Các kiểu bài tập Giải tích lớp 12 và phương pháp giải đơn giản, hiệu quả

Buzz

Nội dung bài viết

I. Các dạng bài tập về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số và phương pháp giải

II. Các dạng bài tập liên quan đến cực trị của hàm số

III. Xét tính đơn điệu của hàm số

Xem thêm

Chúng tôi sẽ giới thiệu một số loại bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải rõ ràng, dễ hiểu.

I. Các dạng bài tập về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số và phương pháp giải

1. Dạng 1: Áp dụng đạo hàm để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.

- Phương pháp giải.

Bước 1. Xác định tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y' = f'(x). Xác định các giá trị xi (i=1, 2, ..., n) tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các giá trị xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 5. Đưa ra kết luận về các khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến, đồng thời chọn đáp án chính xác nhất.

Ví dụ:

Câu 1: Các khoảng mà hàm số y = -x⁴ + 2x² - 4 giảm là

A. (-1;0) và (1;+∞)

B. (-∞;1) và (1;+∞)

C. (-1;0) và (0;1)

D. (-∞;1) và (0;1)

Chi tiết đáp án:

Tập xác định: D = R.

$y = -4x^{3} + 4x; y'=0Leftrightarrow left{egin{matrix} x=0 & \ x=pm1 & end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên:

Các loại bài tập Giải tích lớp 12 và phương pháp giải dễ hiểu nhất

Kết luận: Hàm số tăng trên các khoảng (-∞;1), (0;1) và giảm trên các khoảng (-1;0), (1;+∞).

Chọn đáp án A

A. Hàm số giảm trên tất cả các khoảng xác định của nó.

B. Hàm số tăng trên toàn bộ tập xác định của nó.

C. Hàm số đồng biến trong từng khoảng mà nó được xác định.

D. Hàm số nghịch biến trong toàn bộ miền xác định của nó.

Chi tiết đáp án:

Miền xác định: D = R{-2}.

Biểu đồ biến thiên

Các kiểu bài tập Giải tích lớp 12 và phương pháp giải đơn giản, dễ hiểu nhất

Kết luận: hàm số đồng biến trong từng khoảng được xác định

Chọn đáp án C

Bài tập thực hành

Câu 1. Xét hàm số y = -x³ + 3x² - 3x + 2. Khẳng định nào sau đây là chính xác?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên toàn bộ R.

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).

C. Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞;1) và nghịch biến trong khoảng (1;+∞).

D. Hàm số luôn đồng biến trên toàn bộ R.

$y = rac{x^{2}-3x+5}{x+1}$

A. (-∞;-4) và (2;+∞).

B. (-4;2).

C. (-∞;-1) và (-1;+∞).

D. (-4;-1) và (-1;2).

Câu 3. Tìm các khoảng mà hàm số đồng biến hoặc nghịch biến và phương pháp giải cho hàm số đồng biến trên từng khoảng?

A. (-∞;0).

B. R.

C. (0;2).

D. (2;+∞)

Câu 4. Với hàm số, hãy chỉ ra khẳng định nào về sự đồng biến và nghịch biến sau đây là không chính xác?

A. Hàm số đồng biến trong khoảng (0;2).

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (2;3).

C. Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞;0) và (2;3).

D. Hàm số nghịch biến trong khoảng (2;3).

Câu 5. Xem xét các phát biểu sau đây:

(I). Hàm số y = -(x - 3)³ là nghịch biến trên toàn bộ R.

$y = rac{x}{sqrt{x^{2}+1}}$

Có bao nhiêu phát biểu là chính xác?

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Câu 6. Với hàm số, hãy xác định khẳng định nào dưới đây là đúng về sự đồng biến và nghịch biến cũng như cách giải của nó.

A. Hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;-2) và đồng biến trong khoảng (-2;2).

B. Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞;-2) và nghịch biến trong khoảng (-2;2).

C. Hàm số đồng biến trong khoảng (-∞;1) và nghịch biến trong khoảng (1;2).

D. Hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞;1) và đồng biến trong khoảng (1;2).

2. Dạng 2: Dựa trên bảng biến thiên và đồ thị của hàm số f’(x), xác định các khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.

Phương pháp giải.

- Dựa vào bảng biến thiên có sẵn, xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến, sau đó chọn đáp án chính xác.

