Các hàm số cơ bản

Trong toán học, hàm số cơ bản là các hàm đơn biến được tạo ra từ các phép toán cơ bản như (+ – × ÷), hàm mũ, logarit, hằng số và các nghiệm của phương trình đại số (bao gồm căn bậc n).

Danh sách các hàm số cơ bản (với x) bao gồm:

• Hàm lũy thừa của $x\text{: }x,x^2,x^3,$....
• Căn bậc của $x\text{: }\sqrt{x},\sqrt[3]{x},$....
• Hàm mũ: $e^x$
• Logarit: $\log <!--\; \; -->x$
• Hàm lượng giác: $\sin <!--\; \; -->x,\cos <!--\; \; -->x,$....
• Hàm lượng giác ngược: $\arcsin <!--\; \; -->x,\arccos <!--\; \; -->$
  x , {displaystyle arcsin x, arccos x,} ....
• Hàm Hyperbolic: $\sinh <!--\; \; -->x,\cosh <!--\; \; -->x,$....
• Tất cả các hàm số khác có thể được xây dựng từ các hàm số cơ bản bằng cách thay thế x bằng bất kỳ hàm số cơ bản nào khác.
• Các hàm số cơ bản cũng có thể được kết hợp qua các phép toán cộng, trừ, nhân và chia để tạo thành các hàm số mới.

Dựa trên định nghĩa trên, các hàm cơ bản là đóng đối với các phép toán số học và phép hợp hàm. Tuy nhiên, chúng không đóng đối với phép tính giới hạn và chuỗi (tổng vô hạn).

Lưu ý rằng tập hợp các hàm số cơ bản không bao gồm phép nguyên hàm, điều này đã được chứng minh qua định lý Liouville. Thêm thông tin về các nguyên hàm không cơ bản có thể được tham khảo.

Một số hàm số cơ bản như hàm căn, logarit hay hàm lượng giác ngược không có định nghĩa trên toàn bộ mặt phẳng phức và có thể cho nhiều giá trị khác nhau.

Các hàm số cơ bản lần đầu được Joseph Liouville trình bày qua một loạt bài viết từ năm 1833 đến 1841. Sau đó, Joseph Fels Ritt đã mở rộng nghiên cứu về chúng vào những năm 1930.

Các ví dụ tiêu biểu

Những ví dụ điển hình của hàm số cơ bản bao gồm:

• Phép cộng, ví dụ: (x+1)
• Phép nhân, ví dụ: (2x)
• Hàm đa thức
• $\frac{e^{\tan <!--\; \; -->x}}{1+x^2}\sin <!--\; \; -->\left(\sqrt{1+(\ln <!--\; \; -->x{)}^2}\right)$
• $-<!--\; -\; -->i\ln <!--\; \; -->(x+i\sqrt{1-<!--\; -\; -->x^2})$

Hàm số cuối cùng tương đương với $\arccos <!--\; \; -->x$, một hàm lượng giác ngược, trên toàn mặt phẳng phức. Do đó, nó là một hàm cơ bản.

Các hàm số không cơ bản

Một ví dụ của hàm số không cơ bản là hàm sai số

• $erf\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}{\int <!--\; \int \; -->}_0^x{e}^{-<!--\; -\; -->t^2}dt,$

Mặc dù điều này không thể nhận thấy ngay lập tức, nhưng có thể được chứng minh bằng cách sử dụng Thuật toán Risch.

• Có thể tham khảo thêm các ví dụ khác trong các tài liệu về Hàm số Liouville và Nguyên hàm không cơ bản.

• Biểu thức dạng đóng
• Định lý vi phân Galois
• Hàm số đại số
• Hàm số siêu việt

Ghi chú

Các tài liệu tham khảo

• Liouville, Joseph (1833a). “Bài báo đầu tiên về việc xác định các tích phân có giá trị đại số”. Tạp chí Trường Polytechnique. tập XIV: 124–148.
• Liouville, Joseph (1833b). “Bài báo thứ hai về việc xác định các tích phân có giá trị đại số”. Tạp chí Trường Polytechnique. tập XIV: 149–193.
• Liouville, Joseph (1833c). “Ghi chú về việc xác định các tích phân có giá trị đại số”. Tạp chí Toán học thuần túy và ứng dụng. 10: 347–359.
• Ritt, Joseph (1950). Đại số vi phân. AMS.
• Rosenlicht, Maxwell (1972). “Tích phân trong các thuật toán hữu hạn”. Tạp chí Toán học Mỹ. 79 (9): 963–972. doi:10.2307/2318066. JSTOR 2318066.

Các tài liệu nâng cao

• Davenport, J. H.: Ý nghĩa của việc 'Hiểu một hàm' có thể là gì. Trong: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Hướng tới Các Trợ lý Toán học Cơ khí. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, tr. 55-65. [1]

Các liên kết ngoài

• Các hàm cơ bản tại Bách khoa toàn thư Toán học
• Weisstein, Eric W., 'Hàm cơ bản' từ MathWorld.