Buzz
1. Phương pháp tính nhanh giá trị biểu thức
Dạng 1: Tinh gọn biểu thức bằng cách nhóm các số hạng thành các nhóm có tổng (hoặc hiệu) là các số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn... rồi thực hiện phép cộng (hoặc trừ) các kết quả.
Khi giải bài toán về tính giá trị biểu thức, học sinh cần chú ý đến việc nhóm các số sao cho tổng hoặc hiệu là các số tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn, từ đó thực hiện phép tính một cách dễ dàng hơn.
Công thức tổng quát: a + b + c = (a + b) + c
a - b - c = (a - b) - c
Ví dụ minh họa: Tính giá trị nhanh của các biểu thức sau đây
a, 622 + 178 + 169
= (622 + 178) + 169
= 800 + 169
= 969
b, 350 + 213 + 144 + 256 + 87
= 350 + (213 + 87) + (144 + 256)
= 350 + 300 + 400
= 1050
Dạng 2: Áp dụng tính chất của phép nhân với tổng, phép nhân với hiệu, phép chia tổng cho một số, và phép chia hiệu cho một số.
Trong các phép tính tổng (hoặc hiệu), tích (hoặc thương), học sinh cần chú ý đến các tính chất giao hoán và kết hợp của các số để thực hiện phép tính một cách hiệu quả nhất.
Công thức tổng quát:
- Một số nhân với tổng: a x (b + c) = a x b + a x c
a x b + a x c = a x (b + c)
Ví dụ: Tính giá trị nhanh của biểu thức dưới đây
16 x 82 + 12 x 16
= 16 x (82 + 12)
= 16 x 100
= 1600
- Một số nhân với hiệu: a x (b - c) = a x b - a x c
a x b - a x c = a x (b - c)
Ví dụ: Tính nhanh giá trị của biểu thức dưới đây
18 x 135 - 18 x 35
= 18 x (135 - 35)
= 18 x 100
= 1800
- Một tổng chia cho một số: (a + b + c) : d = a : d + b : d + c : d
Ví dụ: Tính giá trị nhanh của biểu thức sau đây
(18 + 45 + 63) : 9
= 18 : 9 + 45 : 9 + 63 : 9
= 2 + 5 + 7
= 14
- Một hiệu chia cho một số: (a - b - c) : d = a : d - b : d - c : d
Ví dụ: Tính nhanh giá trị của biểu thức dưới đây
(92 - 56 - 16) : 2
= 92 : 2 - 56 : 2 - 16 : 2
= 46 - 28 - 8
= 46 - (28 + 8)
= 46 - 40
= 6
Đối với các biểu thức không có thừa số chung, hãy xem xét việc phân tích một số thành tích hoặc phân tích một tích thành các thừa số để tìm ra thừa số chung nếu có thể.
Ví dụ: Tính nhanh 35 x 6 + 7 x 70 + 100
= 5 x 7 x 6 + 7 x 70 + 100
= 7 x 30 + 7 x 70 + 100
= 7 x (30 + 70) + 100
= 7 x 100 + 100
= 700 + 100
= 800
Dạng 3: Áp dụng các tính chất đặc biệt như: một số nhân với 0, một số nhân với 1, một số chia cho 1, và 0 chia cho một số.
Khi tính giá trị biểu thức, hãy lưu ý các biểu thức có thể cho kết quả đặc biệt như 0 hoặc 1, từ đó chọn phương pháp tính toán tối ưu.
Tính chất đặc biệt:
Một số nhân với 0 luôn cho kết quả bằng 0.
Một số nhân với 1 luôn cho kết quả bằng chính số đó.
Khi chia một số cho 1, kết quả luôn bằng chính số đó.
Chia số 0 cho bất kỳ số nào cũng cho kết quả là 0.
Công thức tổng quát:
a x 0 = 0
a x 1 = a
a : 1 = a
0 : a = 0
Ví dụ: (1034 + 2780 + 1245 + 351) x (2642 - 12 x 220)
Tính toán cho thấy 2642 - 12 x 220 = 2642 - 2642 = 0
(1) => (1034 + 2870 + 1245 + 351) x (2642 - 12 x 220)
= (1034 + 2870 + 1245 + 351) x 0
= 0
Dạng 4: Áp dụng kiến thức về dãy số để tính giá trị biểu thức theo cách tối ưu nhất.
