Căn số hai của 3

Căn số hai của 3 là một số thực dương mà khi nhân với chính nó sẽ ra số 3. Được gọi là căn số học của 3, để phân biệt với số tương tự. Nó được ký hiệu là √3 hoặc 3.

Căn số hai của 3 là một số vô tỷ. Nó còn được gọi là hằng số Theodorus, theo tên của Theodorus xứ Cyrene, người đã chứng minh tính vô tỷ của nó.

Sáu mươi chữ số đầu tiên trong biểu diễn thập phân của nó là:

1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580… (dãy số A002194 trong bảng OEIS)

Phương pháp tính toán

Có nhiều cách để xấp xỉ giá trị của √3. Phương pháp thường được sử dụng trên máy tính cá nhân và máy tính bỏ túi là phương pháp Babylon để tính căn bậc hai của một số. Các bước thực hiện như sau:

1. Chọn một số a₀ > 0 bất kỳ làm giá trị khởi đầu (càng gần √3 càng tốt)
2. Tính từng giá trị tiếp theo theo công thức truy hồi dưới đây:

$a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{3}{a_n}\right).$

1. Lặp lại bước 2 cho đến khi đạt được độ chính xác mong muốn.

Dãy (a_n) là dãy hội tụ bậc hai, có nghĩa là mỗi lần tính toán, số chữ số thập phân chính xác được gấp đôi. Bắt đầu với a₀ = 1 cho ta các giá trị xấp xỉ sau:

• a₁ = 7/4 = 1.75
• a₂ = 97/56 = 1.73214...
• a₃ = 18817/10864 = 1.73205081...
• a₄ = 708158977/408855776 = 1.732050807568877295...

Vào tháng 12 năm 2013, giá trị của √3 đã được tính toán chính xác đến ít nhất mười tỉ chữ số thập phân.

Xấp xỉ bằng số hữu tỉ

Phân số 97/56 (1732142857…) là một xấp xỉ tốt cho căn bậc hai của 3. Mặc dù mẫu số là 56, phân số này chỉ sai lệch giá trị thực ít hơn 1/10,000 (khoảng 92×10). Giá trị làm tròn 1.732 chính xác đến 99.99% so với giá trị thực.

Archimedes đã chỉ ra rằng (1351/780)
lớn hơn 3 và nhỏ hơn (265/153)
, với độ chính xác lần lượt là 1/608400 (sáu chữ số thập phân) và 2/23409 (bốn chữ số thập phân).

Phân số liên tục

Căn bậc hai của 3, ký hiệu là √3, có thể được biểu diễn bằng phân số liên tục như [1;1,2,1,2,1,2,1,…] (dãy số A040001 trong bảng OEIS), tức là

$\sqrt{3}=[1;\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1,2}]=1+$

1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 2 + ⋱ . {\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;{\overline {1,2}}]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{_{\ddots }}}}}}}}}}.}

Theo định lý về phân số liên tục, nếu

Khi giá trị của n tiến đến vô cực

$\sqrt{3}=2\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{a_{22}}{a_{12}}-<!--\; -\; -->1$

Ngoài ra, nó cũng có thể được biểu diễn dưới dạng liên phân số tổng quát như sau

$[2;-<!--\; -\; -->4,-<!--\; -\; -->4,-<!--\; -\; -->4,...]=2-<!--\; -\; -->\frac{1}{4-<!--\; -\; -->\frac{1}{4-<!--\; -\; -->\frac{1}{4-<!--\; -\; -->{}_{\ddots <!--\; \ddots \; -->}}}}$

thực tế là [1;1,2,1,2,1,2,1,…] tính toán hai số hạng đồng thời.

