Các khối đa diện hoàn hảo của Platon

Trong toán học, các khối đa diện của Platon là những hình lồi đều. Có đúng năm loại đa diện hoàn hảo theo Platon: tứ diện (tetrahedron), lập phương (hexahedron), bát diện (octahedron), mười hai mặt (dodecahedron) và hai mươi mặt (icosahedron).

Diễn biến lịch sử

Các khối đa diện của Platon đã được biết đến từ thời kỳ cổ đại. Những hình dạng này đã xuất hiện hơn 4000 năm trước và được khắc trên các khối đá.

Những khối đa diện đầu tiên của Platon bao gồm tứ diện (4 mặt), lập phương (6 mặt), bát diện (8 mặt), mười hai mặt (12 mặt) và hai mươi mặt (20 mặt). Chúng được phát hiện ở nhiều khu vực tại Scotland và đóng vai trò quan trọng trong kiến trúc cổ đại.

Mặc dù các khối đa diện đã được biết đến từ lâu, nhưng chỉ cách đây hơn 2500 năm, các quy tắc toán học liên quan đến khối đa diện đều của Platon mới được khám phá và nghiên cứu sâu. Chính Platon, nhà triết học, nhà thiên văn học và hình học vĩ đại của Hy Lạp, đã xác định rằng chỉ có năm loại khối đa diện đều: tứ diện, lập phương, bát diện, mười hai mặt và hai mươi mặt, được gọi chung là các khối Platon. Thú vị hơn, theo Platon, năm khối đa diện này còn đại diện cho các yếu tố cơ bản của vũ trụ.

Chứng minh rằng chỉ có năm khối đa diện đều của Platon là một phần của định lý cổ điển do Leonhard Euler (1707 – 1783) - nhà toán học và vật lý học người Thụy Sĩ - phát triển. Euler là một trong những nhà toán học nổi tiếng nhất thế kỷ 18, với nhiều đóng góp quan trọng trong cả vật lý học và toán học.

Tổng quan

Đặt vấn đề

Dưới đây là phần giới thiệu về các đa diện đều Platon và cách sử dụng đặc trưng Euler để chứng minh rằng chỉ có 5 loại đa diện đều tồn tại.

Các khái niệm cơ bản

Một khối đa diện (H) được xem là đa diện lồi nếu bất kỳ đoạn thẳng nào nối hai điểm bất kỳ của (H) đều nằm trong (H). Khi đó, đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.

Khối đa diện lồi có các đặc điểm sau:
a) Mỗi mặt của khối là một đa giác đều với p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của khối là điểm giao nhau của đúng q mặt. Khối đa diện đều với những đặc điểm này được gọi là khối đa diện đều loại (p,q).

Phân chia tam giác trong một không gian tôpô là việc ánh xạ từ không gian đó vào một không gian con của không gian Euclid thông qua việc ghép nối các tam giác.
Việc ghép nối các tam giác tuân theo các quy tắc sau:

1. Chỉ được ghép nối các tam giác qua các cạnh chung.
2. Hai tam giác có thể chia sẻ một cạnh hoặc một đỉnh chung.

${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\left(X\right)}=V-<!--\; -\; -->E+F$
${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{\left(X\right)}$ là đặc trưng Euler của đa diện X.
Trong đó:
V: số đỉnh của khối đa diện X.
E: số cạnh của khối đa diện X.
F: số mặt của khối đa diện X.

Các khối đa diện Platonic bao gồm 5 loại khối đa diện đều lồi: khối tứ diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều.
Chi tiết như sau:

• Khối tứ diện đều: là một khối Platon với ba mặt hình tam giác xếp quanh mỗi đỉnh.

Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	(p,q)
4	6	4	(3,3)

• Platon mô tả hình dạng của các đa diện như những nguyên tử của lửa.

• Khối lập phương: là một khối Platon với ba mặt hình vuông xung quanh mỗi đỉnh.

Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	(p,q)
8	12	6	(4,3)

• Platon mô tả các hình đa diện có hình dạng như các nguyên tử của đất.

• Khối tám mặt đều: là một khối Platon với bốn mặt hình tam giác bao quanh mỗi đỉnh.

Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	(p,q)
6	12	8	(3,4)

• Platon mô tả các hình đa diện có hình dạng của các nguyên tử của không khí.

• Khối mười hai mặt đều: là khối Platon với mỗi đỉnh được bao quanh bởi ba mặt ngũ giác.

Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	(p,q)
20	30	12	(5,3)

• Platon mô tả hình dạng của đa diện này như các nguyên tử của vũ trụ.

• Khối hai mươi mặt đều: là một khối Platon với năm mặt hình tam giác xung quanh mỗi đỉnh.

Số đỉnh	Số cạnh	Số mặt	(p,q)
12	30	20	(3,5)

• Platon mô tả đa diện này như các nguyên tử của nước.

Chứng minh rằng chỉ có năm khối đa diện đều lồi tồn tại

Chìa khóa để chứng minh điều này là áp dụng đặc trưng Euler.

