Chi tiết cách tính delta và delta phẩy trong phương trình bậc 2 cho kỳ thi vào lớp 10 môn Toán

Buzz

Nội dung bài viết

Hướng dẫn chi tiết về cách tính delta và delta phẩy trong phương trình bậc 2

1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

2. Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

3. Công thức của Viet

4. Ý nghĩa của việc tính ∆?

5. Tổng hợp nghiệm của phương trình bậc 2

6. Các dạng bài tập cách tính delta và delta phẩy

7. Bài tập tự luyện

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Bài viết hướng dẫn chi tiết về cách tính delta (∆) và delta phẩy (∆') trong phương trình bậc hai, là kiến thức cơ bản cho học sinh lớp 9. Nó giải thích các công thức và ứng dụng của ∆ để xác định nghiệm của phương trình: nếu ∆ > 0 có hai nghiệm phân biệt, ∆ = 0 có nghiệm kép, và ∆ < 0 không có nghiệm.
- Bài viết cũng bao gồm hệ thức Viet và các dạng bài tập liên quan đến phương trình bậc hai, cung cấp ví dụ cụ thể và bài tập tự luyện để giúp học sinh làm quen và thực hành.

Bí quyết tính delta và delta phẩy trong phương trình bậc 2: Nền tảng quan trọng cho các bài toán Toán 9 từ cơ bản đến nâng cao. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết về công thức tính delta, delta phẩy và áp dụng vào giải các bài tập mẫu.

Tài liệu về cách tính delta, delta phẩy sẽ cung cấp thêm gợi ý, giúp bạn nắm vững công thức và áp dụng chúng vào giải bài tập. Hãy tham khảo thêm các bài tập Toán nâng cao lớp 9 và về tam giác nội tiếp tâm đường tròn.

Hướng dẫn chi tiết về cách tính delta và delta phẩy trong phương trình bậc 2

1. Phương trình bậc hai một ẩn
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
3. Hệ thức Viet
4. Tại sao phải tìm ∆?
5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2
6. Các dạng bài tập cách tính delta và delta phẩy
7. Bài tập tự luyện

1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là loại phương trình có dạng:

ax² + bx + c = 0

Với điều kiện a ≠ 0, a và b là các hệ số, c là một hằng số.

2. Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Chúng ta có thể sử dụng một trong hai công thức sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

+ Tính: ∆ = b² – 4ac

Nếu ∆ > 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\ +\sqrt{\triangle}}{2a};\ x_2=\frac{-b\ -\sqrt{\triangle}}{2a}$

Nếu ∆ = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 sẽ có một nghiệm kép:

$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$

Nếu ∆ < 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 không có nghiệm:

∆² $b'=\frac{b}{2}$

Nếu ∆' > 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b'\ +\sqrt{\triangle'}}{a};\ x_2=\frac{-b\ -\sqrt{\triangle'}}{a}$

Nếu ∆' = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 sẽ có nghiệm kép:

$x_1=x_2=\frac{-b'}{a}$

Nếu ∆' < 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 sẽ không có nghiệm.

3. Công thức của Viet

$a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)\left({ }^{*}\right)$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\left\{\begin{array}{l} S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \\ P=x_{1} x_{2}=\frac{c}{a} \end{array},\left(S^{2}-4 P \geqslant 0\right)\right.$

Hệ thức Viet được áp dụng trong nhiều dạng bài tập liên quan đến hàm số bậc 2 và các bài toán liên quan. Với ba công thức nghiệm đã nêu trên, chúng ta có đủ kiến thức để làm các bài tập. Hãy tham gia vào các bài tập dưới đây ngay!

Bài tập áp dụng công thức delta, delta phẩy

Các dạng bài tập tương ứng với ba công thức trên bao gồm việc giải phương trình bậc 2 và biện luận nghiệm của nó. Để làm các bài tập này, ta cần hiểu rõ công thức nghiệm delta, delta phẩy và định lý Vi-et (để giải các bài toán về tham số).

4. Ý nghĩa của việc tính ∆?

Ta xem xét phương trình bậc 2:

Phương trình ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0)

² $\frac{b}{a}$ ² $\frac{b}{{2a}}$ ${\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2}$ ${\left( {\frac{b}{{2a}}} \right)^2}$ $⇔\ a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\ -\frac{b^2}{4a}+c=0$ $\Leftrightarrow a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2= \frac{b^2}{4a}-c$ $\Leftrightarrow a \left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2= \frac{b^2-4ac}{4a}$ $\Leftrightarrow 4a^2.\left ( x + \frac{b}{2a} \right )^2 = b^2-4ac$ $\triangle$ ² $\left ( x+\frac{b}{2a}\right ) ^2 \ge 0$ ²

Phân tích nghiệm của biểu thức

+ Khi b² – 4ac < 0, vì vế trái của phương trình (1) lớn hơn 0, và vế phải của phương trình (1) nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) không có nghiệm.