- Dựa vào đồ thị của hàm số f’(x), ta có thể thấy:

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó f'(x) > 0 (nằm trên trục hoành).

+ Khoảng nghịch biến của hàm số là khoảng mà tại đó f'(x) < 0 (nằm dưới trục hoành).

Xem xét bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số f’(x). Xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số g(x) dựa trên f(x).

- Các bước thực hiện:

Bước 1: Tính đạo hàm g'(x).

Bước 2: Áp dụng các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) và bảng biến thiên của f’(x) để lập bảng xét dấu cho g'(x).

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu của g'(x) để xác định sự đồng biến và nghịch biến của hàm số g(x).

Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) với bảng biến thiên như trong hình. Hàm số y = -2018.f(x) đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

A. (-∞;0)

B. (1;+∞)

C. (0;+∞)

D. (-∞;1)

Giải pháp:

Xác định g(x) = -2018.f(x), ta có: g'(x) = -2018.f'(x).

Xem xét g'(x) = -2018.f'(x) ≥ 0 tương đương với f'(x) ≤ 0 và x ≥ 1

Do đó, hàm số y = -2018.f(x) là đồng biến trên khoảng (1;+ ∞).

Chọn đáp án B.

Thực hành:

Bài 1: Xét hàm số y = f(x) với đạo hàm liên tục trên [-3,3], và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên dưới.

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và phương pháp giải dễ hiểu nhất

Hàm số y = f(x) giảm trên khoảng nào?

A. (2;3).

B. (0;2)

C. (-1;0).

D. (-3;-1)

Bài 2: Xét hàm số f(x) với bảng biến thiên dưới đây:

Hàm số đã cho tăng đều trên khoảng nào dưới đây?

A. (1;+ ∞)

B. (-1;1)

C. (0;1)

D. (-1;0)

Bài 3: Xét hàm số y = f(x). Biết rằng f(x) có đạo hàm là f'(x) và đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới.

Nhận định nào dưới đây là chính xác?

A. Hàm số y = f(x) chỉ có hai điểm cực trị.

B. Hàm số y = f(x) tăng đều trên khoảng (1;3).

C. Hàm số y = f(x) tăng đều trên khoảng (-∞;2)

D. Hàm số y = f(x) giảm đều trên khoảng (4;+ ∞)

Bài 4: Xét hàm số f(x) với đạo hàm f'(x) được xác định và liên tục trên R, và đồ thị của f'(x) như hình vẽ bên.

Nhận định nào dưới đây là chính xác?

A. Hàm số f(x) tăng đều trên (-∞;1)

B. Hàm số f(x) tăng đều trên (-∞;1) và (1;+ ∞)

C. Hàm số f(x) tăng đều trên (1;+ ∞)

D. Hàm số f(x) tăng đều trên toàn bộ R

Bài 5: Xét hàm số f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e (với a ≠ 0). Biết rằng hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x) và đồ thị của hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên.

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và phương pháp giải đơn giản, dễ hiểu

Nhận định nào dưới đây là không chính xác?

A. Hàm số f(x) luôn tăng trên khoảng (-2,1).

B. Hàm f(x) giảm trên đoạn [-1,1].

C. Hàm f(x) tăng đều trên khoảng (1;+ ∞).

D. Hàm f(x) giảm đều trên khoảng (-∞;-2)

3. Dạng 3. Phân tích sự tăng giảm của hàm hợp.

Phương pháp giải.

Bài toán 1: Xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x)), với y = f(x) hoặc y = f'(x).

Phương pháp:

- Tính đạo hàm g'(x) = f'(u(x)) · u'(x)

- Xem xét dấu của g'(x) dựa trên dấu của f'(u(x)) và u'(x) bằng quy tắc nhân dấu.

Lưu ý khi xét dấu f'(u(x)) theo dấu của f'(x): Nếu f'(x) không thay đổi dấu trên D thì f'(u(x)) cũng không thay đổi dấu khi u(x) ∈ D.

Bài toán 2: Xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x)) + h(x), với y = f(x) hoặc y = f'(x).

Phương pháp:

- Tính đạo hàm g'(x) = f'(u(x)) · u'(x) + h'(x)

- Xây dựng bảng dấu của g'(x) bằng cách cộng dấu của hai thành phần f'(u(x)) · u'(x) và h'(x).

