Buzz
1. Bội chung nhỏ nhất là gì?
1.1. Bội là gì?
Nếu một số tự nhiên a chia hết cho một số b, thì a được gọi là bội của b.
Tập hợp các bội của số b được ký hiệu là: B(b)
Ví dụ: B(2) = {0; 2; 4; 6; 8;....}
1.2. Bội chung và bội chung nhỏ nhất
- Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n đồng thời là bội của cả a và b.
Kí hiệu: Tập hợp các bội chung của hai số a và b là: BC(a,b)
Ví dụ: BC(4,5) = {0; 20; 40; 60;...}
- Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của hai số a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b.
Kí hiệu: Tập hợp các bội chung nhỏ nhất của hai số a và b được ký hiệu là: BCNN(a,b)
Ví dụ: BCNN(4,5) = {20}
2. Phương pháp xác định Bội chung nhỏ nhất
Để tính Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hoặc nhiều số lớn hơn 1, thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Phân tích từng số thành các thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng của các số đó
Bước 3: Nhân các thừa số đã chọn, mỗi thừa số với số mũ lớn nhất của nó. Kết quả là BCNN cần tìm.
Ví dụ: Tìm BCNN của 42, 70 và 180
Đáp án
Phân tích như sau: 42 = 6 × 7 = 2 × 3 × 7
70 = 10 × 7 = 2 × 5 × 7
180 = 18 × 10 = 2 × 9 × 10 = 2 × 3 × 3 × 2 × 5 = 2² × 3² × 5
BCNN(42, 70, 180) = 2² × 3² × 5 × 7
Chú ý:
- Nếu từng cặp số trong nhóm đã cho không có ước chung nào ngoài 1, thì BCNN của chúng là tích của các số đó.
Ví dụ: BCNN(5, 7, 8) = 5 × 7 × 8 = 280
- Nếu số lớn nhất trong nhóm là bội của tất cả các số còn lại, thì BCNN của nhóm chính là số lớn nhất đó.
Ví dụ: BCNN(12, 16, 48) = 48
3. Cách tìm Bội chung nhỏ nhất hiệu quả nhất
Để tính BCNN một cách nhanh chóng, ta có thể sử dụng 'Thuật toán Euclid' (Ơ-clit). Theo đó: Nếu hai số nguyên a và b có BCNN là [a; b] và ƯCLN là (a; b), thì:
|a × b| = [a; b] × (a; b)
.png)
Điều này có nghĩa là, tích của hai số nguyên |a × b| = ƯCLN(a; b) × BCNN(a; b)
Ví dụ: Xét a = 12 và b = 18
=> ƯCLN(12; 18) = 6 nên BCNN(12; 18) = (12 × 18) ÷ 6 = 36
Nếu tính theo phương pháp truyền thống, bạn cần thực hiện các bước sau:
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
=> BCNN(12; 18) = 2² × 3² = 36
4. Bài tập
4.1. Loại 1: Xác định bội chung và bội chung nhỏ nhất của các số đã cho
Phương pháp:
- Để kiểm tra xem một số có phải là bội chung của hai số hay không, ta cần xem số đó có chia hết cho cả hai số hay không.
- Để xác định tập hợp các bội chung của hai hoặc nhiều số, ta cần viết tập hợp bội của từng số và sau đó tìm giao của các tập hợp này.
- Áp dụng phương pháp 'ba bước' để tính BCNN của hai hoặc nhiều số:
+ Bước 1: Phân tích từng số thành các thừa số nguyên tố
+ Bước 2: Lựa chọn các thừa số nguyên tố chung và riêng
+ Bước 3: Tính tích của các thừa số đã chọn, mỗi thừa số dùng với số mũ lớn nhất của nó. Kết quả này chính là BCNN cần tìm.
- Bạn có thể nhanh chóng tính BCNN của hai hoặc nhiều số bằng cách nhân số lớn nhất lần lượt với các số như 1, 2, 3, 4, ... cho đến khi tìm được số chia hết cho tất cả các số còn lại.
