gọi là tổng của các biến cố A1, A2, A3, ..., An nếu A xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong số n biến cố thành phần xảy ra.
8.2. Tích của các biến cố
- Định nghĩa 5: Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B, ký hiệu C = A . B, nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra.
- Định nghĩa 6: Biến cố A được gọi là tích của các biến cố A1, A2, A3, ..., An nếu A xảy ra khi và chỉ khi tất cả n biến cố thành phần đều xảy ra.
8.3. Tính chất xung khắc của các biến cố
- Định nghĩa 7: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra đồng thời trong một phép thử. Nếu chúng có thể xảy ra cùng nhau, thì không xung khắc.
- Định nghĩa 8: Một nhóm n biến cố A1, A2, A3, ..., An được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào trong nhóm này cũng đều xung khắc với nhau.
2. Bộ đề thi và lời giải chi tiết về xác suất thống kê
Bài 1: Có 9 quả cân với trọng lượng từ 1 kg đến 9 kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân. Tính xác suất tổng trọng lượng của 3 quả cân không vượt quá 8 kg.
Lời giải
Gọi e là tập hợp tất cả các cách chọn 3 quả cân từ 9 quả cân, ta có |E| = C(9,3) = 84
Gọi A là biến cố 'chọn 3 quả cân sao cho tổng trọng lượng không vượt quá 8 kg'
Xem xét các khả năng: 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 4 = 7; 1 + 3 + 4 = 8
Như vậy, chỉ có 4 cách chọn 3 quả cân sao cho tổng trọng lượng không vượt quá 8 kg
Vậy, |A| = 4. Do đó, xác suất cần tính là P(A) = 4 / 84 = 1 / 21
Bài 2: Tung liên tiếp ba đồng xu. Gọi A là biến cố có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp; B là biến cố có ba mặt giống nhau.
a. Tính xác suất của A và B
Lời giải chi tiết
a.
Không gian mẫu có 2^3 = 8 phần tử
E = { NNN; NNS; NSS; SNN; SNS; SSN; SSS }
Biến cố A = { SSS; SSN; NSS; SNS }; biến cố B = { NNN; SSS }
Xác suất của A ∪ B = { SSS; SSN; NSS; SNS; NNN }
Xác suất của B: P(B) = 2 / 8 = 1 / 4
b. Ta có A ∪ B = { SSS; SSN; NSS; SNS; NNN } và A ∩ B = { SSS }
Xác suất của A ∪ B là P(A ∪ B) = 5 / 8
Bài 3: Tung hai con xúc xắc liên tiếp. Tính xác suất của biến cố sau đây
a. A ' Tổng số chấm trên hai mặt của hai con xúc xắc nhỏ hơn 6'
b. B ' Có đúng một con xúc xắc xuất hiện số chấm lẻ '
c. C ' Số chấm trên hai con xúc xắc chênh lệch 2 '
Lời giải chi tiết
Không gian mẫu E = { (1,1); (1,2); (1,3); ...; (6,6) }: có 6 x 6 = 36 phần tử
a. Biến cố A = { (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,3); (4,1); (4,2); (5,1) } có 15 phần tử. Xác suất của A là P(A) = 15 / 36 = 5 / 12
b. Biến cố B = { (1,2); (1,4); (1,6); (2,1); (2,3); (2,5); (3,2); (3,4); (3,6); (4,1); (4,3); (4,5); (5,2); (5,4); (5,6); (6,1); (6,3); (6,5) } có 15 phần tử. Xác suất của B là P(B) = 15 / 36 = 5 / 12
Trên đây là bài viết chi tiết của Mytour về bộ đề thi toán xác suất thống kê. Mời bạn đọc tham khảo các bài viết liên quan: Phép thử là gì? Biến cố là gì? Xác suất của biến cố là gì?
Cảm ơn bạn đã quan tâm và theo dõi. Trân trọng!