Bài toán 3: Xem xét sự biến thiên của hàm y = f(x) khi đã cho hàm y = f(u(x)) hoặc y = f'(u(x)).

Phương pháp:

Giả sử f'(u(x)) > 0 ⇔ x ∈ D. Ta cần giải bất phương trình f'(x) > 0 - Đặt t = u(x) ⇒ x = v(t).

- Giải bất phương trình: f'(t) > 0 ⇔ f'(u(x)) > 0 ⇔ x ∈ D ⇔ x = v(t) ∈ D ⇔ t ∈ D'

- Do đó, f'(t) > 0 ⇔ x ∈ D'

Ví dụ minh họa: Cho hàm số y = f(x) với đạo hàm trên R và đồ thị của f'(x) như hình dưới. Hàm số g(x) = f(x² - x) đồng biến trên khoảng nào?

Chi tiết đáp án:

Ta có: g(x) = f(x² - x) ⇒ g'(x) = (2x - 1)f'(x² - x)

$g'(x) = 0 Leftrightarrow left{egin{matrix} 2x - 1 = 0 & \ f'(x^{2} - x) = 0 & end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x = rac{1}{2} & \ x^{2} - x = 0 & \ x^{2} - x = 2 & end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x = rac{1}{2} & \ x = 0 & \ x = 1 & \ x = -1 & \ x = 2 & end{matrix} ight.$

Dựa vào đồ thị f'(x), ta có f'(x) > 0 khi x > 2

Bảng xét dấu của g'(x):

Chọn đáp án C

Lưu ý: Dấu của g'(x) trong bảng trên được xác định bằng cách nhân dấu của hai biểu thức (2x - 1) và f'(x^{2} - x)

II. Các dạng bài tập liên quan đến cực trị của hàm số

1. Dạng 1. Xác định các điểm cực trị của hàm số.

Phương pháp giải quyết.

Quy tắc 1: Áp dụng định lý số 2

- Tính đạo hàm f’(x)

- Xác định các điểm xi (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Phân tích dấu của f’(x). Nếu f’(x) thay đổi dấu khi x qua điểm xo thì hàm số có cực trị tại điểm xo

Quy tắc 2: Sử dụng định lý số 3

- Tính đạo hàm f’(x)

- Xác định các nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f’(x) = 0

- Đối với mỗi xi, tính đạo hàm bậc hai f’’(xi)

- Nếu f’’(xi) < 0, thì hàm số có cực trị lớn tại điểm xi

- Nếu f’’(xi) > 0, thì hàm số có điểm cực tiểu tại xi

Ví dụ minh họa: Xem xét hàm số y = f(x) với bảng biến thiên dưới đây:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

A. 3

B. -1

C. -5

D. 1

Giải thích: Dựa trên bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là y = f(-1) = 3. Vì vậy, chọn A.

Một số bài tập để tự luyện

Câu 1: Đoạn thẳng nào dưới đây đi qua trung điểm của đoạn nối các điểm cực trị trên đồ thị của hàm số y = x³ - 3x² + 1?

A. y = 2x - 3

Câu 2. Đồ thị của hàm số x⁴ - x² + 1 có bao nhiêu điểm cực trị với giá trị tung độ dương?

A. 1 điểm.

B. 2 điểm.

C. 3 điểm.

D. 4 điểm.

Câu 3. Với hàm số f(x) = (x² - 3)², giá trị cực đại của đạo hàm f'(x) là bao nhiêu?

A. 8.

B. -8.

C. 0.

Câu 4: Để đạt được sự giảm huyết áp tối đa, một bệnh nhân cần tiêm liều thuốc bao nhiêu theo công thức G(x) = 0,025x²(30 - x), với x (mg) là liều lượng thuốc cần thiết và x > 0?

A. 15mg.

B. 30mg.

C. 40mg.

D. 20mg.

2. Phương pháp 2: Xác định điều kiện để hàm số có cực trị.

- Cách làm: Áp dụng định lý 2 và định lý 3

a, Cực trị của hàm số bậc ba:

Xét hàm số y = ax³ + bx² + cx + d, với a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1); Δ’y’ = b² – 3ac

- Nếu phương trình (1) không có nghiệm hoặc có nghiệm kép, thì hàm số không có cực trị.

→ Để hàm số bậc 3 không có cực trị, cần có điều kiện: b² – 3ac ≤ 0

- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, hàm số sẽ có 2 cực trị.