Bài 1. Tính:
a. BCNN (15; 18)
b. BCNN (84; 108)
c. BCNN (33; 44; 55)
d. BCNN của (8; 18; 30)
e. BCNN của (1; 12; 27)
f. BCNN của (18; 24; 30)
g. BCNN của (5; 9; 11)
h. BCNN của (18; 24; 30)
Đáp án
a. Phân tích như sau: 15 = 3 x 5
18 = 2 x 3^2
BCNN của (15; 18) = 2 x 5 x 3^2 = 90
b. Phân tích: 84 = 2^2 x 3 x 7
108 = 2^2 x 3^3
BCNN (84; 108) = 2^2 x 3^3 x 7 = 756
c. Phân tích: 33 = 3 x 11
44 = 2^2 x 11
55 = 5 x 11
BCNN (33; 44; 55) = 3 x 2^2 x 5 x 11 = 660
d. Phân tích: 8 = 2^3
18 = 2 x 3^2
30 = 2 x 3 x 5
BCNN (8; 18; 30) = 2^3 x 3^2 x 5 = 240
e. 1 được biểu diễn dưới dạng: 1 = 1
12 = 2^2 x 3
27 = 3^3
BCNN (1; 12; 27) = 1 x 2^2 x 3^3 = 108
f. 18 = 2 x 3^2
24 = 2^3 x 3
30 = 2 x 3 x 5
BCNN (18; 24; 30) = 2^3 x 3^2 x 5 = 360
g. 5 và 11 là hai số nguyên tố, trong khi 9 = 3^2
BCNN (5; 9; 11) = 5 x 3^2 x 11 = 495
h. Vì 48 chia hết cho cả 12 và 16, nên BCNN (12; 16; 48) là 48
Chú ý:
Trong câu g, do 5, 9 và 11 là các số nguyên tố với nhau, nên BCNN (5; 9; 11) là tích của chúng: 5 x 9 x 11
Trong câu h: Dựa vào nhận xét dưới đây:
Nếu một số a chia hết cho b và cũng chia hết cho c, thì BCNN (a; b; c) chính là a
Bài 2. Tìm các bội chung nhỏ hơn 600 của các số 40 và 180
Giải đáp
Phương pháp 1: Để tìm bội chung của 40 và 180, ta nhân các số từ 0, 1, 2, 3, 4, 5,... cho đến khi có số chia hết cho cả 40 và 180. Kết quả là:
BC (40; 180) = {0; 360; 720;...}
Vì vậy, các bội chung nhỏ hơn 600 của 40 và 180 là 0 và 360
Phương pháp 2: Ta có:
40 = 2² . 5
180 = 2² . 3² . 5
=> BCNN (40; 180) = 2² . 3² . 5 = 360
Nhân 360 lần lượt với 0, 1, 2, 3,... ta có:
x thuộc BC (40; 180) và x < 600 là {0; 360}
Bài 3. Với hai số tự nhiên a và b được phân tích thành tích các thừa số nguyên tố, BCNN (a; b) là gì?
A. Tích của các thừa số nguyên tố chung, mỗi thừa số dùng với số mũ lớn nhất của nó
B. Tích của tất cả các thừa số nguyên tố chung và riêng, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó
C. Tích của các thừa số nguyên tố chung, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó
D. Tích của các thừa số nguyên tố chung, mỗi thừa số dùng với số mũ nhỏ nhất
Bài 4. Tính BCNN (42; 70; 180)
A. 22 . 32 . 7
B. 22 . 32 . 5
C. 22 . 32 . 5 . 7
D. 2 . 3 . 5 . 7
Bài 5. Tính BCNN (a,b,c), trong đó a là số tự nhiên nhỏ nhất có hai chữ số, b là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số và c là số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số.
