Bộ sưu tập (toán học)

Trong toán học, một bộ sưu tập là một tập các phần tử. Các phần tử tạo thành một bộ sưu tập có thể là bất kỳ loại đối tượng toán học nào: số, biểu tượng, điểm trong không gian, đường thẳng, các hình dạng hình học khác, các biến hoặc thậm chí các bộ sưu tập khác. Bộ sưu tập không có phần tử nào là bộ sưu tập rỗng; một bộ sưu tập với một phần tử duy nhất là một đơn điểm. Một bộ sưu tập có thể có một số phần tử hữu hạn hoặc là một bộ sưu tập vô hạn. Hai bộ sưu tập bằng nhau khi và chỉ khi chúng có chính xác các phần tử giống nhau.

Bộ sưu tập có mặt khắp nơi trong toán học hiện đại. Thật vậy, lý thuyết bộ sưu tập, cụ thể hơn là lý thuyết bộ sưu tập Zermelo-Fraenkel, đã là phương pháp tiêu chuẩn để cung cấp nền tảng chặt chẽ cho tất cả các phân nhánh của toán học kể từ nửa đầu thế kỷ 20.

Xuất xứ

Khái niệm bộ sưu tập xuất hiện trong toán học vào cuối thế kỷ 19. Từ bộ sưu tập trong tiếng Đức, Menge, được Bernard Bolzano đặt ra trong tác phẩm Paradoxes of the Infinite.

Georg Cantor, một trong những người sáng lập ra lý thuyết bộ sưu tập, đã đưa ra định nghĩa sau đây ở đầu cuốn sách Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:

Bộ sưu tập là sự gộp lại với nhau thành một tổng thể các đối tượng xác định, riêng biệt của nhận thức hoặc suy nghĩ của chúng ta — được gọi là các phần tử của bộ sưu tập.

Bertrand Russell gọi một bộ sưu tập là một lớp: 'Khi các nhà toán học xử lý những gì họ gọi là đa tạp, tổng hợp, Menge, tổ hợp hoặc một số tên tương đương, thì điều đó là phổ biến, đặc biệt là khi số lượng các thuật ngữ liên quan là hữu hạn, coi đối tượng được đề cập. (thực tế là một lớp) được xác định bằng cách liệt kê các thuật ngữ của nó, và có thể bao gồm một thuật ngữ duy nhất, trong trường hợp đó là lớp.'

Lý thuyết bộ sưu tập ngây thơ

Thuộc tính quan trọng nhất của một bộ sưu tập là nó có thể có các phần tử. Hai bộ sưu tập bằng nhau khi chúng có các phần tử giống nhau. Chính xác hơn, bộ sưu tập A và B là bằng nhau nếu mọi phần tử của A là phần tử của B, và mọi phần tử của B là một phần tử của A ; thuộc tính này được gọi là tính mở rộng của các bộ sưu tập.

Khái niệm đơn giản về một bộ sưu tập đã tỏ ra vô cùng hữu ích trong toán học, nhưng nghịch lý lại nảy sinh nếu không có giới hạn nào được đặt ra về cách các bộ sưu tập có thể được xây dựng:

• Nghịch lý Russell cho thấy rằng 'bộ sưu tập của tất cả các bộ sưu tập không chứa chính chúng', tức là, {x|x là một bộ sưu tập và x ∉ x} , không thể tồn tại.
• Nghịch lý Cantor cho thấy “bộ sưu tập của tất cả các bộ sưu tập” không thể tồn tại.

Lý thuyết bộ sưu tập ngây thơ định nghĩa một bộ sưu tập là bất kỳ bộ sưu tập được xác định rõ ràng của các phần tử riêng biệt, nhưng các vấn đề nảy sinh từ sự mơ hồ của thuật ngữ được xác định rõ ràng.