→ Để hàm số bậc 3 có 2 cực trị, điều kiện là: b² – 3ac > 0

b, Xác định cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:

Xét hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (với a ≠ 0) có đồ thị là (C).

$left{egin{matrix} x = 0 & \ x^{2} = - rac{b}{2a}& end{matrix} ight.$

- Nếu đồ thị (C) có một điểm cực trị, thì y' = 0 có một nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

- Nếu đồ thị (C) có ba điểm cực trị, thì y' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Lưu ý

* Hàm số f (xác định trên tập D) có điểm cực trị nếu và chỉ nếu tồn tại x_o ∈ D thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Đạo hàm của hàm số tại x_o phải bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại x_o.

- f'(x) phải thay đổi dấu qua điểm x_o hoặc f''(x_o) ≠ 0.

Ví dụ minh họa: Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số y = x³ - 3mx² + 6mx + m có hai điểm cực trị.

A. m ∈ (0;2).

B. m ∈ (-∞;0) ∪ (8;+∞)

C. m ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)

D. m ∈ (0;8).

Giải thích:

Ta có y' = 3x² - 6mx + 6m = 3(x² - 2mx + 2m).

Để hàm số có hai điểm cực trị, phương trình x² - 2mx + 2m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.

3. Dạng 3: Xác định điều kiện để các điểm cực trị của hàm số đáp ứng yêu cầu cho trước.

Phương pháp giải:

a, Hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (với a ≠ 0, các tham số a, b, c, d có thể thay đổi).

Bước 1: Tính đạo hàm y’ = 3ax² + 2bx + c, sau đó giải y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1).

Để hàm số có cả điểm cực đại và cực tiểu, điều kiện là y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.

Điều này tương đương với việc phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Tức là giá trị của tham số phải nằm trong một miền D nào đó ()

Bước 2: Dựa vào điều kiện đã cho, lập ra một phương trình hoặc bất phương trình theo tham số, giải phương trình này để tìm giá trị của tham số. Sau đó, đối chiếu với điều kiện () để đưa ra kết luận.

Một số điều kiện thường gặp: (Không sử dụng dấu tương đương như trên)

- Để hàm số y = f(x) có hai cực trị, điều kiện cần là a ≠ 0 và Δy′ > 0.

- Để hai cực trị của hàm số y = f(x) nằm ở hai phía khác nhau so với trục hoành, yêu cầu là y_CD × y_CT < 0.

- Để hai cực trị của hàm số y = f(x) nằm ở hai phía khác nhau so với trục tung, điều kiện là x_CD × x_CT < 0.

- Để hai cực trị của hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành, cần có y_CD + y_CT > 0 và y_CD × y_CT > 0.

- Để hai cực trị của hàm số y = f(x) nằm phía dưới trục hoành, điều kiện là y_CD + y_CT < 0 và y_CD × y_CT > 0.

- Để hàm số y = f(x) có cực trị chạm vào trục hoành, điều kiện cần là y_CD × y_CT = 0.

- Để đồ thị có hai điểm cực trị nằm ở hai phía khác nhau của đường thẳng d: Ax + By + C = 0.

+ Gọi M1(x1; y1) và M2(x2; y2) là các điểm cực đại và cực tiểu trên đồ thị hàm số.

+ Đặt t₁ và t₂ là giá trị của hàm số khi thay M1 và M2 vào đường thẳng d: t₁ = Ax₁ + By₁ + C; t₂ = Ax₂ + By₂ + C.

+ Để đồ thị có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm ở hai phía khác nhau của đường thẳng d, yêu cầu t₁ và t₂ phải có dấu khác nhau.

⇔ y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và tích t₁ × t₂ < 0.

+ Đồ thị có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm ở cùng một phía so với đường thẳng d.

⇔ y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và tích t₁ × t₂ > 0.

Chú ý: Khi thay đường thẳng d bằng trục Ox, Oy hoặc đường tròn, kết quả vẫn áp dụng như trên. Các điều kiện khác cần xem xét từng trường hợp cụ thể.

b, Hàm số bậc bốn y = ax⁴ + bx² + c. Trong trường hợp này:

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 cùng phương pháp giải đơn giản và dễ hiểu nhất.

- Xem xét trường hợp có ba điểm cực trị → xác định tọa độ của các điểm cực trị.

