Các kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử với ví dụ minh họa

1. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là quá trình chuyển đổi đa thức thành một tích của các đa thức nhỏ hơn.

2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Phương pháp 1: Xác định nhân tử chung

+ Khi đa thức có nhiều hạng tử, xác định nhân tử chung của chúng.

+ Phân tách từng hạng tử thành tích của nhân tử chung và phần còn lại.

+ Đưa nhân tử chung ra ngoài, còn lại viết các nhân tử của từng hạng tử trong dấu ngoặc (bao gồm dấu của chúng).

+ Công thức: A.B + A.C = A.(B + C)

Ví dụ: Phân tích một đa thức thành nhân tử là gì?

75,20 x 9 + 52 x 20,9 = 20,9 x (75 + 52) = 20,9 x 100 = 2090

98,6 x 199 – 990 x 9,86 = 98,6 x 199 – 99 x 10 x 9,86 = 98,6 x 199 – 98,6 x 99 = 98,6 x (199 – 99) = 98,6 x 100 = 9860

- Phương pháp 2: Sử dụng các hằng đẳng thức

+ Trong phương pháp này, chúng ta áp dụng các hằng đẳng thức để chuyển đổi đa thức thành tích của các nhân tử hoặc lũy thừa của một đa thức đơn giản.

Ví dụ: Phân tích đa thức thành các nhân tử

A = (3x - 2)² - 16x² = (3x - 2)² - (4x)² = (3x - 2 - 4x) (3x - 2 + 4x)

= (-x - 2) (7x - 2) = (x + 2) (2 - 7x)

- Phương pháp 3: Nhóm hạng tử

+ Trong phương pháp này, ta tìm những hạng tử trong đa thức có thể được nhóm lại với nhau.

+ Tiếp theo, phân tích chúng thành các đơn thức và đa thức đơn giản hơn.

+ Áp dụng hằng đẳng thức hoặc tìm yếu tố chung để thực hiện phân tích.

Ví dụ: Phân tích một đa thức thành các nhân tử

A = x² - y² - 5x + 5y

= (x² - y²) - (5x - 5y) = (x - y)(x + y) - 5(x - y) = (x - y)(x + y - 5)

- Phương pháp 4: Tách hạng tử trong đa thức

Ví dụ: Phân tích đa thức thành các yếu tố cơ bản

A = x² + 7x + 6 = x2 + x + 6x + 6 = x(x + 1) + 6(x + 1) = (x + 6)(x + 1)

- Phương pháp 5: Thêm và bớt hạng tử để phân tích

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành các yếu tố cơ bản

A = x³ + x² - 3x + 1

= (x³ - x²) + x² - 3x + 1

= x² (x - 1) + 2x (x - 1) - (x - 1)

= (x - 1) (x² + 2x - 1)

- Phương pháp 6: Đặt ẩn phụ để phân tích

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử

A = (x² - 2x)² - 3(x² - 2x) - 10

= y² - 3y - 10 (với y = x² - 2x)

= y² - 5y + 2y - 10 = y (y - 5) + 2 (y - 5) = (y - 5)(y + 2)

Thay y = x² - 2x vào, ta có:

A = (x² - 2x - 5) (x² - 2x + 2)

- Phương pháp 7: Giảm dần số mũ của lũy thừa

Ví dụ:

c, x(y - x)² + xy(x - y)

= x(x - y)² + xy(x - y)

= x(x - y)² + xy(x - y)

= x(x - y) [(x - y) + y]

a, 75,20.9 + 52.20.9 = 20,9.(75 + 52) = 20,9.100 = 2090

b, 98,6.199 – 990.9,86 = 98,6.199 – 99.10.9,86 = 98,6.199 – 98,6.99 = 98,6.(199 – 99) = 98,6.100 = 9860

c, A = a(b + 3) – b(3 + b)

Khi a = 2 và b = 3, ta có A = a(b + 3) – b(b + 3) = (b + 3)(a – b)

Thay a = 2 và b = 3 vào biểu thức A, ta có: A = (3 + 3)(2 – 3) = -6

B = b² - 8b – c(8 – b) với b = 1 và c = 2

B = b² - 8b – c(8 – b) = -b(8 – b) – c(8 – b) = (8 – b)(-b – c)

