Các dạng toán rút gọn cho kỳ thi lớp 10 với lời giải chi tiết và dễ hiểu

Buzz

Nội dung bài viết

1. Dạng 1: Xác định điều kiện của biểu thức

2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức không chứa căn bậc hai và phân thức đại số

3. Dạng 3: Tính giá trị biểu thức khi biết giá trị của biến

4. Dạng 4: Tính giá trị của biến sao cho biểu thức thỏa mãn điều kiện đã cho

5. Xác định giá trị nguyên của biến sao cho biểu thức có giá trị nguyên

6. Dạng 6: Chứng minh biểu thức thỏa mãn điều kiện đã cho

7. Dạng 7: Xác định giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

8. Các bài tập tự luyện

Xem thêm

Dưới đây là các dạng toán rút gọn ôn tập cho kỳ thi lớp 10 cùng bài tập và giải thích chi tiết

1. Dạng 1: Xác định điều kiện của biểu thức

a) Phương pháp

Để xác định điều kiện của biểu thức, ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Xác định điều kiện của biểu thức và chú ý đến một số kiến thức quan trọng

Bước 2: Giải quyết các điều kiện và kết hợp chúng lại với nhau

Bước 3: Đưa ra kết luận

b) Bài tập

Bài 1: Xác định điều kiện của biểu thức

P = rac{sqrt{x}}{sqrt{x} - 1} + rac{3}{sqrt{x}+1}-rac{6sqrt{x}-4}{x-1}

Hướng dẫn giải chi tiết:

P = rac{sqrt{x}}{sqrt{x} - 1} + rac{3}{sqrt{x}+1}-rac{6sqrt{x}-4}{x-1}= rac{sqrt{x}}{sqrt{x}-1}+rac{3}{sqrt{x}+1}-rac{6sqrt{x}-4}{(sqrt{x}-1)(sqrt{x}+1)}

Điều kiện cần có:

$left{egin{matrix} x geq 0 & & \ sqrt{x} -1 eq 0& & \ sqrt{x}+1 eq 0& & end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} xgeq 0 & & \ sqrt{x} eq 1& & \ sqrt{x} eq -1& & end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} xgeq 0 & \ x eq 1 & end{matrix} ight.$

2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức không chứa căn bậc hai và phân thức đại số

a) Phương pháp

Bước 1: Xác định điều kiện của biểu thức.

Bước 2: Tìm mẫu số chung, quy đồng mẫu số, rút gọn tử số, và phân tích tử số thành nhân tử.

Trong bước này, chúng ta thường áp dụng các hằng đẳng thức để phân tích, chẳng hạn như sử dụng hằng đẳng thức:

$A^{2} - B^{2} = left ( A-B ight )left ( A+B ight )$ $x -1 = left ( sqrt{x} ight )^{2} -1^{2} = left ( sqrt{x} -1 ight )left ( sqrt{x} +1 ight )$ $x-4 = left ( sqrt{x} ight )^{2} - 2^{2}= left ( sqrt{x} -2 ight )left ( sqrt{x} +2 ight )$

Áp dụng hằng đẳng thức

$A^{3} -B^{3} = left ( A-B ight )(A^{2}+AB +B^{2})$ $xsqrt{x} - 1 = left ( sqrt{x} ight )^{3} - 1^{3} = left ( sqrt{x} -1 ight )left ( x+sqrt{x} +1 ight )$

Áp dụng hằng đẳng thức

$A^{3} + B^{3} = (A+B)left ( A^{2}-AB +B^{2} ight )$ $xsqrt{x} + 1 = left ( sqrt{x} ight )^{3} + 1^{3} = left ( sqrt{x} +1 ight )left ( x-sqrt{x} +1 ight )$

Áp dụng hằng đẳng thức

$left ( A-B ight )^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2}$ $x - 4sqrt{x} + 4 = (sqrt{x})^{2} - 2 cdot sqrt{x} cdot 2 + 2^{2} = left ( sqrt{x} - 2 ight )^{2}$

Áp dụng hằng đẳng thức

$left ( A + B ight )^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}$ $x + 6sqrt{x} + 9 = left ( sqrt{x} ight )^{2} + 2 cdot sqrt{x} cdot 3 + 3^{2} = left ( sqrt{x} + 3 ight )^{2}$

Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của cả tử và mẫu

Bước 4: Khi phân thức đạt dạng tối giản thì việc rút gọn đã hoàn tất

b) Bài tập

Rút gọn biểu thức

P = left ( rac{2}{sqrt{x}-2} + rac{sqrt{x}-1}{2sqrt{x}-x}
ight) : left ( rac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}} - rac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}-2}
ight )

Hướng dẫn giải:

