Các số nguyên không âm

Trong toán học, số nguyên không âm được áp dụng để đếm (ví dụ: 'có sáu đồng xu trên bàn') và xác định thứ tự (ví dụ: 'thành phố lớn thứ ba trong cả nước'). Đôi khi, các số này có thể xuất hiện dưới dạng mã số (nhãn hoặc 'tên'), tức là như những gì các nhà ngôn ngữ học gọi là số danh nghĩa, loại bỏ các thuộc tính toán học. Tập hợp các số này thường được ký hiệu bằng $N$.

Theo tiêu chuẩn ISO 80000-2 và tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam, số nguyên không âm được định nghĩa là các số nguyên không âm 0, 1, 2, 3,... (thường ký hiệu chung là $N_0$, nhấn mạnh sự bao gồm của số 0), hoặc bắt đầu từ 1, tương ứng với số nguyên dương 1, 2, 3,... (thường ký hiệu chung bằng $N_1$, $N^{+}$, hoặc $N^{\ast <!--\; \ast \; -->}$, nhấn mạnh việc loại trừ số 0).

Các số nguyên không âm là nền tảng để xây dựng nhiều tập hợp số khác bằng cách mở rộng: ví dụ, tập hợp số nguyên, bao gồm số 0 và các số âm tương ứng với mỗi số nguyên không âm khác; tập hợp số hữu tỉ, bao gồm các nghịch đảo phép nhân của mỗi số nguyên (và tích của các nghịch đảo này với các số nguyên); tập hợp số thực, bao gồm các giới hạn của dãy Cauchy của số hữu tỉ; số phức, bao gồm các số thực căn bậc hai của trừ một (cũng như tổng và tích của chúng). Những chuỗi mở rộng này làm cho các số nguyên không âm trở thành phần của các hệ thống số khác.

Lý thuyết số nghiên cứu các tính chất của số nguyên không âm, như tính chia hết và phân phối của số nguyên tố. Tổ hợp học tập trung vào các vấn đề liên quan đến đếm và sắp xếp, chẳng hạn như phân vùng và liệt kê.

Trong ngôn ngữ thường ngày, đặc biệt là trong giáo dục tiểu học, số nguyên không âm thường được gọi là số đếm. Điều này giúp loại trừ các số âm và số 0, đồng thời làm rõ sự phân biệt giữa tính rời rạc của phép đếm và tính liên tục của phép đo - một đặc điểm của số thực.

Lịch sử

Thời kỳ cổ đại

Phương pháp cơ bản nhất để biểu diễn số nguyên dương là gán một ký hiệu cho từng đối tượng. Sau đó, ta có thể kiểm tra các tập hợp đối tượng để xác định chúng có bằng nhau, thừa hay thiếu bằng cách đánh dấu và loại bỏ các đối tượng khỏi tập hợp.

Một bước tiến quan trọng trong việc trừu tượng hóa là việc áp dụng các chữ số để biểu diễn các số. Điều này cho phép xây dựng các hệ thống để ghi chép số lượng lớn. Người Ai Cập cổ đã phát triển một hệ thống chữ số tinh vi với các ký hiệu riêng cho 1, 10 và các quyền lực của 10, lên đến hơn 1 triệu. Một tác phẩm chạm khắc đá ở Karnak, khoảng năm 1500 TCN và hiện đang lưu giữ tại Bảo tàng Louvre ở Paris, mô tả số 276 dưới dạng 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị; tương tự cho số 4,622. Người Babylon sử dụng hệ thống giá trị vị trí dựa trên các chữ số 1 và 10, với cơ số 60, và ký hiệu cho 60 tương tự như ký hiệu cho 1 — giá trị cụ thể được xác định từ ngữ cảnh.

Một tiến bộ quan trọng nhưng diễn ra sau đó nhiều: phát triển khái niệm số không như một ký hiệu số riêng biệt. Khoảng 700 TCN, người Babylon đã sử dụng chữ số không trong hệ thống ký hiệu giá trị theo vị trí. Tuy nhiên, chỉ đến khi nền văn hóa Babylon suy tàn, chữ số không mới chỉ được dùng giữa các con số (ví dụ: 3605), mà không bao giờ được sử dụng làm ký hiệu cuối cùng của một số (ví dụ: 3600 và 60 giống nhau - cần chú thích để phân biệt). Các nền văn minh Olmec và Maya đã sử dụng số không như một ký hiệu riêng từ thế kỷ 1 TCN (có thể phát triển độc lập), nhưng việc sử dụng này chưa phổ biến ra ngoài Trung Bộ châu Mỹ. Khái niệm số không hiện đại bắt nguồn từ nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta vào năm 628. Dù số không đã được các nhà tính toán thời Trung Cổ sử dụng (như Dionysius Exiguus vào năm 525 để tính ngày Phục Sinh), không có ký hiệu La Mã dành cho số không. Thay vào đó, từ Latinh nullae có nghĩa là 'không có gì' được dùng để chỉ số không.