A (0; c), B left ( -sqrt{rac{b}{2a}}; -rac{Delta }{4a}
ight )

$Khoảng cách BC = 2sqrt{- rac{b}{2a}}, AB = AC = sqrt{ rac{b^{4}}{16a^{2}} - rac{b}{2a}}$ $Delta = b^{2} - 4ac$

+ Phương trình đi qua các điểm cực trị:

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 với phương pháp giải đơn giản và dễ hiểu.

$cos alpha = rac{b^{3} + 8a}{b^{3} - 8a}$ $S = sqrt{- rac{b^{5}}{32a^{3}}}$ $R = rac{b^{3} - 8a}{8 |a| b}$ $r = rac{b^{2}}{4 |a| left( 1 + sqrt{1 - rac{b^{3}}{8a}} ight) }$ Các bài tập Giải tích lớp 12 với phương pháp giải dễ hiểu và đơn giản nhất.

Các bài tập Giải tích lớp 12 với phương pháp giải dễ hiểu và đơn giản nhất.

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 với cách giải đơn giản và dễ tiếp cận.

III. Xét tính đơn điệu của hàm số

1. Dạng 1: Phân tích tính chất đơn điệu của hàm số

1.1 Phương pháp giải

a). Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được xác định trên một khoảng, nửa khoảng, hoặc đoạn K.

Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K, x1 < x2 thì f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K, x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).

b). Điều kiện cần để hàm số có tính đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0 cho mọi x thuộc K, và f'(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số điểm nhất định.

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0 cho mọi x thuộc K, và f'(x) = 0 chỉ xuất hiện tại một số điểm xác định.

c). Điều kiện đủ để hàm số có tính đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K, thì hàm số tăng trên khoảng K.

Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K, thì hàm số giảm trên khoảng K.

Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc K, thì hàm số không thay đổi trên khoảng K.

d). Các bước để kiểm tra tính đơn điệu của hàm số được đưa ra

Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số y = f(x)

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và xác định các điểm x₀ mà tại đó f'(x₀) = 0 hoặc f'(x₀) không xác định.

Bước 3: Lập bảng xét dấu của đạo hàm và đưa ra kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ minh họa: Xem xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số y = x³ - 6x² + 9x - 3.

Hướng dẫn:

Tập xác định của hàm số là: D = R.

Đạo hàm của hàm số là y' = 3x² - 12x + 9.

Leftrightarrow left{egin{matrix} x = 1 x = 3 end{matrix}
ight.

Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số:

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (3; +∞).

Hàm số giảm trên khoảng (1;3).

1.2 Dạng 2: Xác định tham số m để hàm số đạt tính đơn điệu

Phương pháp giải quyết

1. Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (với a ≠ 0)

⇒ f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Hàm đa thức bậc ba y=f(x) sẽ đồng biến trên toàn bộ R nếu và chỉ nếu

Hàm đa thức bậc ba y=f(x) sẽ nghịch biến trên toàn bộ R nếu và chỉ nếu

$\left\{\begin{matrix} a< 0 & \\ \Delta '= b^{2}-3bc\leq 0 & \end{matrix}\right.$ $y = \frac{ax + b}{cx+d}\Rightarrow y'= \frac{ad -bc}{\left ( cx + d \right )^{2}}$

Hàm số được coi là đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hoặc ad-bc>0

Hàm số được coi là nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hoặc ad-bc<0

Ví dụ cụ thể: $y = \frac{1}{3}x^{3}+\left ( m+1 \right )x^{2}-\left ( m+1 \right )x+1$

Hướng dẫn chi tiết

+ Tập xác định là: D=R

+ Ta có: y' = x² + 2(m+1)x - (m+1)

+ Δ'= (m+1)2 + 4(m+1) = m² + 6m + 5

Do đó, giá trị của tham số m là -5 ≤ m ≤ -1

1.3 Phương pháp 3: Phương pháp tách m trong phân tích tính đơn điệu của hàm số

Cách giải

Bước 1: Tính y'. Hàm số được coi là đồng biến trên khoảng K nếu và chỉ nếu y' ≥ 0 với mọi x thuộc K. Hàm số được coi là nghịch biến trên khoảng K nếu và chỉ nếu y' ≤ 0 với mọi x thuộc K.

