Buzz
Hằng đẳng thức là những công thức toán học được sử dụng thường xuyên, giúp giải toán nhanh chóng và chính xác hơn. Trong chương trình toán học THCS, có 7 đẳng thức đáng nhớ đóng vai trò vô cùng quan trọng, được coi như “chìa khóa” để thành công trong môn đại số và 7 đẳng thức này bao gồm:
- Bình phương hiệu số
- Bình phương tổng số
- Hiệu của hai bình phương
- Lập phương tổng số
- Lập phương hiệu số
- Tổng của hai lập phương
- Hiệu của hai lập phương
Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết về từng hằng đẳng thức, bao gồm các công thức, cách chứng minh, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng. Qua đó, bạn sẽ hiểu rõ hơn về kiến thức và có thể áp dụng thành thạo các đẳng thức này trong quá trình học tập.
7 đẳng thức hằng đáng nhớ
Trong danh sách các công thức toán học cần nhớ, 7 đẳng thức hằng đáng này là quan trọng vì chúng giúp giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả. Những đẳng thức này là chìa khóa giúp làm giảm độ khó của các bài toán dài và phức tạp.
Đẳng thức bình phương của một hiệu
1. Công thức hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:
Bình phương của một hiệu của hai số a và b có thể được biểu diễn như sau: (a – b)² = a² – 2ab + b²
2. Cách chứng minh công thức hằng đẳng bình phương của một hiệu
Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp khai triển trực tiếp
(a – b)² = (a – b)(a – b)
= a² – ab – ab + b²
= a² – 2ab + b²
Phương pháp 2: Sử dụng hình vuông
Vẽ một hình vuông có cạnh là (a – b). Chia hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ, trong đó có 1 hình vuông lớn có cạnh a và 3 hình vuông nhỏ có cạnh b.
Diện tích của hình vuông lớn là: (a – b)²
Diện tích của 4 hình vuông nhỏ là: a² + b² + b² + b²
Do đó: (a – b)² = a² + b² + b² + b² – a²
= a² – 2ab + b²
3. Ví dụ về bài toán sử dụng công thức hằng đẳng bình phương của một hiệu
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x – 2)² – (x – 3)²
Giải:
(x – 2)² – (x – 3)² = (x² – 4x + 4) – (x² – 6x + 9)
= x² – 4x + 4 – x² + 6x – 9
= 2x – 5
Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a – b)² ≥ 0
Giải:
(a – b)² = a² – 2ab + b²
= a² – 2ab + b² + 2ab – b²
= (a – b)² + 2ab – b²
Vì (a – b)² luôn không nhỏ hơn 0 với mọi a, b.
Do đó, (a – b)² + 2ab – b² ≥ 0
Suy ra: (a – b)² ≥ 0
Bài toán 3: Tìm giá trị của x sao cho biểu thức: Q = x² – 8x + 17 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Q = x² – 8x + 17
= (x² – 8x + 16) + 1
= (x – 4)² + 1
Vì (x – 4)² luôn không nhỏ hơn 0 với mọi x.
Do đó, Q = (x – 4)² + 1 luôn không nhỏ hơn 1.
Dấu “=” xảy ra khi x = 4.
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 1 khi x = 4.
Hằng đẳng thức bình phương của một tổng
1. Công thức hằng đẳng thức bình phương của một tổng:
Bình phương của một tổng của hai số a và b có thể được viết là: (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Phương pháp chứng minh hằng đẳng thức bình phương của một tổng
Phương pháp 1: Sử dụng phương pháp khai triển trực tiếp
(a + b)² = (a + b)(a + b)
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
Phương pháp 2: Sử dụng hình vuông
Vẽ một hình vuông có cạnh là (a + b). Chia hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ, mỗi hình vuông có cạnh là a và b.
Diện tích của hình vuông lớn là: (a + b)²
Diện tích của 4 hình vuông nhỏ là: a² + a² + b² + b²
Suy ra: (a + b)² = a² + a² + b² + b² = a² + 2ab + b²
3. Ví dụ về bài toán sử dụng công thức hằng đẳng bình phương của một tổng
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 3)² – (x – 2)²
Giải:
(x + 3)² – (x – 2)² = (x² + 6x + 9) – (x² – 4x + 4)
= x² + 6x + 9 – x² + 4x – 4
= 10x + 5
Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a + b)² ≥ 4ab
Giải:
(a + b)² – 4ab = a² + 2ab + b² – 4ab
= a² – 2ab + b²
= (a – b)² ≥ 0
Vì (a – b)² luôn không âm với mọi a, b.
Do đó, (a + b)² – 4ab ≥ 0
Suy ra: (a + b)² ≥ 4ab
Bài toán 3: Tìm giá trị của x để biểu thức: P = x² – 4x + 5 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
P = x² – 4x + 5
= (x² – 4x + 4) + 1
= (x – 2)² + 1
Vì (x – 2)² luôn không âm với mọi x.