P = left ( rac{2}{sqrt{x}-2} - rac{sqrt{x} - 1}{x-2sqrt{x}}
ight) : left ( rac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}} - rac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}-2}
ight )

P = left ( rac{2}{sqrt{x}-2} - rac{sqrt{x} - 1}{sqrt{x} left ( sqrt{x}-2
ight )}
ight) : left ( rac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}} - rac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}-2}
ight )

P = left ( rac{2sqrt{x} - sqrt{x} + 1}{sqrt{x}(sqrt{x} - 2)}
ight) : left ( rac{(sqrt{x}+2)(sqrt{x}-2) - sqrt{x} (sqrt{x} - 1)}{sqrt{x} (sqrt{x} - 2)}
ight)

P = rac{sqrt{x}+1}{sqrt{x} (sqrt{x} - 2)} : rac{x - 4 - x + sqrt{x}}{sqrt{x} (sqrt{x} - 2)}

P = rac{sqrt{x}+1}{sqrt{x} (sqrt{x} - 2)} : rac{sqrt{x} - 4}{sqrt{x} (sqrt{x} - 2)}

P = rac{sqrt{x}+1}{sqrt{x} (sqrt{x} - 2)} cdot rac{sqrt{x} (sqrt{x} - 2)}{sqrt{x} - 4} = rac{sqrt{x}+1}{sqrt{x} - 4}

Kết quả của việc rút gọn biểu thức là:

3. Dạng 3: Tính giá trị biểu thức khi biết giá trị của biến

a) Phương pháp

Bài toán: Tính giá trị của biểu thức P(x) khi x = a (a là số thực)

Hướng dẫn giải:

+ Nếu biểu thức P(x) đã được rút gọn, thay x bằng a và tính toán

+ Nếu biểu thức P(x) chưa được rút gọn, trước tiên rút gọn P(x) rồi thay x bằng a và tính

Chú ý: Đôi khi cần phải biến đổi số thực a trước khi thay vào biểu thức P(x)

b) Bài tập: Cho biểu thức

P = left ( rac{1}{sqrt{x}} + rac{sqrt{x}}{sqrt{x}(sqrt{x}+1)}
ight )

với x > 0

Tính giá trị của P khi x = 4

Hướng dẫn giải:

Xác định x = 4

P = left ( rac{1}{sqrt{x}} + rac{sqrt{x}}{sqrt{x}+1}
ight) : rac{sqrt{x}}{sqrt{x}(sqrt{x}+1)}

P = left ( rac{sqrt{x} + 1 + x}{sqrt{x} (sqrt{x} + 1)}
ight) : rac{sqrt{x}}{sqrt{x} (sqrt{x} + 1)}

P = rac{sqrt{x} + 1 + x}{sqrt{x} (sqrt{x} + 1)} cdot rac{sqrt{x} (sqrt{x} + 1)}{sqrt{x}}

Khi x = 4 thì

P = rac{sqrt{x} + 1 + x}{sqrt{x}} = rac{sqrt{4} + 1 + 4}{sqrt{4}} = rac{7}{2}

4. Dạng 4: Tính giá trị của biến sao cho biểu thức thỏa mãn điều kiện đã cho

a) Phương pháp

Bài toán 1: Tìm giá trị x để P(x) = Q (Q có thể là một số hoặc một biểu thức chứa biến tương tự P)

Cách giải:

Bước 1: Xác định điều kiện cho P(x)

Bước 2: Giải phương trình P(x) = Q để tìm giá trị x

Bước 3: So sánh các nghiệm với điều kiện; chọn nghiệm hợp lệ, loại bỏ nghiệm không thỏa mãn

Bài toán 2: Tìm giá trị x sao cho P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, hoặc P(x) ≤ a (Q có thể là một số hoặc một biểu thức chứa biến giống như P)

Cách giải:

Bước 1: Xác định điều kiện xác thực cho P(x)

Bước 2: Giải bất phương trình P(x) > a, P(x) < a, P(x) ≥ a, P(x) ≤ a để tìm giá trị x

Bước 3: Kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện; nhận nghiệm nếu hợp lệ, loại bỏ nghiệm không phù hợp

b) Bài tập:

Hướng dẫn giải:

P = -√x ⇔ rac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}+2} = -√x

t = rac{-3 + sqrt{13}}{2} Rightarrow sqrt{x} = rac{-3 + sqrt{13}}{2}

⇔ x = left ( rac{-3 + sqrt{13}}{2}
ight )² = rac{22 - 6sqrt{13}}{4} = rac{11 - 3sqrt{13}}{2}

5. Xác định giá trị nguyên của biến sao cho biểu thức có giá trị nguyên

a) Phương pháp

Bước 1: Xác định điều kiện có thể của P(x)