Chủ yếu được áp dụng trong các bài toán nâng cao liên quan đến dãy số đều.
Công thức tổng quát là:
Cách tìm số hạng của một dãy số cách đều: Số các số hạng = (Số cuối - Số đầu) : Khoảng cách + 1
Cách tính nhanh tổng của một dãy số cách đều:
Bước 1: Tính số các số hạng của dãy số cách đều (Theo công thức nêu trên)
Bước 2: Tính số cặp số của dãy số bằng cách lấy kết quả ở bước 1 chia cho 2 (Trường hợp dư 1 thì xem xét không ghép cặp 1 số)
Bước 3: Nhóm các cặp số hạng và tính tổng giá trị của cặp số (Chú ý có cặp số nào cho kết quả đặc biệt không, thông thường hay nhóm số đầu với số cuối)
Bước 4: Tính tổng của dãy số bằng cách nhân kết quả từ bước 2 với kết quả từ bước 3, sau đó cộng thêm số không có cặp nếu có (tính tích của các cặp số nhân với tổng của từng cặp số).
Ví dụ minh họa 1: Tính tổng các số tự nhiên từ 1 đến 200
Cách 1: Số lượng số hạng = (200 - 1) : 1 + 1 = 200
Số lượng cặp số = 200 : 2 = 100
Tổng của mỗi cặp số: 1 + 200 = 2 + 199 = 3 + 198 = ... = 100 + 101 = 201
Tổng của dãy số = 201 x 100 = 20100
Cách 2:
Số lượng số hạng = (200 - 1) : 1 x 1 = 200
Số lượng cặp số = 200 : 2 = 100
=> 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 195 + 196 + 197 + 198 + 199 + 200
= (1 + 200) + (2 + 199) + (3 + 198) + (4 + 197) + ...
= 201 x 100
= 20100
Ví dụ minh họa 2: Tính nhanh tổng các số lẻ có hai chữ số
11 + 13 + 15 + 17 + 19 + ... + 93 + 95 + 97 + 99
Số lượng số hạng = (99 - 11) : 2 + 1 = 88 : 2 + 1 = 44 + 1 = 45
Số cặp số hạng = 45 : 2 = 22 (dư 1)
11 + 13 + 15 + 17 + 19 + ... + 93 + 95 + 97 + 99
= (11 + 99) + (13 + 97) + (15 + 95) + ... + (53 + 57) + 55
= 110 + 110 + 110 + ... + 110 + 55
= 110 x 22 + 55
= 2420 + 55
= 2475
2. Một số bài tập ứng dụng
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức dưới đây:
a, 35 - 15 + 10
b, 90 - (25 + 35)
c, 417 - (25 + 17)
d, (45 + 65) x 2
e, 54 : (6 : 3)
g, (76 - 16) : 2
h, 81 : (3 x 3) x 3
Bài 2: Tính toán nhanh các giá trị biểu thức sau đây:
a, 60 - 42 : 6 + 4 x 7
b, 3420 x 15 + 278 x 60
c, 1024 + (896 : 2) : 16
d, 16 x 10 x 25 : (100 + 25)
Bài 3: Tính toán các biểu thức dưới đây:
a, 24 x 2 + 24 x 3 + 24 x 5
b, 37 x 215 + 39 x 215 + 41 x 215 + 215
c, 37 + 48 + 52 + 63
d, 1 + (7 + 7 + 7 + ... + 7) - 777 (với 111 số 7)
Bài 4: Tính tổng của các dãy số sau:
a, Các số tự nhiên từ 1 đến 101
b, Các số chẵn từ 10 đến 98
c, Các số lẻ từ 1 đến 100
d, Các số tự nhiên từ 1 đến 2015
Bài 5: Tính giá trị của biểu thức M = a x 2 + b x 2 + c x 2
a, Giả sử a = 2006; b = 2007; c = 2008
b, Giả sử tổng a + b + c = 2009
Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a, R = a : (119 x b + 2005) + (119 : b - a x 2005) với a = 0, b = 119
b, P = 1009 + (1010 : a - 1011 x d) + [(1012 + 1013 + 1014 + 1015) x a] với a = 1010, b = 0