Các nhà triết học Hy Lạp như Pythagore và Archimedes thường được coi là những người đầu tiên nghiên cứu các số như những thực thể trừu tượng. Tuy nhiên, trong cùng thời kỳ, các nền văn minh khác như Ấn Độ, Trung Quốc và Trung Bộ châu Mỹ cũng có những nghiên cứu độc lập tương tự.

Các định nghĩa hiện đại

Vào thế kỷ 19 ở châu Âu, đã diễn ra các cuộc tranh luận về bản chất chính xác của các số tự nhiên từ góc độ toán học và triết học. Một trường phái của chủ nghĩa tự nhiên lập luận rằng số tự nhiên là kết quả trực tiếp của tâm lý con người. Henri Poincaré là một trong những người ủng hộ quan điểm này, cùng với Leopold Kronecker, người đã nổi tiếng với tuyên bố 'Chúa tạo ra các số nguyên, còn tất cả những gì khác là sản phẩm của con người.'

Trái ngược với các nhà tự nhiên học, các nhà toán học kiến thiết nhấn mạnh sự cần thiết phải cải thiện tính chặt chẽ logic trong nền tảng toán học. Vào những năm 1860, Hermann Grassmann đã đề xuất một định nghĩa đệ quy cho các số tự nhiên, cho rằng chúng không thực sự là tự nhiên mà là hệ quả của các định nghĩa. Sau đó, hai lớp định nghĩa chính thức đã được xây dựng; và hầu hết chúng vẫn được chứng minh là tương đương trong các ứng dụng thực tế.

Gottlob Frege đã tiên phong trong việc đưa ra định nghĩa lý thuyết tập hợp về số tự nhiên. Ông đã định nghĩa số tự nhiên là lớp các tập hợp tương ứng 1-1 với một tập hợp cụ thể. Tuy nhiên, định nghĩa này đã dẫn đến các nghịch lý, bao gồm cả nghịch lý Russell. Để tránh những nghịch lý này, phép hình thức hóa đã được sửa đổi: số tự nhiên được định nghĩa là một tập hợp cụ thể và bất kỳ tập hợp nào có thể tương ứng 1-1 với tập hợp đó đều được coi là có số phần tử tương ứng.

Charles Sanders Peirce đã đưa ra loại định nghĩa thứ hai, được Richard Dedekind tinh chỉnh và Giuseppe Peano phát triển thêm, hiện nay được gọi là số học Peano. Phương pháp này dựa trên các tiên đề về số thứ tự: mỗi số tự nhiên có một số kế tiếp và mọi số tự nhiên khác 0 đều có một tiền nhiệm duy nhất. Số học Peano tương đương với một số hệ thống yếu của lý thuyết tập hợp. Một trong những hệ thống như vậy là ZFC với tiên đề về vô hạn được thay thế bằng sự phủ định của nó. Các định lý có thể được chứng minh trong ZFC nhưng không thể chứng minh bằng Tiên đề Peano bao gồm định lý Goodstein.

Với tất cả các định nghĩa qua tập hợp, việc bao gồm số 0 (tương ứng với tập rỗng) vào tập hợp số tự nhiên trở nên tiện lợi. Việc bao gồm số 0 hiện đã trở thành quy ước chung giữa các nhà lý thuyết tập hợp và các nhà logic học. Nhiều nhà toán học cũng đã bao gồm số 0, và các ngôn ngữ lập trình thường bắt đầu từ 0 khi liệt kê các mục như bộ đếm vòng lặp và phần tử trong chuỗi hoặc mảng. Ngược lại, nhiều nhà toán học vẫn giữ truyền thống cũ hơn, coi 1 là số tự nhiên đầu tiên.