Do đó, P = (x – 2)² + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 1.
Dấu “=” xuất hiện khi x = 2.
Vì vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi x = 2.
Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương
1. Công thức HĐT hiệu hai bình phương:
Hiệu hai bình phương của hai số a và b được biểu diễn là: a² – b² = (a – b)(a + b)
2. Phương pháp chứng minh HĐT hiệu hai bình phương
Phương pháp sử dụng khai triển trực tiếp:
a² – b² = (a + b)(a – b)
= a² + ab – ab – b²
3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT hiệu hai bình phương
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 5)² – (x – 2)²
Giải:
(x + 5)² – (x – 2)² = ((x + 5) – (x – 2))((x + 5) + (x – 2))
= (x + 5 – x + 2)(x + 5 + x – 2)
= 7(2x + 3)
= 14x + 21
Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a + b)² – (a – b)² = 4ab
Giải:
(a + b)² – (a – b)² = ((a + b) – (a – b))((a + b) + (a – b))
= (a² + 2ab + b²) – (a² – 2ab + b²)
= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²
= 4ab
Bài toán 3: Tính 56.64
Giải: Ta có 56.64 = (60 – 4)(60 + 4) = 60² – 4² = 3600 – 16 = 3584
Bài toán 4: Tính (x – 2)(x + 2)
Giải: (x – 2)(x + 2) = x² – 2² = x² – 4
Hằng đẳng thức lập phương của một tổng
1. Công thức HĐT lập phương của một tổng:
Lập phương của một tổng hai số a và b được viết là: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
2. Cách chứng minh HĐT lập phương của một tổng
Cách sử dụng khai triển trực tiếp
(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b)
= a³ + a²b + a²b + ab² + ab² + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT lập phương của một tổng
Bài toán 1:
Tính giá trị của biểu thức: (x – 2)³ + (x + 1)³
Giải:
(x – 2)³ + (x + 1)³ = (x³ – 6x² + 12x – 8) + (x³ + 3x² + 3x + 1)
= x³ – 6x² + 12x – 8 + x³ + 3x² + 3x + 1
= 2x³ – 3x² + 15x – 7
Bài toán 2: Chứng minh rằng:
(a + b)³ – a³ – b³ = 3a²b + 3ab²
Giải:
(a + b)³ – a³ – b³ = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – a³ – b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ – b³
= 3a²b + 3ab²
Bài 3: Tìm giá trị của x để biểu thức: P = x³ – 9x² + 27x – 27 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
P = x³ – 9x² + 27x – 27
= (x³ – 9x² + 27x – 27) + 1
= (x – 3)³ + 1
Vì (x – 3)³ luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x.
Do đó, P = (x – 3)³ + 1 luôn lớn hơn hoặc bằng 1.
Dấu “=” xảy ra khi x = 3.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi x = 3.
Hằng đẳng thức lập phương của một hiệu
1. Công thức HĐT lập phương của một hiệu:
Công thức:
Lập phương của một hiệu hai số a và b được viết là: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
2. Cách chứng minh HĐT lập phương của một hiệu
Cách sử dụng khai triển trực tiếp
(a – b)³ = (a – b)(a – b)(a – b)
= a³ – ab – ab + b² – ab – b² – b³
= a³ – 3a²b + 3ab² – b³
3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT lập phương của một hiệu
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 3)³ – (x – 2)³
Giải:
(x + 3)³ – (x – 2)³ = (x³ + 9x² + 27x + 27) – (x³ – 6x² + 12x – 8)
= x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ + 6x² – 12x + 8
= 15x² + 15x + 35
Bài toán 2: Chứng minh rằng: (a – b)³ + a³ – b³ = 3a²b – 3ab²
Giải:
(a – b)³ + a³ – b³ = (a³ – 3a²b + 3ab² – b³) + a³ – b³
= a³ – 3a²b + 3ab² – b³ + a³ – b³
= 3a²b – 3ab²
Hằng đẳng thức tổng hai lập phương
1. Công thức HĐT tổng hai lập phương:
Công thức:
Tổng hai lập phương của hai số a và b được viết là: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
2. Cách chứng minh HĐT tổng hai lập phương
Cách sử dụng khai triển trực tiếp
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
= a³ + a²b – ab² + ab² + b³
= a³ + b³
3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT tổng hai lập phương
