Buzz
1. Dạng 1: Tính tổng dãy số với các số hạng đều nhau
Bài 1: Tính tổng B = 1 + 2 + 3 +...+ 98 + 99
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp 1:
B = 1 + 2 + 3 +...+ 98 + 99
= 1 + (2 + 3 + 4 +...+ 98 + 99)
Số hạng trong ngoặc = (99 - 2) : 1 + 1 = 98 hạng, nếu chia thành các cặp, ta có 49 cặp, do đó tổng là:
(2+99) +(3+98) +...+(50+51) = 49 x 101 = 4949
Vì vậy, B = 1 + 4949 = 4950
Phương pháp 2:
B = 1 + 2 + 3 +....+ 97 + 98 + 99
+ B = 99 + 98 + 97 +...+ 3 + 2 + 1
2B = 100 + 100 + ....+ 100
=> 2B = 100 x 99 => B = 50 x 99 = 4950
Phương pháp 3:
Số lượng hạng tử trong dãy = (99 - 1) : 1 + 1 = 99 (hạng)
Trong đó:
- 99 là số hạng cuối cùng
- 1 là số hạng đầu tiên
- 1 là khoảng cách giữa các số hạng trong dãy
Tổng của các số hạng trong dãy = (99 + 1) x 99 : 2 = 4950
Cụ thể:
- 99 là số hạng cuối cùng
- 1 là số hạng đầu tiên
- 99 là tổng số hạng trong dãy
Công thức tổng quát để tính tổng các số hạng trong dãy như sau:
Bước 1: Xác định số lượng số hạng trong dãy = (số hạng cuối - số hạng đầu) : đơn vị khoảng cách + 1
Bước 2: Tổng các số hạng trong dãy = (Số hạng cuối + số hạng đầu) x Tổng số hạng trong dãy : 2
Các bài tập tương tự
Bài 2: Tính A = 1 + 3 + 5 +...+ 997 + 999
Kết quả: 250000
Bài 3: Tính C = 2 + 4 + 6 +...+ 96 + 98.
Kết quả: 2450
Bài 4: Tính D = 10 + 12 + ... + 994 + 996 + 998
Kết quả: 249480
2. Dạng 2: Tính tổng dãy số với các số hạng không cách đều nhau
Bài 1: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ n.(n+1)
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp 1:
Mỗi số hạng trong dãy số trên đều là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, cụ thể như sau:
Đặt a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2
Tương tự:
a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
...
a(n - 1) = (n - 1).n → 3a(n - 1) = 3(n - 1)n → 3a(n - 1) = (n - 1).n.(n + 1) - (n - 2).(n - 1).n
an = n.(n - 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng các đẳng thức trên ta thu được:
3(a1 + a2 + a3 + ... + an) = n(n + 1)(n + 2)
Phương pháp 2:
Ta có:
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + ... + n(n + 1).3
3A = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + ... + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)]
3A = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + ... + n(n + 1)(n + 2) - (n -1)n(n + 1)
3A = n(n + 1)(n + 2)
Dựa vào cách giải trên, ta có công thức tổng quát để tính tổng của dãy số mà các số hạng không đều nhau:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1), với k = 1, 2, 3, ...
Các bài tập tương tự
Bài 2: Tính tổng B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1)
Bài 3: Tính tổng C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + n(n + 3)
Bài 4: Tính tổng D = 12 + 22 + 32 + ... + n^2
3. Dạng 3: Toán hình học
Bài 1: Trong tam giác nhọn ABC, vẽ các tam giác đều ABD và ACE bên ngoài tam giác ABC. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a. Tam giác ABE đồng dạng với tam giác ADC
b. Góc BMC có giá trị bằng 120°
Bài 2: Trong tam giác ABC với ba góc nhọn, vẽ đường cao AH. Bên ngoài tam giác ABC, vẽ các tam giác vuông cân ABE và tam giác ACF đều có đỉnh A làm góc vuông. Kẻ EM và FN vuông góc với AH (M và N nằm trên AH).
a. Chứng minh rằng: EM + HC = NH
b. Chứng minh rằng: EN // FM
Bài 3: Cho hình vuông ABCD với cạnh dài 1. Trên các cạnh AB và AD, chọn các điểm P và Q sao cho chu vi của DAPQ bằng 2. Chứng minh rằng góc PCQ bằng 45°
Bài 4: Xét tam giác vuông ABC với AB = AC. Tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB tại E và D.
a. Chứng minh rằng: BE = CD và AD = AE
b. Gọi I là điểm giao nhau của BE và CD. AI cắt BC tại M, chứng minh rằng tam giác MAC là tam giác vuông cân.
c. Từ các điểm A và D, vẽ các đường vuông góc với BE. Những đường này cắt BC tại K và H. Chứng minh rằng KH = KC
Bài 5: Cho đoạn thẳng MN dài 4 cm, điểm O nằm giữa M và N. Vẽ trên nửa mặt phẳng chứa MN hai tam giác cân OMA và OMB sao cho góc ở đỉnh O là 45°. Xác định vị trí của O để chiều dài AB đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 6: Trong tam giác ABC, vẽ đường thẳng xy song song với BC qua A. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song với AB và AC cắt xy lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDE
b. Các đường thẳng AM, BD, CE đều cắt nhau tại một điểm.
Bài 7: Trong tam giác cân tại A, chọn điểm D trên cạnh BC và điểm E trên tia đối của CB sao cho BD = CE. Vẽ các đường vuông góc từ D và E đến BC, các đường này cắt AB và AC tại M và N. Chứng minh rằng:
a. DM bằng EN
b. Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của đoạn MN
c. Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Bài 8: Trong tam giác ABC với góc B và góc C đều nhọn, chọn điểm E trên tia đối của AB sao cho AE bằng AC.
a. Chứng minh rằng BE bằng CD
b. Gọi M là trung điểm của BE và N là trung điểm của CB. Chứng minh rằng M, A, N nằm trên một đường thẳng.
c. Cho tia Ax nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax. Chứng minh rằng BH cộng CK nhỏ hơn hoặc bằng BC.
Bài 9: Trong tam giác ABC, dựng các tam giác đều MAB, NBC, PAC nằm ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng MC = NA = PB và góc giữa các đường thẳng này bằng 60°, ba đường thẳng MC, NA, PB đồng quy.
Bài 10: Trong tam giác nhọn ABC, các đường cao AH, BK và CL giao nhau tại I. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và P, Q, R là trung điểm của IA, IB, IC. Chứng minh rằng PD, QE, RF đồng quy. Gọi J là điểm đồng quy, chứng minh rằng I là trung điểm của mỗi đoạn đường.
Bài 11: Cho hình vuông ABCD với điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD tại K. Chứng minh rằng AK cộng CE bằng BE.
4. Một số dạng bài tập nâng cao khác
Bài 1: Cho a là số có 2n chữ số 1, b là số có n +1 chữ số 1, và c là số có n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, luôn tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.
Bài 3: Cho hai số tự nhiên a và b (với a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu là 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.
Bài 4: Tìm n sao cho n^3 - n^2 + 2n + 7 chia hết cho n^2 + 1.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n sao cho tổng 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5