Bước 2: Để biểu thức q có giá trị nguyên, Q(x) cần phải là ước của a. Dựa vào đó, tìm giá trị của x

Bước 3: So sánh giá trị x tìm được với điều kiện; nếu x thỏa mãn điều kiện thì chấp nhận, nếu không thì loại bỏ

- Trường hợp 2: Nếu q(A(x), B(x)) là các biểu thức trong đó bậc của A(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của B(x), thực hiện như sau

Bước 1: Xác định điều kiện có thể của P(x)

Bước 2: Chia A(x) cho B(x) để chuyển P(x) về dạng q (với a là số thực)

Bước 3: Thực hiện giống như trong trường hợp 1

b) Bài tập:

Hướng dẫn giải:

sqrt{x} + 1 = -3 Leftrightarrow sqrt{x} = -4

sqrt{x} + 1 = -1 Leftrightarrow sqrt{x} = -2

sqrt{x} + 1 = 3 Leftrightarrow sqrt{x} = 2 Leftrightarrow x = 4

sqrt{x} + 1 = 1 Leftrightarrow sqrt{x} = 0

Với x = 0 và x = 4, biểu thức P là số nguyên

6. Dạng 6: Chứng minh biểu thức thỏa mãn điều kiện đã cho

a) Phương pháp

Để chứng minh biểu thức P đáp ứng yêu cầu đã đề ra, thực hiện các bước sau

+ Bước 1: Xác định điều kiện cho P

+ Bước 2: Đơn giản hóa P nếu cần thiết

+ Bước 3: Chứng minh biểu thức đáp ứng yêu cầu đề bài

b) Bài tập

A = rac{x+2}{xsqrt{x}-1} + rac{sqrt{x}+1}{x+sqrt{x}+1} - rac{1}{sqrt{x}-1}

Hướng dẫn giải:

Ta có:

= rac{x+2}{(sqrt{x}-1)(x+sqrt{x}+1)} + rac{sqrt{x}+1}{x+sqrt{x}+1} - rac{1}{sqrt{x}-1}

Rút gọn biểu thức

A = rac{x+2+left ( sqrt{x}+1
ight )left ( sqrt{x}-1
ight )-left ( x+sqrt{x}+1
ight )}{left ( sqrt{x}-1
ight )(x +sqrt{x}+1)}

A = rac{x+2+x-1-x-sqrt{x}-1}{left ( sqrt{x}-1
ight )(x +sqrt{x}+1)}

A = rac{x-sqrt{x}}{(sqrt{x}-1)(x+sqrt{x}+1)}

= rac{sqrt{x}(sqrt{x}-1)}{(sqrt{x}-1)(x+sqrt{x}+1)}rac{sqrt{x}}{x+sqrt{x}+1}

Ta có

A < rac{1}{3} Leftrightarrow rac{sqrt{x}}{x+sqrt{x}+1} < rac{1}{3} (*)

rac{3(x+sqrt{x}+1)}{x+sqrt{x}+1} < rac{3(x+sqrt{x}+1)}{3}

Leftrightarrow 3sqrt{x} < x + sqrt{x} + 1

7. Dạng 7: Xác định giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

a) Phương pháp

Cách 1: Chuyển biểu thức thành tổng hoặc hiệu của một biểu thức không âm và một hằng số

- Khi biến đổi biểu thức thành tổng của một biểu thức không âm và một hằng số, ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất.

- Khi biểu thức trở thành hiệu của một hằng số và một biểu thức không âm, ta có thể xác định giá trị lớn nhất.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si

Với hai số không âm a và b, ta có:

Dấu ‟ = ” xuất hiện khi a = b

Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức với giá trị tuyệt đối

egin{vmatrix} a end{vmatrix} + egin{vmatrix} b end{vmatrix} geq egin{vmatrix} a+b end{vmatrix}

Dấu ‟ = ” xảy ra khi a và b cùng dấu hoặc một trong hai giá trị là 0

b) Bài tập

Hướng dẫn chi tiết giải:

Leftrightarrow sqrt{x} geq 0 Leftrightarrow sqrt{x} + 2 geq 2

Leftrightarrow rac{1}{sqrt{x}+2} leq rac{1}{2} Leftrightarrow rac{3}{sqrt{x}+2} leq rac{3}{2}

Dấu '=' xảy ra khi x = 0

8. Các bài tập tự luyện

Bài tập 1: Xét biểu thức

P = left ( 1 - rac{1}{sqrt{x}}
ight ) div left ( rac{sqrt{x} - 1}{sqrt{x}} + rac{1 - sqrt{x}}{x + sqrt{x}}
ight )

a) Đơn giản hóa biểu thức P

x = sqrt{2022 + 4 sqrt{2018}} - sqrt{2022 - 4 sqrt{2018}}

Bài tập 2:

