Chỉ khi nào

Trong lý luận logic, hai mệnh đề P và Q được gọi là tương đương về mặt logic nếu chúng có cùng giá trị chân lý, tức là cả hai đều đúng hoặc đều sai. Ký hiệu là: P ⇔ Q

Dấu '⇔' thể hiện mối quan hệ tương đương.

Logic toán học

Bảng chân lý của một quan hệ tương đương trong logic toán như sau:

Rõ ràng, mối quan hệ tương đương P ⇔ Q thực chất là (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P), tức là (P kéo theo Q) và (Q kéo theo P).

Nói cách khác, hai mệnh đề P và Q được xem là tương đương khi mệnh đề này kéo theo mệnh đề kia và ngược lại.

Trong trường hợp này, hai phát biểu 'P ⇒ Q' và 'Q ⇒ P' được gọi là các đảo đề của nhau.

Để chứng minh mối quan hệ tương đương P ⇔ Q, cần phải chứng minh rằng P ⇒ Q và cả chiều ngược lại.

Lưu ý rằng (P ⇔ Q) ⇔ (Q ⇔ P).

Trong ngôn ngữ tự nhiên, để biểu thị sự tương đương giữa P và Q, có nhiều cách diễn đạt khác nhau:

• P đúng khi và chỉ khi Q đúng.
• Để P đúng, điều kiện cần và đủ là Q đúng.
• Điều kiện cần và đủ để P đúng là Q đúng.
• P đúng là điều kiện cần và đủ để Q đúng.
• P tương đương với Q.

Tính chất

• P ⇔ P (tính phản xạ)
• (P ⇔ Q) ⇒ (Q ⇔ P) (tính đối xứng)
• ((P ⇔ Q) ⇔ R) ⇔ (P ⇔ (Q ⇔ R)) (tính kết hợp)
• ¬¬P ⇔ P (tương đương với nguyên lý loại trừ)
• (P ⇔ Q) ⇔ (¬P ⇔ ¬Q) (contraposition)

Ví dụ

• Chúng ta có

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n$

∈ N , n ≥ 2 , ∀ x ∈ R − { 1 } , ( x + 1 ) n = ( x − 1 ) n ⇔ ( x + 1 ) n ( x − 1 ) n = 1 {displaystyle orall nin mathbb {N} ,ngeq 2,orall xin mathbb {R} -{1},(x+1)^{n}=(x-1)^{n}Leftrightarrow {rac {(x+1)^{n}}{(x-1)^{n}}}=1}

• Mối quan hệ 'tương đương' ∀x, y∈ℝ (x=y ⇔ x=y) (bình phương lên) không đúng vì ví dụ 2=-2 không dẫn đến 2=-2
• Mối quan hệ tương đương dưới đây là đúng

(bình phương lên)

Khi bình phương, ta mất thông tin về 'x-1 lớn hơn hoặc bằng căn bậc hai' nên nó không âm; do đó, để đảm bảo sự tương đương, cần bổ sung điều kiện x-1>=0.

Ghi chú:

Việc chứng minh qua các quan hệ tương đương không phải lúc nào cũng dễ dàng, đôi khi cần chứng minh từng trường hợp một cách riêng biệt.

Việc nói rằng 'quan hệ tương đương P ⇔ Q là chính xác' không đồng nghĩa với việc 'P và Q đều đúng', mà có nghĩa là 'khi một trong hai mệnh đề đúng (hoặc sai), thì mệnh đề còn lại cũng đúng (hoặc sai) theo cùng một cách'.

Quan hệ tương đương giữa nhiều mệnh đề

Xem xét ba mệnh đề P, Q và R.

Để chứng minh các quan hệ tương đương P ⇔ Q ⇔ R, ta chỉ cần chứng minh các quan hệ kéo theo sau đây:

Chứng minh P ⇒ Q, Q ⇒ R và R ⇒ P.

Giả sử các quan hệ P ⇒ Q, Q ⇒ R và R ⇒ P đã được xác nhận.

Để chứng minh Q ⇒ P, ta sử dụng các quan hệ Q ⇒ R và R ⇒ P.

Tương tự, từ R ⇒ P và P ⇒ Q, ta có thể suy ra R ⇒ Q.

Cuối cùng, ta có P ⇒ R dựa trên việc P ⇒ Q và Q ⇒ R.

Phương pháp chứng minh như vậy được gọi là chứng minh theo vòng.

Có thể mở rộng cho nhiều mệnh đề P₁, P₂… P_n.

Để chứng minh các mối quan hệ tương đương P₁ ⇔ P₂ ⇔… ⇔ P_n, chỉ cần chứng minh các quan hệ kéo theo sau:

P₁ ⇒ P₂, P₂ ⇒ P₃… P_n-1 ⇒ P_n và P_n ⇒ P₁.