Buzz
Thể tích khối trụ là một trong những khái niệm hình học không gian thú vị, có ứng dụng trong đời sống hàng ngày. Vậy công thức tính thể tích của khối trụ là gì? Mời bạn đọc theo dõi bài viết dưới đây để tìm hiểu thêm chi tiết nhé!
Khối trụ là gì?
Khối trụ, hay còn được gọi là hình trụ, là một hình học không gian được xác định bởi một đường tròn cơ sở có bán kính như nhau và mặt trụ. Theo định nghĩa trong sách giáo khoa Toán hình học lớp 9, hình trụ được mô tả như sau:
“Hình trụ là hình được hình thành bởi mặt trụ và hai đường tròn có đường kính bằng nhau, là mặt giao của mặt trụ và hai mặt phẳng vuông góc với trục.”
“Hình trụ là hình hình xoay được tạo ra bởi bốn cạnh của một hình chữ nhật khi xoay quanh một đường trung bình của hình chữ nhật đó.”
Dựa vào định nghĩa trên, để nhận biết hình trụ và tính thể tích khối trụ rất đơn giản dựa vào những đặc tính sau:
- Hình trụ có hai đáy là hình tròn có đường kính bằng nhau là hình trụ.
- Hình trụ có chiều cao đều và bằng nhau.
- Trục chính của hình trụ là đường thẳng nối từ hai tâm của đáy chính.
- Đường sinh của hình trụ là đường thẳng có chiều dài bằng và song song với trục chính.
Một số công thức cơ bản về hình trụ
Hình trụ có nhiều ưu điểm vượt trội như khả năng chịu lực tốt, lưu trữ không gian hiệu quả hơn so với các hình khác. Do đó, trong đời sống hàng ngày chúng ta thường thấy nhiều đồ vật có dạng hình trụ như lon nước, cột trụ, ống khói, đường ống,... Với hình học không gian này, mọi người có thể tính được diện tích bề mặt, diện tích toàn phần và thể tích khối lăng trụ, thể tích hình trụ. Dưới đây là tổng hợp các công thức liên quan đến hình trụ để bạn tham khảo:
Tính diện tích bề mặt
Công thức đầu tiên liên quan đến hình trụ là cách tính diện tích bề mặt, tức là phần diện tích bao quanh không tính mặt đáy. Công thức tính diện tích bề mặt của hình trụ là chu vi của đáy nhân với chiều cao:
Sxq = 2.Π.R.H
Trong đó:
- Sxq: Viết tắt của diện tích xung quanh hình trụ.
- 2πr: Chu vi đường tròn đáy của hình trụ (π = 3,14).
- h: Chiều cao của hình trụ cần tính.
Tính diện tích toàn phần
Trước khi tìm hiểu cách tính thể tích khối trụ, chúng ta hãy tìm hiểu cách tính diện tích toàn phần. Diện tích toàn phần bao gồm diện tích bề mặt xung quanh và diện tích mặt đáy. Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ là tổng của diện tích bề mặt xung quanh và diện tích hai đáy.
STP = 2.Π.R² + 2πrh
Trong đó:
- STP: Viết tắt của diện tích toàn phần hình trụ.
- 2.Π.R²: Diện tích của mặt đáy hình trụ (π = 3,14).
- 2πrh: Diện tích bề mặt xung quanh hình trụ.
Thể tích của khối trụ
Để biết được lượng không gian lưu trữ của hình trụ, bạn có thể tính thể tích của nó một cách đơn giản bằng cách nhân diện tích đáy với chiều cao.
V = Π.R².H
Trong đó:
- V: Thể tích của hình trụ cần tính.
- ΠR²: Diện tích đáy của hình trụ.
- H: Chiều cao của hình trụ.
Dựa vào công thức trên, có thể thấy thể tích của khối trụ phụ thuộc vào chiều cao, bán kính đáy, số pi. Các bạn cần áp dụng đúng công thức để tính được thể tính chính xác nhất.