Thay b = 1 và c = 2 vào biểu thức B, ta được: B = (8 – 1)(-1 – 2) = -21

VD3:

a, 8x(x - 2017) - 2x + 4034 = 0

<=> 8x(x - 2017) - 2(x - 2017) = 0

<=> (x - 2017)(8x - 2) = 0

<=> x - 2017 = 0 hoặc 8x - 2 = 0

<=> x = 2017 hoặc x = 1/4

Vậy x = 2017 hoặc x = 1/4

b, 4 - x = 2(x - 4)²

<=> 2(x - 4)² + x - 4 = 0

<=> (x - 4)[2(x - 4) + 1] = 0

<=> (x - 4)(2x - 8 + 1) = 0

<=> (x - 4)(2x - 7) = 0

<=> x - 4 = 0 hoặc 2x - 7 = 0

<=> x = 4 hoặc x = 7/2

Vậy x = 4 hoặc x = 7/2

3. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 14x² – 21xy² + 28x²y² = 7x(2x - 3y² + 4xy²)

b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x + 3)(2 - x)

c) x² + 4x – y² + 4 = (x + 2)² - y²

= (x + 2 - y)(x + 2 + y)

Bài 2: Giải phương trình sau: 2(x + 3) – x(x + 3) = 0

Nghiệm của phương trình là x1 = -3 và x2 = 2

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) 8x³ + 4x² - y³ - y² = (8x³ - y³) + (4x² - y²)

b) x² + 5x - 6

= x² + 6x - x - 6

= x(x + 6) - (x + 6) = (x + 6)(x - 1)

c. a⁴ + 16 = a⁴ + 8a² + 16 - 8a² = (a² + 4)² - a²

= (a² + 4 + a)(a² + 4 - a)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức dưới đây:

a) (x⁵ + x³ + x² + 1) chia cho (x³ + 1)

b) (x² - 5x + 6) chia cho (x - 3)

Giải: a) x⁵ + x³ + x² + 1

= x³(x² + 1) + x² + 1

= (x² + 1)(x³ + 1)

Vậy (x⁵ + x³ + x² + 1) chia cho (x³ + 1)

= (x² + 1)(x³ + 1) chia cho (x³ + 1)

= (x² + 1)

b) Vì x² - 5x + 6 = x² - 3x - 2x + 6

= x(x - 3) - 2(x - 3)

= (x - 3)(x - 2)

Vậy (x² - 5x + 6) chia cho (x - 3) bằng (x - 3)(x - 2) chia cho (x - 3) = (x - 2)

Bài 5: Phân tích các đa thức sau đây thành tích của các nhân tử

a) 3x – 3y

b) 2x² + 5x³ + x²y

c) 14x²y – 21xy² + 28x²y²

d) x(y – 1) – y(y – 1)

e) 10x(x – y) – 8y(y – x)

Giải:

a) 3x – 3y = 3(x – y)

b) 2x² + 5x³ + x²y = x²(2 + 5x + y)

c) 14x²y – 21xy² + 28x²y² = 7xy(2x – 3y + 4xy)

d) x(y – 1) – y(y – 1) = (y – 1)(x – y)

e) 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y)(5x + 4y)

Bài 6: Tìm giá trị của x, biết rằng:

a) 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

b) 5x² = 13x

Giải pháp:

a) Ta có phương trình: 5x(x – 2000) – x + 2000 = 0

5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0

(x – 2000)(5x – 1) = 0

x – 2000 = 0 hoặc 5x – 1 = 0

x – 2000 = 0

x = 2000 hoặc 5x – 1 = 0

5x = 1

x = 1/5

Do đó, x = 2000 hoặc x = 1/5

b) 5x² = 13x

5x² – 13x = 0

x(5x – 13) = 0

x = 0 hoặc 5x – 13 = 0

x = 0 hoặc x = 13/5

Bài 6: Tính nhanh

a) 15,8 × 35 + 15,8 × 65

b) 1,43 × 141 – 1,43 × 41

Hướng dẫn chi tiết:

a) 15,8 × 35 + 15,8 × 65

= 15,8 × (35 + 65)

= 15,8 × 100

= 1580

b) 1,43 × 141 – 1,43 × 41

= 1,43 × (141 – 41)

= 1,43 × 100

= 143

Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 6x⁴ – 9x³

b) x²y²z + xy²z² + x²yz²

c) (x + y)³ – x³ – y³

d) 2x × (x + 3) + 2 × (x + 3)

Hướng dẫn chi tiết

a) 6x⁴ - 9x³ = 3x³ × (2x - 3)

b) x² y² z + xy²z² + x²yz²

= xyz × (xy + yz + xz)

c) 2x × (x + 3) + 2 × (x + 3)

= (x + 3) × (2x + 2)

= (x + 3) × 2 × (x + 2)

= 2 × (x + 2) × (x + 3)

Trân trọng