Các dạng bài tập đồ thị hàm số cho kỳ thi vào lớp 10 môn Toán kèm đáp án

1. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số

Cách giải: Xem xét đường thẳng d: y = ax + b với a khác 0

- Khi b = 0, ta có d: y = ax đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a)

Ví dụ: Vẽ đồ thị cho các hàm số sau đây:

a) y = 2x

b) y = x - 1

c) y = 2x - 3

Hướng dẫn cách giải:

a) Xem xét đường thẳng d: y = 2x với b = 0

Do đó, d đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; 2)

Với a = 2, ta có d đi qua điểm A(1; 2)

Đây là đồ thị của hàm số như hình minh họa:

b) Xem xét đường thẳng d: y = x – 1 với b = -1 ≠ 0

Khi y = 0 ⇒ x = 1 ⇒ A(1; 0)

Khi x = 0 ⇒ y = -1 ⇒ B(0; -1)

Do đó, đường thẳng d đi qua hai điểm A và B có đồ thị như minh họa:

c) Xem xét đường thẳng d: y = 2x – 3 với b = -3 ≠ 0

Khi x = 0 ⇒ y = -3 ⇒ A(0; -3)

Do đó, đường thẳng d đi qua hai điểm A và B, và đồ thị của nó như hình minh họa:

2. Dạng 2. Xác định điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không

Phương pháp giải: Cho hàm số y = ax + b và điểm M(m, n) với a ≠ 0

Cách 1: Đặt điểm M và đồ thị hàm số d: y = ax + b lên cùng một hệ tọa độ

Nếu điểm M nằm trên đồ thị hàm số, nghĩa là nó thuộc đường thẳng d.

Nếu điểm M không nằm trên đồ thị hàm số, tức là nó không thuộc đường thẳng d.

Cách 2: Thay tọa độ điểm M vào phương trình hàm số

Nếu am + b = n, điểm M nằm trên đồ thị hàm số

Nếu am + b ≠ n, điểm M không nằm trên đồ thị hàm số.

Ví dụ 1: Xác định các điểm M(2; 1), N(3; -4), P(3; 2) có thuộc đồ thị hàm số y = 2x - 10 không?

Hướng dẫn giải:

- Đối với điểm M(2; 1): Thay x = 2 vào hàm số, ta tính được: y = 2.2 - 10 = 4 - 10 = -6 ≠ 1, vì vậy M không nằm trên đồ thị hàm số.

- Đối với điểm N(3; -4): Thay x = 3 vào hàm số, ta có: y = 2.3 - 10 = 6 - 10 = -4, vì vậy N thuộc đồ thị hàm số.

- Đối với điểm P(3; 2): Thay x = 3 vào hàm số, ta tính được: y = 2.3 - 10 = -4 ≠ 2, nên P không nằm trên đồ thị hàm số.

Ví dụ 2: Với hàm số y = -2x + 4 và các điểm A(3; -2), B(3; 2), C(1; 2), hãy sử dụng phương pháp vẽ đồ thị để xác định xem các điểm A, B, C có thuộc đồ thị hàm số này không?

Hướng dẫn giải:

Xem xét đường thẳng d: y = -2x + 4

Khi x = 0 thì y = 4, ta có điểm M(0; 4)

Khi y = 0 thì x = 2, ta có điểm N(2; 0)

Do đó, đường thẳng d: y = -2x + 4 đi qua hai điểm M và N.

Vẽ đường thẳng d và các điểm A, B, C trên cùng một hệ trục tọa độ:

Từ hình vẽ, có thể thấy điểm A và C nằm trên đồ thị hàm số, trong khi điểm B không nằm trên đồ thị.

Ví dụ 3: Viết phương trình của đường thẳng (d) song song với y = 3x + 1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.