Lý thuyết bộ sưu tập tiên đề

Trong những nỗ lực tiếp theo để giải quyết những nghịch lý này kể từ thời điểm hình thành lý thuyết bộ sưu tập sơ khai ban đầu, các tính chất của bộ sưu tập đã được xác định bởi các tiên đề. Thuyết bộ sưu tập tiên đề lấy khái niệm bộ sưu tập làm khái niệm sơ khai. Mục đích của tiên đề là cung cấp một khuôn khổ cơ bản để từ đó suy ra tính đúng hay sai của các mệnh đề toán học cụ thể (phát biểu) về bộ sưu tập, sử dụng logic bậc nhất. Tuy nhiên, theo các định lý về tính không đầy đủ của Gödel, không thể sử dụng logic bậc nhất để chứng minh bất kỳ lý thuyết bộ sưu tập tiên đề cụ thể nào mà không có nghịch lý.

Cách các bộ sưu tập được xác định và thiết lập ký hiệu

Các sách báo toán học thường biểu thị bộ sưu tập bằng chữ in hoa in nghiêng, chẳng hạn như A, B, C Một bộ sưu tập cũng có thể được gọi là bộ sưu tập hoặc họ, đặc biệt là khi bản thân các phần tử của nó lại là các bộ sưu tập.

Ký hiệu danh sách

Ký hiệu danh sách hoặc bảng liệt kê xác định một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của nó giữa các dấu ngoặc nhọn, được phân tách bằng dấu phẩy:

A = {4, 2, 1, 3}

Trong một tập hợp, tất cả những gì quan trọng là liệu mỗi phần tử có nằm trong đó hay không, vì vậy thứ tự của các phần tử trong ký hiệu danh sách là không liên quan (ngược lại, trong một chuỗi, một bộ hoặc một hoán vị của một tập hợp, thứ tự của các phần tử là quan trọng).

Đối với những tập hợp có nhiều phần tử, đặc biệt là những tập hợp theo một mẫu không tường minh, danh sách các phần tử có thể được viết tắt bằng cách sử dụng dấu chấm lửng '…'. Ví dụ: tập hợp 1000 số nguyên dương đầu tiên có thể được chỉ định trong bảng liệt kê như

{1, 2, 3, …, 1000}

Tập hợp vô hạn là tập hợp có số lượng phần tử không hạn chế. Để biểu diễn một tập hợp vô hạn trong ký hiệu danh sách, ta sử dụng dấu ba chấm ở cuối hoặc ở cả hai đầu, để chỉ rõ rằng tập hợp tiếp tục mãi mãi. Ví dụ: tập hợp số nguyên dương là

{0, 1, 2, 3, 4, …},

và tập hợp các số nguyên là

{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}.

Định nghĩa về ngữ nghĩa

Một cách khác để xác định một tập hợp là sử dụng quy tắc để xác định các thành phần bên trong:

Gọi A là tập hợp bao gồm bốn số nguyên dương đầu tiên.

Gọi B là tập hợp các màu sắc của lá cờ Pháp.

Định nghĩa như vậy được gọi là mô tả ngữ nghĩa.

Ký hiệu tạo tập hợp

Ký hiệu tạo tập hợp chỉ ra một tập hợp là một lựa chọn từ một tập lớn hơn, được xác định bởi điều kiện về các thành phần. Ví dụ, một tập F có thể được định nghĩa như sau:

F$=\{n\mid <!--\; \mid \; -->n\text{ là một số nguyên, và }0\le <!--\; \le \; -->n\le <!--\; \le \; -->19\}.$

Trong ký hiệu này, dấu '|' có nghĩa là 'sao cho', và mô tả có thể hiểu là ' F là tập hợp của tất cả các số n sao cho n là số nguyên nằm trong khoảng từ 0 đến 19'. Một số tác giả sử dụng dấu hai chấm ':' thay cho dấu '|'.

Tập hợp có thể được xác định bằng cách đệ quy. Ví dụ, tập các số tự nhiên lẻ L có thể được biểu diễn như sau:

1. $1\in <!--\; \in \; -->L$
2. Nếu $n\in <!--\; \in \; -->L$ thì $n+2\in <!--\; \in \; -->L.$

Tập hợp trống

Tập hợp trống là tập hợp duy nhất không có thành phần nào. Nó được ký hiệu là ∅ hoặc $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$ hoặc { } hoặc ϕ (hoặc ϕ).