A. 9990
B. 999000
C. 1000
D. 99000
4.2. Dạng 2. Bài toán chuyển thành việc tìm BCNN của hai hoặc nhiều số
Phương pháp giải: Phân tích bài toán để quy về việc tìm BCNN của hai hoặc nhiều số
Bài 1. Hoàn thành câu: Nếu x chia hết cho a, x chia hết cho b và x là số nhỏ nhất khác 0, thì x là .... của a và b
A. bội chung nhỏ nhất
B. ước chung
C. bội chung
D. bội chung nhỏ nhất
Bài 2. Tìm BCNN của 1, 7 và 8
A. 56
B. 7
C. 8
D. 56
Bài 3. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 sao cho a chia hết cho cả 21 và 28
A. 84
B. 42
C. 84
D. 588
Bài 4. Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất lớn hơn 1 sao cho x khi chia cho 2, 4 và 5 đều dư 1
A. 29
B. 10
C. 21
D. 40
Bài 5. Tìm các bội chung của 8 và 10 dựa vào BCNN
Đáp án
BCNN (8; 10) = 40
Do đó, các bội chung của 8 và 10 là {0; 40; 80; 120...}
Bài 6. Xác định các bội chung của 8, 12 và 15 thông qua BCNN
Đáp án
BCNN (8; 12; 15) = 120
Do đó, các bội chung của 8, 12 và 15 là {0; 120; 240; 360...}
Bài 7. Tìm số tự nhiên x sao cho x chia hết cho 4, chia hết cho 6 và 0 < x < 50
Đáp án
Vì x phải chia hết cho cả 4 và 6, nên x thuộc BCNN (4; 6) = {0; 12; 24; 36; 48; ...}
Do x phải nhỏ hơn 50, ta có x thuộc {12; 24; 36; 48}
Bài 8. Xác định các bội chung của 7, 9 và 6 dựa trên BCNN
Đáp án
Tính được: BCNN (7; 9; 6) = 126
Do đó, các bội chung của 7, 9 và 6 là {0; 126; 252; 378...}
4.3. Dạng 3. Bài toán dạng lời văn
Các bước giải:
Bước 1: Đặt ẩn, xác định đơn vị và điều kiện cho ẩn
Bước 2: Biểu diễn các dữ kiện của bài toán theo ẩn đã đặt
Bước 3: Giải tìm ẩn và kiểm tra các điều kiện
Bước 4: Đưa ra kết quả và kết luận
Bài 1. Có một số sách khi được xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, hoặc 18 cuốn thì đều vừa đủ. Tìm tổng số sách trong khoảng từ 200 đến 500.
Đáp án
Gọi số sách cần tìm là x (với x thuộc tập hợp số tự nhiên và 200 ≤ x ≤ 500)
Vì số sách có thể xếp hết vào các bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn nên x phải chia hết cho 10, 12 và 18.
=> x thuộc tập hợp các bội chung nhỏ nhất của 10, 12 và 18
BCNN (10; 12; 18) = 360
Các bội chung của 10, 12 và 18 là {0; 360; 720; ...}
=> x thuộc tập hợp {0; 360; 720; ...} và với điều kiện 200 ≤ x ≤ 500, ta có x = 360
Vậy số sách cần tìm là 360 quyển
Bài 2. Bạn A và bạn B học tại cùng một trường nhưng ở hai lớp khác nhau. Bạn A trực nhật mỗi 10 ngày, còn bạn B trực nhật mỗi 12 ngày. Họ cùng trực nhật lần đầu vào một ngày cụ thể. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì họ lại cùng trực nhật?
Đáp án
Vì bạn A trực nhật mỗi 10 ngày nên các ngày trực của bạn A là bội của 10
Bạn B trực nhật mỗi 12 ngày, vì vậy các ngày trực của bạn B là bội của 12
Lần đầu tiên hai bạn cùng trực nhật vào một ngày, để tìm khoảng thời gian tiếp theo hai bạn cùng trực nhật, ta tính BCNN (10; 12) = 60.
Do đó, ít nhất sau 60 ngày hai bạn sẽ cùng trực nhật một lần nữa.