Một số dạng bài tập về thể tích khối trụ
Theo công thức tính thể tích của khối trụ có ba đại lượng gồm chiều cao, bán kính đáy và thể tích. Với phần thể tích của khối trụ có phần khó hiểu hơn, do đó chúng tôi sẽ lấy bài tập minh hoạ cụ thể cho các bạn tham khảo:
Bài 1
Cho hình chữ nhật ABCD trong đó có cạnh AB = a, góc BDC = 30 độ. Hãy quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD để tạo thành hình trụ. Yêu cầu tính diện tích xung quanh của hình trụ đó?
Đối với các dạng bài tập hình học không gian, các bạn cần vẽ hình dựa trên dữ liệu của đề bài. Đầu tiên, các bạn hãy vẽ hình chữ nhật sau đó quay hình chữ nhật xung quanh cạnh AD để tạo được hình trụ như trên.
Theo đó ta có bán hình đường tròn đáy được tính bằng AB = a
Đường cao của hình trụ bằng BC = CD.tan30 độ = a.1/√3 = a/√3
Từ đây, chúng ta sẽ suy ra diện tích xung quanh của hình trụ sẽ bằng Sxq = 2rh = 2.3,14.a = a/√3= (2.3,14.a.2)/√3
Bài 2
Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh a, xét hình trụ có một đáy với đường tròn nội tiếp tam giác ABC, chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Hãy tính diện tích xung quanh của khối trụ đó?
Như vậy, bài này yêu cầu tính diện tích xung quanh thay vì thể tích khối lăng trụ, thể tích hình trụ. Trước tiên cần gọi O là tâm của tam giác ABC và trung điểm của cạnh BC là M. The đó, O sẽ là trọng tâm của đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp của tam giác ABC bởi đây là tam giác đều.
Ta có cạnh AM = AM.sinC = a.sin60 độ = a√3/2
AO = 2/3AM
= 2/3 x a√3/2 = a√3/3
Tiếp theo, chúng ta sẽ tính chiều cao tứ diện:
h = DO = √(DA2 – OA2)
= √(a2 – (a√3/3)2 = a√6/3
Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC được tính như sau:
r = OM = AM/3 = a√3/6
Sau khi tính được chiều cao, bán kính đường tròn, chúng ta sẽ tính diện tích xung quanh hình trụ:
Sxq = 2.3,14rh
= 2.3,14.a√3/6.a√6/3
= 3,14xa2√2/3
Bài 3
Cho hình trụ có hai đáy hình tròn tâm (O) và (O’), tại đường tròn lấy điểm A, B sao cho góc giữa AB và đường tròn đáy bằng 45 độ và cách OO’ bằng a√2/2 . Hãy tính thể tích khối trụ theo bán kính đáy a.
Đầu tiên, chúng ta đặt OO’ = h sau đó gọi các điểm I, E, D là trung điểm của cạnh BC, BA, OO’.
Dựa vào đây, ta có d(AB,OO’) = ED = IO’ = a√2/2
Do ABC là tam giác vuông tại C nên có góc B bằng 45 độ -> ABC là tam giác vuông cân. Theo đó, cạnh BC = AC = h.
Ta có:
CO2= CI2+IO2
a2= (h/2)2 + (a√2/2)2
h=a√2
Dựa vào những dữ liệu trên, thể tích khối trụ bằng V = πa2.a √2 = πa3√2
Giải đáp câu hỏi thường gặp
Tới đây, chắc hẳn mọi người đã biết cách tính thể tích khối trụ cũng như diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình học này. Về cơ bản, cách tính thể tích hình trụ rất đơn giản, các bạn cần nắm được công thức để giải các bài tập liên quan. Sau đây, chúng tôi sẽ giải đáp những câu hỏi thường gặp về hình trụ cho các bạn tham khảo nhé!
Thể tích hình trụ được ứng dụng thực thế nào?
