Cấp số cộng

Trong toán học, cấp số cộng (tiếng Anh: arithmetic progression hoặc arithmetic sequence) là một chuỗi số mà sự khác biệt giữa hai số liên tiếp là một hằng số không thay đổi. Ví dụ, chuỗi số 3, 5, 7, 9, 11,... là một cấp số cộng với công sai là 2.

Hằng số chênh lệch giữa các phần tử liên tiếp được gọi là công sai của cấp số cộng. Các phần tử trong chuỗi này cũng được gọi là các số hạng.

== Số hạng tổng quát Khi cấp số cộng bắt đầu với phần tử $a_1$ và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng có thể được tính theo công thức sau:

$a_n=a_1+(n-<!--\; -\; -->1)d.$

Tổng

Tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng được gọi là tổng của n số hạng. Công thức tính tổng này như sau:

$S_n=a_1+a_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n[2a_1+(n-<!--\; -\; -->1\left)d\right]}{2}.$

Để chứng minh công thức này, ta có thể phân tích tổng thành tổng của a₁ và a_n, tổng của a₂ và a_n-1, và cứ tiếp tục như vậy. Một câu chuyện thú vị là Carl Gauss đã phát hiện ra phương pháp này khi còn học tiểu học để giải bài toán tính tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên.

Chứng minh:

$S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+\dots <!--\; \dots \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_1+(n-<!--\; -\; -->2)d+a_1+(n-<!--\; -\; -->1)d$

$S_n=a_n-<!--\; -\; -->(n-<!--\; -\; -->1)d+a_n-<!--\; -\; -->(n-<!--\; -\; -->2)d+...+a_n-<!--\; -\; -->2d+a_n-<!--\; -\; -->d+a_n$

$\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->2S_n=n(a_1+a_n)$

$\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$.

$\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->S_n=\frac{n[2a_1+(n-<!--\; -\; -->1\left)d\right]}{2}$.

Tích

Tích của n số hạng trong dãy số cộng bắt đầu từ $a_1$ với công sai $d$ và có $n$ số hạng là

trong đó $x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}}$ là ký hiệu của giai thừa trên (tiếng Anh: upper factorial)

$x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots <!--\; \cdots \; -->(x+n-<!--\; -\; -->1)=\frac{(x+n-<!--\; -\; -->1)!}{(x-<!--\; -\; -->1)!}$

Tổng quát hóa của tích $1\times <!--\; \times \; -->2\times <!--\; \times \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\times <!--\; \times \; -->n$ được ký hiệu bằng $n!$ và biểu thị tích của

$m\times <!--\; \times \; -->(m+1)\times <!--\; \times \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\times <!--\; \times \; -->(n-<!--\; -\; -->1)\times <!--\; \times \; -->n$

với các số nguyên dương $m$ và $n$ được cho bởi công thức

Ngoài ra, $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$ là ký hiệu của Hàm gamma.

$\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(z\right)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{t}^{z-<!--\; -\; -->1}{e}^{-<!--\; -\; -->t}dt$

(Công thức này không áp dụng nếu là số âm hoặc không).

• Phép cộng
• Cấp số nhân
• Cấp số cộng tổng quát
• Carl Friedrich Gauss