Ký hiệu

Các nhà toán học thường sử dụng ký hiệu N hoặc ℕ để chỉ tập hợp tất cả các số tự nhiên. Trong một số tài liệu cũ, ký hiệu J cũng được sử dụng để chỉ tập hợp này. Theo định nghĩa, tập hợp số tự nhiên là vô hạn và có thể đếm được, với kích thước tập hợp là ℵ₀

Vì các thuộc tính khác nhau thường gắn liền với các số 0 và 1 (lần lượt là các phần tử trung tính trong phép cộng và phép nhân), nên rất quan trọng để xác định phiên bản số tự nhiên nào đang được sử dụng trong từng trường hợp cụ thể. Điều này có thể được thực hiện bằng cách giải thích bằng văn bản, viết rõ tập hợp hoặc sử dụng chỉ số viết lên trên hoặc chỉ số viết xuống dưới để phân biệt, ví dụ như thế này:

$\{1,2,...\}=N^{\ast <!--\; \ast \; -->}=N^{+}=N_0\setminus <!--\; \setminus \; -->\left\{0\right\}.$

$\{0,1,2,...\}=N_0=N^0=N^{\ast <!--\; \ast \; -->}\cup <!--\; \cup \; -->\left\{0\right\}$

Một số tác giả đôi khi sử dụng chỉ số dưới hoặc trên dấu '+' để chỉ khái niệm 'số tự nhiên dương', tức là N₊ hoặc N = { 1, 2,... }. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng ký hiệu này cũng có thể được dùng để chỉ khái niệm 'không âm' trong một số hệ thống toán học, ví dụ như R₊ = [0,∞) hay Z₊ = { 0, 1, 2,...}. Trong khi đó, ký hiệu * thường được sử dụng để chỉ 'khác số không' hoặc để chỉ các phần tử có thể nghịch đảo. Tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam cũng áp dụng ký hiệu N.

$\{1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->\}=\{x\in <!--\; \in \; -->Z:x>0\}=Z^{+}$

$\{0,1,2$

, … } = { x ∈ Z : x ≥ 0 } = Z 0 + {displaystyle {0,1,2,dots }={xin mathbb {Z}geq 0}=mathbb {Z} _{0}^{+}}

Thuộc tính

Phép cộng

Xét tập hợp $N$ của các số tự nhiên cùng với hàm kế thừa $S:<!--\; :\; -->N\to <!--\; \to \; -->N$ ánh xạ mỗi số tự nhiên tới số tiếp theo, chúng ta có thể định nghĩa phép cộng các số tự nhiên một cách đệ quy bằng cách quy ước a + 0 = a và a + S(b) = S(a + b) với mọi a, b. Khi đó, (ℕ, +) là một monoid giao hoán với phần tử đơn vị là 0. Nó là một monoid tự do với phần tử sinh là 1. Monoid giao hoán này thỏa mãn thuộc tính hủy bỏ, do đó nó có thể được nhúng vào một nhóm. Nhóm nhỏ nhất chứa các số tự nhiên chính là các số nguyên.

Khi 1 được định nghĩa là S(0), ta có thể tính b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). Điều này có nghĩa rằng, b + 1 đơn giản là số kế tiếp của b.

Định nghĩa chính thức

Lịch sử cho thấy việc đưa ra một định nghĩa toán học chính xác về số tự nhiên là một thử thách lớn. Các tiên đề Peano cung cấp các điều kiện cần thiết cho một định nghĩa thành công về số tự nhiên. Một số xây dựng cho thấy rằng, với lý thuyết tập hợp hiện có, các mô hình của các tiên đề Peano chắc chắn tồn tại.

Các tiên đề Peano

• Xuất hiện một số tự nhiên được ký hiệu là 0.
• Đối với mọi số tự nhiên a, luôn có một số tự nhiên kế tiếp, ký hiệu là S(a).
• Không tồn tại số tự nhiên nào mà số liền sau của nó là 0.
• Nếu hai số tự nhiên khác nhau thì số liền sau của chúng cũng khác nhau: nếu a ≠ b thì S(a) ≠ S(b).
• Đối với một tính chất nào đó được thỏa mãn với số 0, và nếu chúng ta chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thỏa mãn tính chất đó thì số liền sau của nó cũng thỏa mãn tính chất đó, thì tính chất đó áp dụng cho tất cả các số tự nhiên. (Định lý này xác nhận tính đúng đắn của phép quy nạp toán học.)

Cần lưu ý rằng '0' trong định nghĩa trên không nhất thiết phải là số không quen thuộc. '0' chỉ đơn giản là một đối tượng mà khi kết hợp với hàm kế tiếp, nó thỏa mãn các tiên đề Peano. Có nhiều hệ thống đáp ứng các tiên đề này, bao gồm các số tự nhiên (bắt đầu từ số không hoặc số một).