Trong thực tế, hình trụ được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như xây dựng, sản xuất, giáo dục,… Vì vậy, việc hiểu cách tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ là rất quan trọng. Cụ thể:
- Trong xây dựng, tính thể tích hình trụ giúp xác định lượng vật liệu như bê tông, xi măng, thép cần thiết để điền vào không gian bên trong.
- Trong công nghiệp, tính thể tích hình trụ giúp đo lường khối lượng chất lỏng, khí, hoặc chất bột có thể chứa.
- Trong sản xuất, thiết kế các chi tiết hình trụ yêu cầu tính toán dung tích và khối lượng của chúng.
- Trong giáo dục, hình trụ là một phần quan trọng của hình học không gian, giúp học sinh phát triển từ các bài tập cơ bản đến nâng cao.
Hình trụ có đáy không phải hình tròn có thể tính được thể tích không?
Trong một số trường hợp, dù hình trụ có đáy không phải là hình tròn, ta vẫn có thể tính được thể tích của nó. Cần tính diện tích đáy và chiều cao của hình trụ đó để tính toán thể tích khối lăng trụ, thể tích hình trụ như thông thường.
Diện tích đáy của hình trụ tương ứng với hình dạng của đáy, ví dụ như đáy hình trụ là hình vuông, ta tính diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh đáy.
Chiều cao của hình trụ là khoảng cách từ mặt đáy lên đỉnh của hình trụ. Để tính thể tích hình trụ, ta nhân diện tích đáy với chiều cao. Nếu đáy của hình trụ không phải là hình tròn, ta sẽ tính thể tích bằng diện tích đáy tương ứng.
Có thể tính thể tích khối trụ bằng phương pháp khác không?
Ngoài công thức tính thể tích hình trụ đã đề cập, bạn có thể tính thể tích hình trụ bằng các phương pháp sử dụng đường cong, công thức tiếp tuyến, phương pháp cắt ghép,… Tuy nhiên, các phương pháp này thường phức tạp hơn.
Nếu hình trụ có hình dạng đặc biệt như hình xoắn ốc, bạn có thể sử dụng tích phân để tính thể tích. Tích phân của đường xoắn ốc chính là thể tích của hình trụ đó.
Nếu bạn biết biểu thức đường cong của hình trụ, có thể dùng công thức tiếp tuyến để tính thể tích.
Đối với hình trụ có cạnh không đều, bạn có thể cắt, ghép thành các hình dạng đơn giản như hình tròn, tam giác, chữ nhật,… Sau đó tính thể tích của từng hình rồi cộng lại để tìm thể tích khối trụ ban đầu.
Tuỳ vào đặc điểm và hình dạng của hình trụ để lựa chọn phương pháp tính thể tích phù hợp. Thông thường, trong các bài tập, thầy cô sẽ cho hình trụ có cách tính thể tích là chiều cao nhân với bình phương độ dài bán kính đáy và số pi.
Thay đổi vị trí trọng tâm của hình trụ không làm thay đổi thể tích của nó.
Dù đặt trọng tâm ở một vị trí khác, thể tích của hình trụ vẫn không thay đổi. Bởi thể tích khối trụ phụ thuộc vào bán kính mặt đáy và chiều cao nên sự thay đổi vị trí trọng tâm không ảnh hưởng. Tuy nhiên, điều này có thể ảnh hưởng đến tư thế và tính ổn định của hình trụ. Hãy nhớ điều này để không mắc sai lầm trong các bài tập hình học.
Tạm Kết
Chúng tôi đã hướng dẫn cách tính thể tích khối trụ cho bạn. Đây là nội dung quan trọng trong hình học không gian mà bạn cần nắm. Ngoài cách tính thể tích, chúng tôi còn hướng dẫn tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. Hy vọng thông tin này sẽ giúp bạn giải quyết bài tập hình học một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt và đạt thành tích cao trong môn hình học không gian.
Đừng quên theo dõi fanpage Mytour và kênh Mytour để cập nhật những thông tin thú vị nhé!
