Buzz
1. Kiến thức cơ bản về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tiếp tuyến là một khái niệm quan trọng trong hình học, đặc biệt là trong việc xác định điểm tiếp xúc giữa đường tròn và đường thẳng. Một tiếp tuyến là một đường thẳng duy nhất chỉ chạm vào đường tròn tại một điểm và vuông góc với bán kính tại điểm đó.
Tiếp tuyến còn có đặc điểm khác là chỉ chạm vào đồ thị tại một điểm duy nhất và không cắt qua đồ thị tại bất kỳ điểm nào khác. Điểm này gọi là điểm tiếp điểm, và đây là điểm quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất và sự tương tác giữa đường tròn và đường thẳng. Tiếp tuyến đại diện cho sự giao nhau duy nhất và mối quan hệ đặc biệt giữa hai đối tượng hình học này.
Tiếp tuyến của một đường cong tại bất kỳ điểm nào trên đường cong đó là một đường thẳng chỉ tiếp xúc với đường cong tại điểm đó. Leibniz định nghĩa tiếp tuyến là một đường thẳng nối hai điểm vô cùng gần nhau trên đường cong. Cụ thể, một đường thẳng là tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại điểm x = c nếu nó đi qua điểm (c, f(c)) trên đường cong và có độ dốc f’(c), với f’ là đạo hàm của f.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm chính là một đường thẳng chạm trực tiếp vào đồ thị hàm số tại điểm đó. Để xác định tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x1, x2), công thức sử dụng là: y = f’(x1)(x - x1) + x2.
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm và phương pháp giải
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0 được xác định như sau:
y – y0 = f'(x0) * (x – x0)
Phương pháp giải
Bài tập 1: Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; f(x0)).
- Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0
⇒ f’(x0).
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0; y0) được xác định như sau:
y - y0 = f’(x0) * (x - x0)
Bài tập 2: Xác định phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi hoành độ tiếp điểm là x = x0.
+ Tính y0 = f(x0).
+ Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f’(x0)
⇒ Phương trình tiếp tuyến: y - y0 = f’(x0) * (x - x0)
Bài tập 3: Xác định phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi tung độ của tiếp điểm là y0.
+ Gọi M(x0; y0) là điểm tiếp xúc
+ Giải phương trình f(x) = y0 để tìm các nghiệm x0.
Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0, tức là f'(x0)
Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x0.
3. Mô tả phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm cụ thể
Ví dụ 1: Xét hàm số y = x^3 - 2x + 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(0,1)
A. y = 2x + 3 B. y = -2x + 1 C. y = 4x + 1 D. y = -4x + 1
Hướng dẫn giải chi tiết
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y' = 3x^2 - 2
⇒ y'(0) = -2
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(0,1) được xác định là:
y - 1 = -2(x - 0) hay y = -2x + 1
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Xét hàm số y = x² + 2x - 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1?
A. y = 2x + 1 B. y = -6x + 1 C. y = 4x - 7 D. y = 3x -
Hướng dẫn giải:
Tính y(1) = 1² + 2.1 - 6 = -3
Đạo hàm của hàm số cho trước là: y’(x) = 2x + 2
⇒ y’(1) = 2.1 + 2 = 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x = 1 là:
y + 3 = 4(x - 1) hay y = 4x - 7
Lựa chọn C.
Ví dụ 3. Cho hàm số y = x³ + 4x + 2. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ bằng 2?
A. y = 4x + 2 B. y = -2x + 1 C. y = 3x + 1 D. y = 6x + 1
Hướng dẫn giải quyết
+ Xét phương trình: x³ + 4x + 2 = 2
⇔ x³ + 4x = 0 ⇔ x = 0
Đạo hàm của hàm số cho trước là: y’ = 3x^2 + 4
⇒ y’(0) = 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có tung độ 2 là:
y - 2 = 4(x - 0) hay y = 4x + 2
Đáp án đúng là A.
Ví dụ 4. Cho hàm số y = -x^3 + 2x^2 + 2x + 1 có đồ thị (C). Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm A.
A. y = -2x + 1 B. y = 3x - 2 C. y = 4x + 1 D. y = 2x + 1
Hướng dẫn giải
+ Do A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung, nên tọa độ của điểm A là (0; 1).
+ Đạo hàm của hàm số là: y’ = -3x^2 + 4x + 2
⇒ y’(0) = 2
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm A là:
y - 1 = 2(x - 0) hay y = 2x + 1
Đáp án: D.
Ví dụ 5. Cho hàm số y = x^2 - 3x + 2. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm với trục hoành?
A. y = -x + 1 và y = x - 2 B. y = x + 1 và y = -x + 3
C. y = -2x + 1 và y = x - 2 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình:
x^2 - 3x + 2 = 0
Vậy, đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm A(1; 0) và B(2; 0).
+ Đạo hàm của hàm số là: y’ = 2x - 3
+ Tại điểm A(1; 0), ta có: y’(1) = -1
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A là:
y - 0 = -1(x - 1) hay y = -x + 1
+ Tại điểm B(2; 0), ta có y’(2) = 1
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại B là:
y - 0 = 1(x - 2) hay y = x - 2
Vậy, có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: y = -x + 1 và y = x - 2
Đáp án: A.
Ví dụ 6. Cho hai đường thẳng d1: 2x + y - 3 = 0 và d2: x + y - 2 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng này. Cho hàm số y = x^2 + 4x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.
A. y = 3x - 5 B. y = 6x + 1 C. y = 6x - 5 D. y = 2x + 1
Hướng dẫn giải
+ Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A(1; 1).
+ Đạo hàm của hàm số là: y’ = 2x + 4
⇒ Tại x = 1, y’(1) = 6.
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1; 1) là:
y - 1 = 6(x - 1) hay y = 6x - 5
Chọn C.
Ví dụ 7. Cho hàm số y = x^4 + 2x^2 + 1 với đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ nguyên dương nhỏ nhất. Đường thẳng d sẽ song song với đường thẳng nào?
A. y = -6x B. y = 8x C. y = -10x D. y = 12x
Hướng dẫn giải
+ Đạo hàm của hàm số là: y’ = 4x^3 + 4x
+ Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
+ Ta có: y’(1) = 8 và y(1) = 4
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ 1 là:
y - 4 = 8(x - 1) hay y = 8x - 4
⇒ Đường thẳng d song song với đường thẳng y = 8x
Chọn B.
Ví dụ 8. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x - 1)^2(x - 2) tại điểm có hoành độ x = 2 là:
A. y = -2x - 1 B. y = x + 1 C. y = 3x + 1 D. y = x - 2
Hướng dẫn giải
+ Gọi M(x0; y0) là tọa độ của điểm tiếp xúc.
Từ x0 = 2 suy ra y0 = 0
+ Ta có: y = (x - 1)^2(x - 2) = (x^2 - 2x + 1)(x - 2)
Vậy y = x^3 - 4x^2 + 5x - 2
⇒ Đạo hàm của hàm số là: y’ = 3x^2 - 8x + 5
⇒ Tại x = 2, y’(2) = 1
Vậy, phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y - 0 = 1(x - 2) hay y = x - 2
Chọn D.