Hướng dẫn giải bài tập:

Đường thẳng (d) song song với y = 3x + 1 sẽ có dạng y = 3x + b

Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ 4, do đó (d) đi qua điểm A(0; 4), từ đó ta có 4 = 3.0 + b nên b = 4

Vậy phương trình của đường thẳng (d) là y = 3x + 4

3. Dạng 3. Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Phương pháp giải: Xét hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’ với a, a’ khác 0

Để xác định tọa độ giao điểm của d và d’, thực hiện theo các bước sau:

Phương pháp 1: Sử dụng đại số:

Bước 1: Xác định phương trình hoành độ giao điểm của d và d’, tức là ax + b = a’x + b’.

Bước 2: Từ phương trình hoành độ, tính giá trị x, sau đó thay x vào d hoặc d’ để tìm y.

Bước 3: Xác định giao điểm cuối cùng.

Phương pháp 2: Áp dụng phương pháp tọa độ

Bước 1: Đưa hai đường thẳng d và d’ vào cùng một hệ trục tọa độ.

Bước 2: Xác định tọa độ giao điểm từ hình vẽ.

Bước 3: Xác nhận điểm giao nhau.

Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp đại số để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d: y = 3x + 1 và d’: y = 2x - 3.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Gọi A là điểm giao nhau.

Giải phương trình hoành độ giao điểm của d và d’: 3x + 1 = 2x - 3, từ đó 3x - 2x = -1 - 3, suy ra x = -4. Thay x vào phương trình d để tìm y: y = 3(-4) + 1 = -12 + 1 = -11.

Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là A(-4; -11).

Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp tọa độ để tìm giao điểm của hai đường thẳng d: y = x + 1 và d’: y = -2x + 3.

Hướng dẫn giải chi tiết:

- Xem xét đường thẳng d: y = x + 1

Khi x = 0, y = 1, do đó điểm A là (0; 1).

Khi y = 0, x = -1, vì vậy điểm B là (-1; 0).

Như vậy, đường thẳng d đi qua các điểm A(0; 1) và B(-1; 0).

- Xem xét đường thẳng d’: y = -2x + 3

Khi x = 0, y = 3, do đó điểm A’ là (0; 3).

Vẽ các đường thẳng d và d’ trên cùng một hệ trục tọa độ.

a) Đường thẳng d1 có phương trình: y = -3x + 5

b) Đường thẳng d2 có phương trình: y = -4x - 2

c) Đường thẳng d1 có phương trình: y = x - 15

Hướng dẫn cách giải

⇒ Đường cong (P) và đường thẳng d1 cắt nhau tại hai điểm khác biệt.

⇒ Đường cong (P) và đường thẳng d2 tiếp xúc tại một điểm.

⇒ Đường cong (P) và đường thẳng d3 không cắt nhau.

4. Bài tập dạng 4: Xác định giá trị tham số m sao cho điều kiện được thỏa mãn.

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức về hàm số và đồ thị hàm số, kết hợp với việc vẽ đồ thị để áp dụng các tính chất hình học như tam giác vuông, tam giác cân, định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Ví dụ 1: Xác định giá trị của m để đường thẳng d: y = 2x + m + 1 cắt hai trục Ox và Oy tại các điểm A và B sao cho đoạn OA bằng đoạn OB.

Hướng dẫn giải:

Khi x = 0 thì y = m + 1, do đó B(0; m + 1) nằm trên trục Oy.

Khi ( m = -1 ), ta có OA = OB.

Ví dụ 2: Xét đường thẳng ( d: y = mx + 1 ) (với ( m eq 0 )). Biết rằng d cắt trục Ox và Oy tại hai điểm A và B. Tìm giá trị của ( m ) để diện tích của tam giác OAB bằng 1.

Hướng dẫn giải:

Khi ( x = 0 ), ( y = 1 ) nên B(0; 1) nằm trên Oy.

OB = |1| = 1

5. Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường thẳng và Parabol

Phương pháp giải quyết:

- Số nghiệm của phương trình (*) tương đương với số điểm giao của đường thẳng với parabol. Ngược lại, số điểm giao của đường thẳng và parabol phản ánh số nghiệm của phương trình hoành độ của điểm giao.

b) Biết rằng một điểm giao có hoành độ là 3. Tìm giá trị của tham số m.

Hướng dẫn cách giải:

Do đó, giá trị của m là 0