Tập hợp đơn phần tử

Tập hợp đơn phần tử là tập hợp chỉ có một thành phần duy nhất; tập hợp như vậy cũng có thể được gọi là tập hợp đơn vị. Bất kỳ tập hợp nào như vậy có thể được biểu diễn dưới dạng {x}, trong đó x là thành phần. Tập hợp {x} và thành phần x có ý nghĩa khác nhau; Halmos đã chỉ ra một ví dụ tương tự rằng một cái hộp chứa một cái mũ không giống với cái mũ.

Tập con

Nếu mọi phần tử của tập A đều thuộc tập B, thì A được gọi là một tập con của B, hoặc được bao gồm trong B, được ký hiệu là A ⊆ B, hoặc B ⊇ A. Ký hiệu thứ hai có thể đọc là B chứa A, hoặc B bao gồm A. Các mối quan hệ giữa các tập hợp được thiết lập bởi ký hiệu ⊆ được gọi là bao gồm hay chứa đựng. Hai tập hợp bằng nhau nếu chúng chứa lẫn nhau: A ⊆ B và B ⊆ A tương đương với A = B.

Nếu A là tập con của B mà A không bằng B thì A được gọi là tập con thực sự của B. Điều này có thể được ký hiệu là A ⊊ B. Tương tự, B ⊋ A có nghĩa là B là một tập hợp chứa thực sự của A, tức là B chứa A, và không bằng A.

Cặp toán tử thứ ba ⊂ và ⊃ được các tác giả sử dụng khác nhau: một số tác giả sử dụng A ⊂ B và B ⊃ A có nghĩa là A là bất kỳ tập con nào của B (và không nhất thiết phải là tập con thực sự), trong khi những người khác chỉ viết A ⊂ B và B ⊃ A khi mà A là một tập hợp con thực sự của B.

Sơ đồ Euler và sơ đồ Venn

Sơ đồ Euler là một biểu diễn đồ họa của một tập hợp các tập hợp; mỗi tập hợp được mô tả như một vùng phẳng được một vòng tròn bao quanh, với các phần tử của nó bên trong. Nếu A là một tập con của B, thì vùng đại diện cho A nằm hoàn toàn bên trong vùng đại diện cho B. Nếu hai tập hợp không có phần tử nào chung thì các vùng không giao nhau.

Ngược lại, một sơ đồ Venn là một biểu diễn đồ họa của n tập hợp, trong đó n vòng chia mặt phẳng thành 2 vùng sao cho mỗi cách chọn một số trong n tập hợp (có thể là tất cả hoặc không), có một vùng cho các phần tử thuộc về tất cả các tập hợp đã chọn và không thuộc về các tập hợp khác. Ví dụ, nếu các tập hợp là A, B và C, thì phải có một vùng cho các phần tử bên trong A và C và bên ngoài B (ngay cả khi các phần tử đó không tồn tại).

Các tập hợp số đặc biệt

Có những tập hợp toán học quan trọng, mà các nhà toán học thường thảo luận về, và chúng thậm chí có những tên gọi đặc biệt và các ký hiệu đặc trưng để chỉ ra chúng.

Các tập hợp quan trọng này thường được biểu diễn trong văn bản toán học bằng chữ in đậm (ví dụ: 𝐙) hoặc chữ viền đậm (ví dụ: ℤ). Chúng bao gồm

• 𝐍 hoặc ℕ, tập hợp các số tự nhiên: 𝐍 = {0, 1, 2, 3, ...} (thường không bao gồm số 0 trong tập ℕ);
• 𝐙 hoặc ℤ, tập hợp các số nguyên (bao gồm số dương, số âm và số 0): 𝐙 = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...};
• 𝐐 hoặc ℚ, tập hợp các số hữu tỉ (tức là tất cả các phân số): 𝐐 = {a/b | a, b ∈ 𝐙, b ≠ 0}. Ví dụ, −7/4 ∈ 𝐐
• 𝐑 hoặc ℝ, tập hợp các số thực bao gồm cả các số hữu tỉ và vô tỉ (bao gồm các số như √2 mà không thể biểu diễn dưới dạng phân số, cũng như các số như π và e);
• 𝐂 hoặc ℂ, tập hợp số phức: 𝐂 = {a + bi | a, b ∈ 𝐑}, ví dụ 1 + 2i ∈ 𝐂.