Biểu diễn dạng bình phương

Biểu thức bình phương chồng chất sau sẽ trở thành √3:

$\sqrt{3}=2-<!--\; -\; -->2{\left(\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->{\left(\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->{\left(\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->{\left(\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->\right)}^2\right)}^2\right)}^2\right)}^2=\frac{7}{4}-<!--\; -\; -->4{\left(\frac{1}{16}+{\left(\frac{1}{16}+{\left(\frac{1}{16}+{\left(\frac{1}{16}+\dots <!--\; \dots \; -->\right)}^2\right)}^2\right)}^2\right)}^2.$

Chứng minh tính vô tỷ

Chứng minh qua phương pháp lùi vô hạn

Để chứng minh tính vô tỉ của √3, ta sử dụng phương pháp lùi vô hạn của Fermat. Phương pháp này có thể áp dụng cho bất kỳ số nguyên nào không phải là số chính phương.

1. Giả sử √3 là một số hữu tỉ, tức là có thể viết dưới dạng phân số tối giản a/b, với a và b là các số nguyên tố cùng nhau.
2. Ta suy ra a/b = 3 hay a = 3b.   (a và b là các số nguyên)
3. Vì vậy, a chia hết cho 3, và do đó a có thể viết dưới dạng 3k, với k là số nguyên.
4. Thay 3k vào đẳng thức từ bước 2: 3b = (3k) và ta có b = 3k.
5. Như trong bước 3, b cũng chia hết cho 3, và do đó b có thể viết dưới dạng 3k.
6. Như vậy, cả a và b đều chia hết cho 3, nghĩa là chúng có chung ước số là 3, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng a và b là các số nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh theo định lý nghiệm hữu tỉ

Một cách khác để chứng minh tính vô tỉ của √3 là dùng một trường hợp đặc biệt của định lý nghiệm hữu tỉ. Định lý này nói rằng nếu P(x) là một đa thức monic (với hệ số bậc cao nhất là 1) và có hệ số nguyên, thì bất kỳ nghiệm hữu tỉ nào của P(x) đều là số nguyên. Áp dụng định lý cho đa thức P(x) = x − 2, ta thấy rằng √3 hoặc là số nguyên hoặc số vô tỉ. Vì 1 < √3 < 2 nên nó không thể là số nguyên, do đó √3 là số vô tỉ.

Hình học và lượng giác

√3 là chiều dài của cạnh trong một tam giác đều nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 1. Nếu chia tam giác đều có cạnh 1 thành hai tam giác vuông 30-60-90 với cạnh huyền bằng 1, thì các cạnh góc vuông là 1/2 và √3/2. Dựa vào đó, ta có thể tính giá trị của các hàm số lượng giác cho 60° và 30°.

Căn bậc hai của 3 xuất hiện trong nhiều biểu thức đại số liên quan đến các hằng số lượng giác, chẳng hạn như

Căn bậc hai của 3 còn được sử dụng để tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện trong hình lục giác đều có cạnh 1, hoặc làm đường chéo của hình lập phương đơn vị.

Các ứng dụng khác

Công nghệ điện tử

Trong lĩnh vực điện, hiệu điện thế giữa hai dây pha (điện áp dây) trong hệ thống ba pha được tính bằng √3 nhân với hiệu điện thế giữa một dây pha và dây trung hòa (điện áp pha). Sự khác biệt này xuất phát từ việc hai pha cách nhau 120°, và khoảng cách giữa hai điểm trên vòng tròn cách nhau 120 độ sẽ là √3 nhân với bán kính của vòng tròn đó.

• Căn bậc hai của 2
• Căn bậc hai của 5

Ghi chú

• S., D.; Jones, M. F. (1968). “22900D approximations to the square roots of the primes less than 100”. Mathematics of Computation. 22 (101): 234–235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
• Uhler, H. S. (1951). “Approximations exceeding 1300 decimals for √3, 1/√3, sin(π/3) and distribution of digits in them”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443–447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382. templatestyles stripmarker trong |title= tại ký tự số 136 (trợ giúp)
• Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers . London: Penguin Group. tr. 23.

Các liên kết bên ngoài

• Hằng số Theodorus tại MathWorld
• [1] Kevin Brown
• [2] E. B. Davis