Bước 2: Tách tham số m và đưa về dạng m ≥ g(x) hoặc m ≤ g(x)

Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của hàm g(x)

Bước 4: Đưa ra kết luận

$\underset{x\in K}{max g\left ( x \right )}$ $\underset{x\in K}{min g\left ( x \right )}$

Các hàm số thường gặp

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (với a ≠ 0)

⇒ f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Khi a > 0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

Hàm số đồng biến trên khoảng (α; β) nếu và chỉ nếu β ≤ xc hoặc α ≥ x2

Hàm số nghịch biến trên khoảng (α; β) nếu và chỉ nếu x1 ≤ α < β ≤ x2, với a < 0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

Hàm số đồng biến trên khoảng (α; β) nếu và chỉ nếu x1 ≤ α < β ≤ x2

Hàm số nghịch biến trên khoảng (α; β) nếu và chỉ nếu β≤x1 hoặc α ≥ x2

Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y'= (ad - bc)/(cx + d)²

^{Ví dụ cụ thể: Tìm m để hàm số y = x³/3 - mx² + (1 - 2m)x - 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞)}

^{Hướng dẫn}

^{Tập xác định: D = R}

^{Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; +∞) ⇔ ∀ x ∈ (1; +∞), y' ≥ 0}

^{T có bảng biến thiên như dưới đây:}

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và phương pháp giải đơn giản, dễ hiểu nhất

Dựa vào bảng biến thiên, ta có 2m ≤ f(x) với ∀ x ∈ (1; +∞) thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Các bước xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số là gì?

Để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số, bạn cần thực hiện các bước sau: xác định tập xác định, tính đạo hàm y' = f'(x), tìm các giá trị xi tại đó f'(x) = 0 hoặc không xác định, sắp xếp các giá trị này theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên và cuối cùng đưa ra kết luận về các khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.

Làm thế nào để phân tích bảng biến thiên của hàm số trong việc xác định tính đơn điệu?

Để phân tích bảng biến thiên của hàm số, bạn cần tính đạo hàm f'(x) và xác định các điểm mà f'(x) = 0 hoặc không xác định. Sau đó, lập bảng xét dấu của f'(x) để xem hàm số đồng biến hay nghịch biến trên từng khoảng giữa các giá trị xi. Việc này giúp bạn đưa ra kết luận chính xác về tính đơn điệu của hàm số.

Tại sao phải xác định miền xác định của hàm số trước khi tìm khoảng đồng biến?

Việc xác định miền xác định của hàm số là rất quan trọng vì nó giúp bạn biết các giá trị x nào mà hàm số có nghĩa. Chỉ khi biết miền xác định, bạn mới có thể áp dụng đúng các công thức tính đạo hàm và xác định khoảng đồng biến, đảm bảo rằng tất cả các phép tính đều nằm trong miền hợp lệ.

Có thể sử dụng đồ thị của đạo hàm để xác định tính đồng biến của hàm số không?

Có, đồ thị của đạo hàm f'(x) là công cụ hữu ích để xác định tính đồng biến của hàm số. Nếu đồ thị của f'(x) nằm trên trục hoành (f'(x) > 0) thì hàm số đồng biến, trong khi nếu nằm dưới trục hoành (f'(x) < 0) thì hàm số nghịch biến. Điều này cho phép bạn nhanh chóng nhận diện khoảng tăng giảm mà không cần thực hiện các phép tính phức tạp.

Các phương pháp để xác định điểm cực trị của hàm số là gì?

Để xác định điểm cực trị của hàm số, bạn có thể sử dụng hai phương pháp chính: Phương pháp tính đạo hàm f'(x) và tìm các nghiệm xi tại đó f'(x) = 0. Tiếp theo, bạn cần phân tích dấu của f'(x) để xem hàm số có cực trị tại những điểm này hay không. Thêm vào đó, phương pháp sử dụng đạo hàm bậc hai cũng rất hữu ích để xác định loại cực trị.

Tại sao cần sử dụng bảng biến thiên để kết luận về tính đơn điệu của hàm số?

Bảng biến thiên giúp tổ chức thông tin một cách trực quan và có hệ thống, cho phép bạn dễ dàng nhận diện khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Bằng cách theo dõi dấu của đạo hàm qua các khoảng khác nhau, bạn có thể nhanh chóng đưa ra kết luận về tính đơn điệu mà không cần phải tính toán từng giá trị riêng lẻ.