Mỗi tập hợp số này đều có vô số thành viên. Mỗi tập hợp là một phần của các tập hợp được liệt kê dưới đây.

Các tập hợp số dương hoặc âm đôi khi được biểu diễn bằng dấu cộng và dấu trừ tương ứng. Ví dụ, 𝐐⁺ biểu thị tập hợp các số hữu tỉ dương.

Hàm số

Một hàm số (hoặc ánh xạ) từ tập hợp A đến tập hợp B là một quy tắc gán cho mỗi phần tử 'đầu vào' của A một 'đầu ra' là phần tử của B ; chính thức hơn, một hàm là một loại quan hệ đặc biệt, một quan hệ liên quan mỗi phần tử của A với chính xác một phần tử của B. Một hàm được gọi là

• đơn ánh nếu nó ánh xạ bất kỳ hai phần tử khác nhau của A với các phần tử khác nhau của B ,
• toàn ánh nếu với mọi phần tử của B, có ít nhất một phần tử của A ánh xạ tới nó, và
• song ánh nếu hàm vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh - trong trường hợp này, mỗi phần tử của A được nối với một phần tử duy nhất của B và mỗi phần tử của B được nối với một phần tử duy nhất của A, và không có phần tử chưa được ghép nối.

Các phép toán cơ bản

Các định nghĩa

• Hợp (Union): Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A $\cup <!--\; \cup \; -->$ B

Ta có A $\cup <!--\; \cup \; -->$ B = {x: x $\in <!--\; \in \; -->$ A hoặc x $\in <!--\; \in \; -->$ B}

• Giao (Intersection): Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A $\cap <!--\; \cap \; -->$ B

Ta có A $\cap <!--\; \cap \; -->$ B = {x: x $\in <!--\; \in \; -->$ A và x $\in <!--\; \in \; -->$ B}

• Hiệu (Difference): Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu $A\setminus <!--\; \setminus \; -->B$

Ta có: A \ B = {x: x $\in <!--\; \in \; -->$ A và x $\notin <!--\; \notin \; -->$ B}

• Phần bù (Complement): là hiệu của tập hợp con. Nếu A$\subset <!--\; \subset \; -->$B thì B \ A được gọi là phần bù của A trong B, ký hiệu C_B (hay C_B A)
• Trong nhiều trường hợp, khi tất cả các tập hợp đang xét đều là tập con của một tập hợp U (được gọi là tập vũ trụ-đôi khi có nghĩa như trường hay không gian - trong vật lý; hay cũng gọi là tập phổ dụng, giống như trong đại số phổ dụng), người ta thường xét phần bù của mỗi tập A, B, C,... đang xét trong tập U, khi đó ký hiệu phần bù không cần chỉ rõ U mà ký hiệu đơn giản là CA,CB,... hoặc $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}$
  , $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}$...

Các tính chất cơ bản

Các phép toán trên tập hợp có các tính chất sau:

• Nguyên lý luỹ đẳng:

A $\cup <!--\; \cup \; -->$ A = A

A $\cap <!--\; \cap \; -->$ A = A

Phát biểu: Giao hoặc hợp của một tập hợp với chính nó luôn cho kết quả là chính nó. Ngoài ra, hợp của một tập với phần bù của nó cũng là chính nó, trong khi giao của một tập với phần bù của nó lại là một tập rỗng.

• Nguyên lý hấp thụ (hay còn gọi là nguyên lý bao hàm):

A $\cup <!--\; \cup \; -->$ (A $\cap <!--\; \cap \; -->$ B) = A

A $\cap <!--\; \cap \; -->$ (A $\cup <!--\; \cup \; -->$ B) = A

Nguyên lý hấp thụ còn có thể được viết lại như sau:

Nếu A $\subset <!--\; \subset \; -->$ B thì A $\cup <!--\; \cup \; -->$ B = B và A $\cap <!--\; \cap \; -->$ B = A

• Luật hoán đổi:

A $\cup <!--\; \cup \; -->$ B = B $\cup <!--\; \cup \; -->$ A

A $\cap <!--\; \cap \; -->$ B = B $\cap <!--\; \cap \; -->$ A

• Luật phối hợp:

A $\cap <!--\; \cap \; -->$ (B $\cap <!--\; \cap \; -->$ C) = (A $\cap <!--\; \cap \; -->$ B) $\cap <!--\; \cap \; -->$ C

A $\cup <!--\; \cup \; -->$ (B $\cup <!--\; \cup \; -->$ C) = (A $\cup <!--\; \cup \; -->$ B) $\cup <!--\; \cup \; -->$ C

• Luật phân phối:

A $\cap <!--\; \cap \; -->$ (B $\cup <!--\; \cup \; -->$ C) = (A $\cap <!--\; \cap \; -->$ B) $\cup <!--\; \cup \; -->$ (A $\cap <!--\; \cap \; -->$ C)

• Luật De Morgan:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A\cup <!--\; \cup \; -->B}$= $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\cap <!--\; \cap \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}$

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A\cap <!--\; \cap \; -->B}$= $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\cup <!--\; \cup \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}$

Tích Descartes

Một tập hợp mới có thể được xây dựng bằng cách liên kết mọi phần tử của một tập hợp với mọi phần tử của một tập hợp khác. Tích Descartes của hai tập A và B, ký hiệu là A × B, là tập hợp của tất cả các cặp có thứ tự (a, b) sao cho a là phần tử của A và b là phần tử của B.

Ví dụ:

• {1, 2} × {red, white, green} = {(1, red), (1, white), (1, green), (2, red), (2, white), (2, green)}.
• {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
• {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

Một số tính chất cơ bản của tích Descartes:

• A × ∅ = ∅.
• A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
• (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).

Cho A và B là các tập hữu hạn; thì lực lượng của tích Descartes là tích của các lực lượng:

| A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Lực lượng

Tổng quát hóa khái niệm số lượng phần tử của các tập hợp hữu hạn là lực lượng của tập hợp (Cardinality).

Hai tập hợp được xem là có cùng lực lượng nếu có một phép ánh xạ song ánh giữa chúng. Các tập hợp hữu hạn có cùng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử theo nghĩa thông thường.

Điểm khác biệt cơ bản giữa các tập hữu hạn và các tập vô hạn là mọi tập hữu hạn không có cùng lực lượng với một tập con thực sự của nó. Đối với các tập vô hạn thì không phải như vậy. Dưới đây là một số ví dụ đơn giản:

• Tập con $N\setminus <!--\; \setminus \; -->\left\{0\right\}$ là một tập con thực sự của $N$, tuy nhiên chúng ta có thể kiểm tra xem ánh xạ sau đây có phải là song ánh hay không:

$\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}:N\to <!--\; \to \; -->N\setminus <!--\; \setminus \; -->\left\{0\right\}$

$n⟼<!--\; ⟼\; -->n+1$

Điều này có nghĩa là chúng có cùng lực lượng.

Georg Cantor đã chứng minh rằng không thể có một song ánh giữa tập các số tự nhiên và tập hợp các số thực, vì vậy lực lượng của tập hợp các số tự nhiên là 'nhỏ hơn' lực lượng của tập số thực. Các tập có cùng lực lượng với tập số tự nhiên được gọi là các tập đếm được, các tập hợp có cùng lực lượng với tập số thực được gọi là tập có lực lượng liên tục.

Nếu ký hiệu $|Z|$ là ${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0$ ('aleph-null') và $|R|$ là $2^{{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0}$,thì ta có:

$|Z|$< $2^{{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0}$.