$V-<!--\; -\; -->E+F=2(\ast <!--\; \ast \; -->)$

Trước hết, ta có mối quan hệ:

$pF=2E=qV$

Thực tế, p là số cạnh của mỗi mặt đa diện, F là số mặt của khối đa diện. Do đó, pF là tổng số cạnh của tất cả các mặt. Mỗi cạnh của đa diện chia sẻ giữa hai mặt, do vậy ta có:

$pF=2E$

Ngược lại, ta biết rằng q là số mặt giao nhau tại một đỉnh, và V là tổng số đỉnh của khối đa diện. Do đó, qV chính là tổng số đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện. Hơn nữa, q cũng là số cạnh gặp nhau tại một đỉnh, và mỗi cạnh kết nối hai đỉnh của đa diện. Do đó:

$qV=2E$

Vậy

$pF=2E=qV\left(1\right)$

Thay (1) vào (*) ta có:

Vì p ≥ 3 và q ≥ 3 (bởi vì mỗi đa diện phải có ít nhất 3 cạnh và ít nhất 3 mặt gặp nhau tại một đỉnh). Nếu p và q đều lớn hơn 3, thì dẫn đến p ≥ 4 và q ≥ 4. Do đó,

Từ kết quả () là không hợp lý. Do đó, p và q không thể đồng thời lớn hơn 3. Suy ra p = 3 và q ≥ 3, hoặc p ≥ 3 và q = 3. Không làm mất tính tổng quát, giả sử p = 3. Thay vào (2), ta có:

Rõ ràng, q là một số nguyên và chỉ có thể nhận các giá trị 3, 4, hoặc 5. Từ đó, ta suy ra E lần lượt là 6, 12, hoặc 30. Tương tự, khi q = 3, ta cũng có p = 3, 4, hoặc 5. Vì vậy, ta thu được năm cặp số (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), và (5,3). Những cặp số này tương ứng với năm loại đa giác đều mà ta cần chứng minh.

Ứng dụng

Ứng dụng trong trò chơi xúc xắc

Khối đa diện đều thường được sử dụng trong các trò chơi xúc xắc may rủi. Trong số đó, xúc xắc 6 mặt (khối lập phương) là phổ biến nhất. Tuy nhiên, cũng có thể sử dụng các loại xúc xắc 4, 8, 12, hoặc 20 mặt như minh họa dưới đây.

Các khối đa diện cũng được ứng dụng trong trò chơi Rubik.

Tứ diện đều Khối lập phương Khối tám mặt đều Khối mười hai mặt đều

(Pyramorphix) (Khối Rubik) (Khối bát diện 4x4x4) (Megaminx)

Trong tự nhiên

Khối tứ diện, lập phương, và khối tám mặt xuất hiện trong tự nhiên dưới dạng cấu trúc tinh thể. Tuy nhiên, không phải tất cả các tinh thể đều có hình dạng là các khối đa diện đều như 4, 6, 8, 12, hay 20 mặt. Không có tinh thể nào có dạng khối mười hai mặt đều hay khối hai mươi mặt đều. Mặc dù khối mười hai mặt đều không tồn tại dưới dạng tinh thể tự nhiên, nhưng có sự xuất hiện của dạng pyritohedron (khối mười hai mặt không đều với các mặt bên không đồng dạng) trong tinh thể pyrit.

Vào đầu thế kỷ 20, Ernst Haeckel đã mô tả (Haeckel, 1904) một số loài Radiolaria (động vật nguyên sinh), trong đó một số có bộ xương được hình thành giống như khối đa diện đều. Ví dụ bao gồm Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus và Circorrhegma dodecahedra.

Nhiều loại virus, chẳng hạn như herpes, có cấu trúc hình dạng của một khối icosahedron đều (khối 20 mặt đều).

Ứng dụng trong ngành xây dựng

Các đa diện Platon được phân loại thành hai nhóm:
+ Các đa diện có các mặt bên là tam giác, được gọi là hệ thanh.
+ Các đa diện có các đỉnh với ba cạnh gặp nhau, được gọi là hệ vỏ.
Những đa diện này có ứng dụng rộng rãi trong xây dựng và kiến trúc, tạo ra các kết cấu chắc chắn, chịu lực tốt và giảm trọng lượng trong các công trình cao tầng lớn.

• [1]
• [2]
• [3]
• [4]
• [5] Lưu trữ ngày 03-02-2014 tại Wayback Machine

Liên kết bên ngoài

• Weisstein, Eric W., 'Khối đa diện Platonic', MathWorld.
• Sách XIII của Euclid's Elements.
• Khối đa diện 3D tương tác Lưu trữ ngày 03-04-2005 tại Wayback Machine bằng Java
• Khối lập phương 3D tương tác Lưu trữ ngày 09-09-2012 tại Wayback Machine
• Khối đa diện Platonic tương tác khi gấp/gỡ Lưu trữ ngày 09-02-2007 tại Wayback Machine bằng Java
• Mô hình giấy của các khối đa diện Platonic được tạo ra bằng phần mềm Stella
• Mô hình giấy miễn phí các khối đa diện Platonic (lưới)
• Các khối đa diện Platonic cho thiền Lưu trữ ngày 25-05-2012 tại Wayback Machine được sử dụng cho thiền và chữa bệnh
• Dạy toán qua nghệ thuật mô hình do học sinh tạo ra
• Dạy toán qua nghệ thuật hướng dẫn cho giáo viên làm mô hình
• Khung hình của các khối đa diện Platonic hình ảnh của các bề mặt đại số
• Các khối đa diện Platonic cùng một số phương trình tính toán