Bài 3. Trường có số học sinh khối 6 nằm trong khoảng từ 300 đến 400. Biết rằng nếu xếp thành hàng 5, 8, 12 thì thiếu 1 học sinh. Tìm số học sinh khối 6 của trường.
Đáp án
Gọi số học sinh khối 6 cần tìm là x (x thuộc N, 300 ≤ x ≤ 400)
Vì khi xếp thành hàng 5, 8, 12 thì thiếu 1 học sinh nên x = 5k - 1, x = 8t - 1, x = 12m - 1
=> x là số có dạng 1 bội chung của 5, 8, 12 trừ 1
BCNN (5; 8; 12) = 120
Tập hợp bội chung của 5, 8, 12 là {0; 120; 240; 360; 480; 600...}
=> x + 1 thuộc {0; 120; 240; 360; 480; 600...}
với điều kiện 300 ≤ x ≤ 400
=> 301 ≤ x + 1 ≤ 401
Do đó, x + 1 = 360, suy ra x = 359 học sinh
Số học sinh khối 6 là 359 học sinh
Bài 4. Nam và Nga đều đến thư viện đọc sách, với Nam đến mỗi 6 ngày và Nga đến mỗi 8 ngày. Lần đầu tiên cả hai cùng đến thư viện vào một ngày. Hỏi sau bao nhiêu ngày họ sẽ lại cùng đến thư viện?
Đáp án
BCNN (6; 8) = 24
Vậy sau ít nhất 24 ngày, hai bạn sẽ cùng đến thư viện
Bài 5. Xác định số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, chia hết cho 4, 5, 6 và 7
Đáp án
Ta có: 4 = 2^2
6 = 2 . 3
=> BCNN (4; 5; 6; 7) = 2^2 . 3 . 5 . 7 = 420
Nhân 420 lần lượt với 0, 1, 2, 3,... ta được số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4, 5, 6, 7 là 840
Bài 6. Đội A và đội B cần trồng số cây bằng nhau. Mỗi người đội A trồng 8 cây, mỗi người đội B trồng 9 cây và tổng số cây mỗi đội trồng phải nằm trong khoảng từ 100 đến 200. Tìm số cây mỗi đội phải trồng.
Đáp án
Gọi số cây mỗi đội cần trồng là x (x là số tự nhiên; 100 <= x <= 200)
Vì mỗi người trong đội A trồng 8 cây và mỗi người trong đội B trồng 9 cây, nên số cây x cần phải chia hết cho cả 8 và 9
=> x thuộc BCNN (8; 9)
Ta có: 8 = 2^3
9 = 3^2
=> BCNN (8; 9) = 2^3 . 3^2 = 72
=> BC (8; 9) = BCNN (72) = {0; 72; 144; 216; 288...}
Vì 100 <= x <= 200 nên x = 144
Vậy số cây mỗi đội cần trồng là 144 cây
Bài 7. Một đơn vị quân đội khi xếp thành hàng 20, 25 hoặc 30 người đều dư 15 người; nhưng nếu xếp thành hàng 41 người thì vừa đủ. Tìm số người của đơn vị đó biết rằng tổng số người nhỏ hơn 1000.
Đáp án
Gọi a là tổng số người trong đơn vị (a>0)
Khi xếp hàng 20, 25 hoặc 30 người đều dư 15 người; nhưng khi xếp thành hàng 41 người thì vừa đủ
=> a chia cho 20, 25 và 30 đều dư 15 và a chia hết cho 41
=> a - 15 chia hết cho 20, 25 và 30
=> a - 15 là bội chung của 20, 25 và 30
Ta có: 20 = 2² . 5
25 = 5²
30 = 2 . 3 . 5
=> BCNN (20; 25; 30) = 2² . 5² . 3 = 300
=> a - 15 là {0; 300; 600; 1200...}
=> a = {15; 315; 615; 1215;...}
vì a < 1000, nên a = 615 (đồng thời chia hết cho 41)
Do đó, số người trong đơn vị là 615