Phân hoạch

B(E) là tập các bộ phận của tập E.
Khi đó, P gọi là 1 phân hoạch của E ( Une Partition d'ensemble E ) nếu:

• P là một bộ phận của B(E).
• Với mọi tập A_i của$\in <!--\; \in \; -->$ P, A_i ≠ $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$
• Với mọi phần tử A_i ≠ A_j $\in <!--\; \in \; -->$ P, A_i $\cap <!--\; \cap \; -->$ A_j = $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$
• Với mọi phần tử x $\in <!--\; \in \; -->$ E, luôn tìm thấy phần tử A của P sao cho x là phần tử của$\in <!--\; \in \; -->$ A. (Nói cách khác hợp tất cả các phần tử A_i của P ta được E)

Ví dụ: E = {a,b,c}.
P={{a},{b,c}} là 1 phân hoạch của E. Vì:

• P là một phần của B(E) (Dễ hiểu).
• Xét tất cả các thành phần của P: A₁ = {a} ≠ $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$ và A₂ = {b,c} ≠ $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$
• {a} $\cap <!--\; \cap \; -->$ {b,c} = $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$
• {a} Hợp {b,c} = E

Ứng dụng

Tập hợp xuất hiện khắp mọi nơi trong toán học hiện đại. Ví dụ, các cấu trúc trong đại số trừu tượng, như nhóm, trường và vòng, là các tập hợp được đóng dưới một hoặc nhiều phép toán.

Một trong những ứng dụng chính của lý thuyết tập hợp ngây thơ là trong việc xây dựng các quan hệ. Một quan hệ từ một tập hợp A nhất định đến một tập hợp đích B là một tập hợp con của tích Descartes A × B. Ví dụ, xem xét tập hợp S = {đấm, giấy, kéo} của các hình trong trò chơi oẳn tù tì, quan hệ “thắng” từ S đến S là tập hợp B = {(kéo,giấy), (giấy,đấm), (đấm,kéo)} ; do đó x thắng y trong trò chơi oẳn tù tì nếu cặp (x,y) là phần tử của B. Một ví dụ khác là tập F của tất cả các cặp (x, x), trong đó x là số thực. Quan hệ này là một tập con của R × R, bởi vì tập hợp tất cả các bình phương là tập hợp con của tập hợp tất cả các số thực. Vì với mọi x trong R, một và chỉ một cặp (x,...) được tìm thấy trong F, nó được gọi là một hàm số. Trong ký hiệu hàm số, quan hệ này có thể được viết dưới dạng F(x) = x.

Giả thuyết liên tục

Chúng tôi nhận thấy rằng lực lượng có thể đếm được nhỏ hơn lực lượng Continuum. Tuy nhiên, vấn đề liệu có tồn tại một tập hợp có lực lượng lớn hơn lực lượng có thể đếm được nhưng nhỏ hơn lực lượng Continuum lại là một câu hỏi khác. Cantor giả định rằng điều đó không có (giả định Continuum - continuum hypothesis).

Điều này tương đương với:

$2^{{\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0}={\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_1$

Cantor đưa ra giả thuyết Continuum vào năm 1878, và nó là bài toán đầu tiên trong 23 bài toán Hilbert. Kết quả chung là giả thuyết này độc lập với ZFC, có nghĩa là ta có thể chấp nhận hoặc bác bỏ giả thuyết Continuum và thêm nó vào như một tiên đề độc lập với ZFC. Điều này được chứng minh vào năm 1963 bởi Paul Cohen, dựa trên công trình của Kurt Gödel vào năm 1940. Cohen được trao Giải Fields năm 1966 vì công trình này.

Sau đó, vấn đề giả thuyết Continuum vẫn tiếp tục được nghiên cứu ở các khía cạnh khác nhau.

Tiên đề chọn, định lý bất toàn của Gödel và giả thuyết Continuum là một trong những tuyên bố đầu tiên được chứng minh là độc lập với ZF. Sau đó, nhiều tuyên bố khác trong giải tích, tô-pô và lý thuyết đo lường cũng được chứng minh là độc lập với ZF.

• Lý thuyết tập hợp
• Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel
• Tập hợp trù mật
• Nghịch lý Russell
• Trường (toán học)
• Không gian met-ríc

Chú thích

• Hoàng Xuân Sính, 1972, Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), Nhà xuất bản giáo dục

Liên kết ngoài

• Tài liệu liên quan đến Tập hợp tại Wikimedia Commons
• Tập hợp (toán học) tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Set (toán học và logic) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• Cơ bản về lý thuyết tập hợp (tiếng Anh)
• Lý thuyết tập hợp Lưu trữ 2006-10-07 tại Wayback Machine
• Tập hợp trên Mathworld