Cách tính thể tích hình trụ, khối trụ và những bài tập ứng dụng

Công thức tính thể tích hình trụ được áp dụng rộng rãi trong thực tế do hình khối này xuất hiện phổ biến. Đây cũng là một trong những kiến thức quan trọng trong môn toán học. Để nắm vững hơn về hình trụ, khối trụ và các công thức tương ứng, mời bạn tham khảo bài viết dưới đây.

Hình trụ có nhiều dạng khác nhau, bao gồm mặt trụ, hình trụ và khối trụ. Cụ thể như sau: 

Mặt trụ, hay còn gọi là mặt trụ tròn xoay, được tạo ra từ một trục (đường thẳng ∆) và một đường sinh (đường thẳng l) song song với nhau. Khoảng cách giữa hai đường thẳng này chính là bán kính của hình trụ, được ký hiệu là r. Trong đó, ∆ được giữ cố định và l sẽ quay thành vòng tròn trên mặt phẳng (P), từ đó hình thành một mặt nón tròn xoay. 

Gọi A, B là hai đầu của trục, và C, D là chiều dài của đường sinh. Khi hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng AB, hình trụ tròn xoay sẽ được hình thành tương ứng với đường gấp khúc ABCD. Ở đây, độ dài của hai đoạn thẳng AB và CD bằng nhau và được xem là chiều cao của hình trụ. Hai hình tròn có tâm A, bán kính AD và tâm B, bán kính BC được gọi là hai đáy của hình trụ. 

Khối trụ là thuật ngữ viết tắt cho khối trụ tròn xoay. Đây là phần không gian được giới hạn bởi hình trụ tròn xoay, bao gồm cả hình trụ. Do đó, thể tích của khối trụ tương ứng với không gian mà hình trụ chiếm giữ.

Thể tích hình trụ được tính bằng công thức: V = π. r². h

Trong đó:

• V là ký hiệu thể tích.

• r là bán kính của đáy hình trụ.

• h là chiều cao của hình trụ, tức là khoảng cách giữa hai đáy.

• π là hằng số (π = 3,14).

• Đơn vị thể tích: mét khối (m³).

Ví dụ: Tính thể tích của hình trụ có chiều cao 8cm và bán kính đáy là 5cm.

Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ, ta có: V = 3.14 x (5)² x 8 = 628 (cm³).

Thể tích hình trụ có 3 loại bài tập khác nhau, mỗi loại có phương pháp giải riêng biệt:

Trong bài tập xác định bán kính đáy của hình trụ, sẽ có 4 loại dữ liệu đề bài khác nhau như sau:

• Trường hợp 1: Khi đề bài cung cấp đường kính của mặt tròn, bạn có thể tính bán kính đáy bằng cách chia đường kính cho 2.

• Trường hợp 2: Nếu đề bài cho chu vi mặt đáy, bán kính sẽ được tính bằng chu vi chia cho 2π.

• Trường hợp 3: Khi mặt đáy hình trụ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác, bạn có thể tính bán kính đáy bằng một trong các phương pháp sau:

  • Phương pháp 1: Sử dụng định lý sin trong tam giác: Nếu tam giác ABC có các cạnh a, b, c là các đoạn thẳng BC, CA và AB, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R. Từ đó, bán kính đáy sẽ là a/2sin A = b/2sin B = c/2sin C.

  • Phương pháp 2: Tính diện tích tam giác: Với tam giác ABC có ba cạnh a, b, c và diện tích S = abc/4R, bán kính đáy sẽ là R = abc/4S, trong đó S được tính theo công thức Hê-rông: S = √[(a+b+c)(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)]/4.

  • Phương pháp 3: Sử dụng tọa độ: Xác định tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó, khoảng cách từ O đến một trong ba đỉnh A, B, C sẽ là bán kính đáy: R = OA = OB = OC.

  • Phương pháp 4: Tính cho tam giác vuông: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là một nửa chiều dài cạnh huyền, với tâm đường tròn là trung điểm của cạnh huyền.

• Trường hợp 4: Nếu mặt đáy hình trụ là đường tròn nội tiếp của tam giác ABC với các cạnh BC = a, CA = b và AB = c, bán kính đường tròn nội tiếp là r. Bán kính đáy sẽ được tính bằng công thức r = S/p, trong đó S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi, p = (a + b + c)/2.

Để tính diện tích của đáy tròn, bạn chỉ cần tính bán kính đáy và áp dụng công thức S = π x r^2.

Chiều cao của hình trụ có thể được tính dựa vào các dữ liệu trong đề bài như sau:

• Trường hợp 1: Nếu đề bài cung cấp chiều dài của đường chéo từ tâm một đáy đến mặt tròn của đáy đối diện, ta chỉ cần áp dụng định lý Py-ta-go để tính chiều cao.

• Trường hợp 2: Khi có một hình tứ giác như hình vuông hoặc hình chữ nhật cắt ngang hình trụ, trước tiên, chúng ta cần xác định độ dài các cạnh của hình tứ giác đó để từ đó suy ra chiều cao của hình trụ.

Dưới đây là một số bài tập về tính thể tích của khối trụ tròn xoay kèm theo hướng dẫn chi tiết để bạn tham khảo:

Bài 1: Tính thể tích của hình trụ có diện tích xung quanh là 10π cm² và diện tích toàn phần là 18π cm².

Giải thích:

Theo công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ là Stp = Sxq + Sđ = 2πrh + 2πr²

Từ đó suy ra 2πr² = 18π - 10π = 8π, do đó bán kính đáy r = 2cm.

Dựa vào công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là Sxq = 2πrh.

Ta có thể suy ra h = Sxq : 2πr = 10π : 4π = 2,5cm.

Vì vậy, thể tích của hình trụ được tính là V = π. r². h = 3,14 x (2)² x 2,5 = 31,4 (cm³).

Bài 2:

Tính thể tích hình trụ có chu vi đáy là 50cm và diện tích xung quanh là 20cm².

Lời giải:

Chu vi đáy của hình trụ được tính bằng công thức 2.r.π = 50 (cm), từ đó suy ra r = 50 : 2π = 25/π (cm).

Diện tích xung quanh của hình trụ được tính theo công thức: Sxq = chu vi đáy x h.

Từ đó, ta có h = Sxq : chu vi đáy = 20cm² : 50cm = 0,4 (cm).

Vì vậy, thể tích hình trụ được tính bằng công thức V = π. r². h =  π x (25/π) x 0,4 = 10 cm³.

Bài 3: Tính thể tích hình trụ với bán kính hai đáy là 5cm và chiều cao là 10cm.

Lời giải: 

Áp dụng công thức: V = π. r². h = 3,14 x (5)² x 10 = 785 (cm³).

Trên đây là toàn bộ kiến thức liên quan đến công thức tính thể tích hình trụ, bao gồm mặt trụ, hình trụ, khối trụ, các dạng bài tập liên quan và một số ví dụ cụ thể. Hy vọng rằng bạn sẽ dễ dàng giải quyết các bài toán về hình khối trụ và đạt được kết quả chính xác.