Xây dựng theo lý thuyết tập hợp

Phương pháp xây dựng chuẩn

Trong lý thuyết tập hợp, có một phiên bản đặc biệt của phương pháp xây dựng von Neumann để định nghĩa tập hợp số tự nhiên như sau:

Chúng ta bắt đầu với định nghĩa 0 = { }, tức là tập hợp rỗng.

Tiếp theo, định nghĩa S(a) = a ∪ {a} cho mọi a.

Tập hợp số tự nhiên được xác định là giao của tất cả các tập hợp chứa 0 và là các tập hợp đóng với hàm kế tiếp.

Giả sử tiên đề về tính vô hạn là đúng, định nghĩa này sẽ thỏa mãn các tiên đề Peano.

Mỗi số tự nhiên lúc này là tập hợp của các số tự nhiên nhỏ hơn nó, ví dụ:

• 0 = { },
• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
• n = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}}, và cứ tiếp tục như vậy.

Khi một số tự nhiên được xem như một tập hợp, thường thì nó có nghĩa như đã mô tả ở trên. Theo định nghĩa này, tập n có đúng n phần tử (theo nghĩa thông thường) và n ≤ m (theo nghĩa thông thường) khi và chỉ khi n là tập con của m.

Định nghĩa này cũng dẫn đến việc các cách hiểu khác nhau về các ký hiệu như ℝ (như một n-tuple hay một ánh xạ từ n vào ℝ)) trở nên đồng nhất.

Các phương pháp xây dựng khác

Mặc dù phương pháp xây dựng tiêu chuẩn rất phổ biến, nhưng nó không phải là cách duy nhất. Ví dụ về phương pháp của Zermalo là:

Chúng ta có thể định nghĩa 0 = { }

và S(a) = a,

kết quả là:

• 0 = { }
• 1 = {0} = {{ }}
• 2 = {1} = {{{ }}},...

Hoặc chúng ta có thể định nghĩa 0 = {{ }}

và {{{1}}}}

kết quả là:

• 0 = {{ }}
• 1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}}
• 2 = {{ }, 0, 1},...

Dù vẫn còn tranh luận, nhưng nhìn chung, người ta thường quy định rằng định nghĩa lý thuyết tập hợp cổ điển về số tự nhiên thuộc về Frege và Russell. Theo định nghĩa của họ, mỗi số tự nhiên n cụ thể được định nghĩa là tập hợp của tất cả các tập có n phần tử.

Frege và Russell bắt đầu bằng việc định nghĩa 0 là $\left\{\right\{\left\}\right\}$ (tức là tập hợp chứa tất cả các tập có 0 phần tử). Định nghĩa $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\left(A\right)$ (với A là một tập hợp bất kỳ) là $\{x\cup <!--\; \cup \; -->\{y\}\mid <!--\; \mid \; -->x\in <!--\; \in \; -->A\wedge <!--\; \wedge \; -->y\notin x\}$. Do đó, 0 là tập hợp của tất cả các tập không có phần tử, $1=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\left(0\right)$ là tập hợp của tất cả các tập có một phần tử, $2=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\left(1\right)$ là tập hợp của tất cả các tập có 2 phần tử, và cứ tiếp tục như vậy. Cuối cùng, tập hợp tất cả các số tự nhiên được định nghĩa là giao của tất cả các tập chứa 0 và đóng với phép $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$ (nếu tập này chứa n, thì nó cũng phải chứa $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\left(n\right)$).

Định nghĩa này không khả dụng trong các hệ thống lý thuyết tập hợp thông thường vì các tập hợp tạo ra quá lớn (không hợp lệ với tiên đề tách - separation axiom); tuy nhiên, định nghĩa này có thể áp dụng trong Cơ sở Mới (New Foundations) (và các hệ thống tương thích) cũng như trong một số hệ thống lý thuyết kiểu.

Trong phần còn lại của bài viết này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp xây dựng chuẩn đã mô tả ở trên.

Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên

Các phép toán trên tập hợp các số tự nhiên có thể được định nghĩa bằng cách sử dụng phương pháp đệ quy như sau:

Phép cộng

1. a + 0 = a
2. a + S(b) = S(a + b)

Phép cộng này biến (ℕ, +) thành một nhóm giao hoán với phần tử trung lập là 0, đồng thời là một nhóm tự do với một hệ sinh nào đó. Nhóm này thỏa mãn tính chất khử và vì vậy có thể được nhúng vào một nhóm lớn hơn. Nhóm nhỏ nhất chứa các số tự nhiên chính là tập hợp các số nguyên.