B = rac{sqrt{x} - 1}{sqrt{x} - 3} - rac{7 sqrt{x} - 9}{x - 9}

b) Đơn giản hóa biểu thức A

Bài tập 3: Cho biểu thức

P = left ( rac{4 sqrt{x}}{2 + sqrt{x}} + rac{8x}{4 - x}
ight ) : left ( rac{sqrt{x} - 1}{x - 2 sqrt{x}} - rac{2}{sqrt{x}}
ight )

a) Đơn giản hóa P

b) Xác định giá trị của x sao cho P = -1

Bài tập 4:

B = left ( rac{sqrt{x}}{sqrt{x} + 4} + rac{4}{sqrt{x} - 4}
ight ) : rac{x + 16}{sqrt{x} + 2}

3) Đối với các biểu thức A và B đã nêu, xác định giá trị nguyên của x sao cho B(A-1) là một số nguyên

Bài tập 5: Với x > 0, xét hai biểu thức

B = rac{sqrt{x} - 1}{sqrt{x}} + rac{2sqrt{x} + 1}{x + sqrt{x}}

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64

b) Rút gọn biểu thức B

Bài tập 6: Xét biểu thức

P = rac{x + 2}{xsqrt{x} + 1} + rac{sqrt{x} - 1}{x - sqrt{x} + 1} - rac{sqrt{x} - 1}{x - 1}

a. Rút gọn biểu thức P

egin{vmatrix} P end{vmatrix} = rac{2}{3}

c. Chứng minh rằng với các giá trị của x để P được xác định thì P < 1

Bài tập 7:

P = left ( rac{1}{sqrt{x}} + rac{sqrt{x}}{sqrt{x} + 1}
ight ) : rac{sqrt{x}}{x + sqrt{x}}

a. Rút gọn biểu thức P

b. Tính giá trị của P khi x = 4

Bài tập 8:

P = rac{2x + 2}{sqrt{x}} + rac{xsqrt{x} - 1}{x - sqrt{x}} - rac{xsqrt{x} + 1}{x + sqrt{x}}

a. Đơn giản hóa biểu thức P

b. So sánh giá trị của P với 5

Bài tập 9:

M = left ( rac{1}{sqrt{x} - 1} - rac{1}{xsqrt{x} - 1}
ight ) cdot rac{3sqrt{x} - 3}{x + sqrt{x}}; x > 0, x
eq 1

a. Đơn giản hóa M

b. Tìm các giá trị nguyên của x để M trở thành số nguyên

Bài tập 10:

P = left ( rac{sqrt{x}}{sqrt{x} - 1} - rac{sqrt{x}}{x - 1}
ight ) div left ( rac{2}{x} - rac{2 - x}{x(sqrt{x} + 1)}
ight )

a. Đơn giản hóa biểu thức P

b. Tìm giá trị x sao cho P = 2

Bài tập 11:

a) Đơn giản hóa P

Bài tập 12:

M = rac{2sqrt{x} - 9}{x - 5sqrt{x} + 6} + rac{2sqrt{x} + 1}{sqrt{x} - 3} + rac{sqrt{x + 3}}{2 - sqrt{x}}

a) Xác định điều kiện của x để M xác định và đơn giản hóa M

b) Tìm giá trị của x sao cho M = 5

c) Xác định các giá trị nguyên của x để M là số nguyên

Bài tập 13:

A = rac{sqrt{x}}{sqrt{x} + 3} + rac{2sqrt{x}}{sqrt{x} - 3} - rac{3x + 9}{x - 9}

$x eq 9$

a) Đơn giản hóa biểu thức A

Bài tập 14:

A = rac{x + 1 - 2sqrt{x}}{sqrt{x} - 1} + rac{x + sqrt{x}}{sqrt{x + 1}}

a) Xác định điều kiện để biểu thức A có nghĩa

b) Đơn giản hóa biểu thức A

c) Tìm các giá trị của x sao cho A < -1

Bài tập 15:

A = left ( rac{xsqrt{x} - 1}{x - sqrt{x}} - rac{xsqrt{x} + 1}{x + sqrt{x}}
ight ): left ( 1 - rac{3 - sqrt{x}}{sqrt{x} + 1}
ight )

a) Xác định điều kiện xác định của biểu thức A

b) Đơn giản hóa biểu thức A

d) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A là một số nguyên

e) Tìm giá trị của x sao cho A = -3

f) Xác định giá trị của x sao cho biểu thức A nhỏ hơn -1

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]