Bài toán 1:
Tính giá trị của biểu thức: (x – 1)³ + (x + 2)³
Giải:
(x – 1)³ + (x + 2)³ = (x³ – 3x² + 3x – 1) + (x³ + 6x² + 12x + 8)
= 2x³ + 3x² + 15x + 7
= 2x³ + 3x² + 15x + 7
Bài 2: Chứng minh rằng: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
Giải:
Cách 1:
- Xét a = 0 và b = 0, ta có: 0³ + 0³ = (0 + 0)(0² – 0.0 + 0²)
=> 0 = 0.0² = 0
- Xét a = 1 và b = 1, ta có: 1³ + 1³ = (1 + 1)(1² – 1.1 + 1²)
=> 2 = 2.1² = 2
- Xét a = -1 và b = -1, ta có: (-1)³ + (-1)³ = (-1 + -1)(-1² – (-1).(-1) + (-1)²)
=> -2 = -2.1² = -2
- Xét a = a và b = -a, ta có: a³ + (-a)³ = (a + (-a))(a² – a.(-a) + (-a)²)
=> 0 = 0.a² = 0
Vì các trường hợp trên đều đúng, nên ta có thể kết luận rằng:
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
Cách 2:
- Ta có: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
=> a³ + b³ = (a – b)³ + 3a²b – 3ab²
= (a – b)(a² – ab + b²) + 3ab(a – b)
= (a – b + 3ab)(a² – ab + b²)
- Xét a + 3ab = 0, ta có: a³ + b³ = (a – b + 3ab)(a² – ab + b²) = 0
=> a³ = -b³
=> a = -b
- Xét a + 3ab ≠ 0, ta có: a³ + b³ ≠ 0
=> a – b ≠ 0
=> a² – ab + b² ≠ 0
=> (a – b + 3ab)(a² – ab + b²) ≠ 0
Do đó, có thể suy ra:
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
Hằng đẳng thức hiệu hai lập phương
1. Công thức HĐT hiệu hai lập phương:
Công thức: Hiệu hai lập phương của hai số a và b được biểu diễn là: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
2. Cách chứng minh HĐT hiệu hai lập phương
Cách sử dụng khai triển trực tiếp
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
= a³ – ab – ab + b² + ab + b³
= (x + 2)³ – (x – 1)³
3. Bài toán liên quan đến công thức HĐT hiệu hai lập phương
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức: (x + 2)³ – (x – 1)³
Giải:
= (x + 2)³ – (x – 1)³
= x³ + 6x² + 12x + 8 – x³ + 3x² – 3x + 1
= 9x² + 9x + 9
= 9(x² + x + 1)
Bài toán 2: Chứng minh rằng: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Cách 1:
- Xét a = 0 và b = 0, ta có: 0³ – 0³ = (0 – 0)(0² + 0.0 + 0²)
=> 0 = 0.0² = 0
- Xét a = 1 và b = 1, ta có: 1³ – 1³ = (1 – 1)(1² + 1.1 + 1²)
=> 0 = 0.1² = 0
- Xét a = -1 và b = -1, ta có: (-1)³ – (-1)³ = (-1 – (-1))(-1² – (-1).(-1) + (-1)²)
=> 0 = 0.1² = 0
- Xét a = a và b = -a, ta có: a³ – (-a)³ = (a – (-a))(a² – a.(-a) + (-a)²)
=> 2a³ = 2a.a² = 2a³
=> 0 = 0
Vì các trường hợp trên đều đúng, nên ta có thể kết luận rằng:
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Cách 2:
- Ta có: (a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b²
= a² – b²
- Thay b = -a, ta có:
(a + (-a))(a – (-a)) = a² – (-a)²
= a² – a²
= 0
- Do (a + b)(a – b) = a³ – b³, ta có:
a³ – b³ = 0
=> a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
Ứng dụng của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Với những hằng đẳng thức đáng nhớ ta có thể áp dụng khi giải một số dạng bài tập toán như sau:
- Áp dụng trực tiếp bằng các hằng đẳng thức để thực hiện phép tính, tính giá trị các biểu thức số.
- Áp dụng các hằng đẳng thức để thu gọn biểu thức và chứng minh các đẳng thức.
- Áp dụng các hằng đẳng thức để giải bài toán tìm giá trị của biến và xác định hệ số của đa thức.
- Áp dụng để tính toán các giá trị biểu thức với các biến có điều kiện.
- Chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
- Áp dụng các hằng đẳng thức để giải một số bài toán số học và tổ hợp.
Tạm kết
Hằng đẳng thức là công cụ quan trọng giúp ta giải toán nhanh chóng và chính xác. Việc nắm vững và sử dụng thành thạo các đẳng thức sẽ giúp bạn học tập hiệu quả hơn khi những bài toán sẽ bị “hạ đo ván” một cách thuần thục. Qua nội dung tổng hợp trên của Mytour, hy vọng bạn đọc đã kịp ghi nhớ và sử dụng thành tạo các quy tắc tính toán này. Đây được xem là một phần kiến thức cơ bản cần nắm vững, vì vậy hãy cố gắng nhớ hết tất cả nhé!