Nếu ta ký hiệu S(0) là 1, thì b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b); tức là, số kế tiếp của b chính là b + 1.

Phép nhân

Tương tự như phép cộng, phép nhân × được định nghĩa như sau:

1. a × 0 = 0
2. a × S(b) = (a × b) + a

Với định nghĩa này, (N,×) trở thành một nhóm với phần tử trung lập là 1, và một hệ sinh của nhóm này là tập hợp các số nguyên tố.

Phép cộng và phép nhân đều thỏa tính chất phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Những tính chất của phép cộng và phép nhân làm cho tập số tự nhiên trở thành ví dụ của một nửa vành giao hoán. Nửa vành là dạng tổng quát của số tự nhiên, trong đó phép nhân không nhất thiết phải thỏa tính giao hoán.

Nếu ta hiểu tập số tự nhiên theo nghĩa 'không có số 0' và 'bắt đầu từ số 1', thì các định nghĩa về phép cộng và phép nhân vẫn giữ nguyên, chỉ cần điều chỉnh thành a + 1 = S(a) và a × 1 = a.

Trong phần tiếp theo của bài viết, chúng ta sẽ ký hiệu ab để chỉ tích a × b, và sẽ tuân theo quy tắc về thứ tự thực hiện các phép toán.

Quan hệ thứ tự

Chúng ta có thể thiết lập một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập số tự nhiên như sau:

Đối với hai số tự nhiên a và b, ta nói rằng a ≤ b nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên c sao cho a + c = b. Quan hệ sắp thứ tự này, kết hợp với các phép toán số học đã định nghĩa, tạo ra:

Nếu a, b và c là các số tự nhiên và a ≤ b, thì a + c ≤ b + c và ac ≤ bc

Tập số tự nhiên còn có một đặc tính quan trọng: chúng là tập sắp tốt, nghĩa là mọi tập con không rỗng của các số tự nhiên đều có phần tử nhỏ nhất.

Phép chia có dư và tính chia hết

Xét hai số tự nhiên a, b với b ≠ 0. Xem tập hợp M của các số tự nhiên p sao cho pb ≤ a. Tập hợp này bị chặn nên có một phần tử lớn nhất, gọi phần tử lớn nhất của M là q. Khi đó, bq ≤ a và b(q + 1) > a. Đặt r = a − bq. Ta có

a = bq + r, với 0 ≤ r < b.

Có thể chứng minh rằng các giá trị q và r là duy nhất. Giá trị q được gọi là thương (hoặc ngắn gọn là thương hụt), còn r là số dư khi chia a cho b. Nếu r = 0, thì a = bq. Khi đó, ta nói rằng a chia hết cho b hoặc b là ước của a, và a là bội của b.

Tổng quát hóa

Theo hai cách sử dụng đã nêu ở phần giới thiệu, số tự nhiên được tổng quát hóa theo hai hướng này: số thứ tự để xác định vị trí của một phần tử trong dãy sắp thứ tự và số lượng để đo kích thước của một tập hợp nào đó.

Đối với dãy hữu hạn hoặc tập hợp hữu hạn, cả hai cách sử dụng này thực chất là tương đương nhau.

Các tập hợp số học

$N$: Tập hợp các số tự nhiên

$Z$: Tập hợp các số nguyên

$Q$: Tập hợp các số hữu tỉ

$I$ = $R\setminus <!--\; \setminus \; -->Q$: Tập hợp các số vô tỉ

$R$: Tập hợp các số thực

Ghi chú

1. ^ Mendelson (2008, tr. x)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFMendelson2008 (trợ giúp) nói rằng: 'Toàn bộ hệ thống phân cấp số học tuyệt vời được xây dựng từ một số giả định đơn giản về số tự nhiên bằng phương pháp lý thuyết tập hợp.' (Lời nói đầu)
2. ^ Bluman (2010, tr. 1)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFBluman2010 (trợ giúp): 'Các số học là nền tảng của toán học.'
3. ^ Phiên bản tiếng Anh được dịch từ Gray. Trong một chú thích, Gray ghi nhận trích dẫn của người Đức: 'Weber 1891–1892, 19, trích dẫn từ một bài giảng của Kronecker vào năm 1886.'
4. ^ 'Nhiều công trình toán học của thế kỷ hai mươi đã tập trung vào việc xem xét nền tảng lý thuyết và cấu trúc của môn học.' (Eves 1990, tr. 606)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFEves1990 (trợ giúp)