+ Khi b² – 4ac = 0, phương trình trở thành:

$4a^2\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}$ $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

+ Khi b² – 4ac > 0, phương trình trở thành:

$4a^2\left ( x+\frac{b}{2a} \right ) ^2= b^2-4ac$ $\Leftrightarrow {\left[ {2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)} \right]^2} = {b^2} - 4ac \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = \sqrt {{b^2} - 4ac} \\ 2a\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right) = - \sqrt {{b^2} - 4ac} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{b}{{2a}} = \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ x + \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\\ x = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \end{array} \right.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

$x_1 = \frac{{ - b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$ $x_2 = \frac{{ - b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

Dưới đây là cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Ta nhận thấy rằng b² – 4ac là yếu tố quan trọng trong việc xác định điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Để làm cho quá trình xác định nghiệm trở nên dễ dàng hơn và giảm thiểu sai sót trong tính toán, các nhà toán học đã định nghĩa ∆ = b² – 4ac.

5. Tổng hợp nghiệm của phương trình bậc 2

$a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$

Trường hợp của ∆

$\Delta = {b^2} - 4ac$

$\Delta = b{'^2} - ac$ $b' = \frac{b}{2}$

Phương trình không có nghiệm

$\Delta < 0$ $\Delta ' < 0$

Phương trình có nghiệm kép

$\Delta = 0$ ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}$ $\Delta ' = 0$ ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};\,\,\,{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$

6. Các dạng bài tập cách tính delta và delta phẩy

Bài 1: Xác định a, b', c rồi sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình:

$a) 4{x^2} + 4x + 1 = 0;$ $b) 13852{x^2} - 14x + 1 = 0;$

Lời giải:

$a) 4{x^2} + 4x + 1 = 0$ $a = 4,\ b' = 2,\ c = 1$ $\Delta' = {2^2} - 4.1 = 0$

Do đó phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = \dfrac{ - 2}{4} = - \dfrac{1 }{ 2}.$ $b) 13852{x^2} - 14x + 1 = 0$ $a = 13852,\ b' = - 7,\ c = 1$ $\Delta' = {( - 7)^2} - 13852.1 = - 13803 < 0$

Do đó phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a, x² - 5x + 4 = 0	b, 6x² + x + 5 = 0
c, 16x² - 40x + 25 = 0	d, x² - 10x + 21 = 0
e, x² - 2x - 8 = 0	f, 4x² - 5x + 1 = 0
g, x² + 3x + 16 = 0	h, 2x² + 2x + 1 = 0

Nhận xét: đây là loại bài toán thường gặp khi học về phương trình bậc hai, áp dụng các công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình.

Lời giải:

a, x² - 5x + 4 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-5)² - 4.1.4 = 25 - 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5+3}{2}=4$ $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5-3}{2}=1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 4}

b, 6x² + x + 5 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 1² - 4.6.5 = 1 - 120 = - 119 < 0

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c, 16x² - 40x + 25 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép)

Ta có: ∆' = b'² – ac = (-20)² - 16.25 = 400 - 400 = 0

$x_1=x_2=\frac{-b'}{a}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}$ $S=\left \{ \frac{5}{4} \right \}$

d, x² - 10x + 21 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆' = b'² – ac = (-5)² - 1.21 = 25 - 21 = 4 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-5+2}{1}=-3$ $x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{-5-2}{1}=-7$

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-7; -3}

e, x² - 2x - 8 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆' = b'² – ac = (-1)² - 1.(-8) = 1 + 8 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a} =\frac{1+3}{1}=4$ $x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{1-3}{1}=-2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 4}

f, 4x² - 5x + 1 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-5)² - 4.4.1 = 25 - 16 = 9 > 0

$x_2=\frac{1}{4}$ $S=\left \{ \frac{1}{4};1 \right \}$

g, x² + 3x + 16 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 3² - 4.1.16 = 9 - 64 = -55 < 0

Phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm.

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆' và nhận thấy ∆' < 0 nên phương trình đã cho có vô nghiệm)

$\Delta = {b'^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = 1 - 8 = - 7 < 0$

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 3:

a, Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét: đây là một dạng toán giúp các bạn học sinh ôn tập được kiến thức về cách tính công thức nghiệm của phương trình bậc hai cũng như ghi nhớ được các trường hợp nghiệm của phương trình bậc hai.

Lời giải:

a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:

$1^2-6.1+m^2-4m=0 \Leftrightarrow m^2-4m-5=0$

Xét phương trình (2)

Vậy với m = 5 hoặc m = -1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

b, Xét phương trình (1) có:

$\Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9$ $\Delta'=0$ $\Leftrightarrow -m^2+4m+9=0$ $m=2\pm \sqrt{13}$ $m=2\pm\sqrt{13}$

c, Xét phương trình (1) có:

$\Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9$

$\Leftrightarrow 2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13}$ $2-\sqrt{13} < m <2+ \sqrt{13}$

7. Bài tập tự luyện

Bài 1: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b:

(a+1) x² – 2 (a + b)x + (b- 1) = 0

Bài 2: Cho phương trình x² – 2(m+1)x + m² + m +1 = 0

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m

Bài 3: Giả sử phương trình bậc hai x² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng a² + b² là một hợp số.

Bài 4: Cho phương trình (2m – 1)x² – 2(m + 4 )x +5m + 2 = 0 (m #½)

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Bài 5: Cho phương trình x² – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: 2x² + (2m – 1)x +m – 1 =0

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.

Xác định m để phương trình có hai nghiệm phan biệt x₁, x₂ thỏa mãn -1 < x1 < x₂ < 1

Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂, hãy lập một hệ thức giữa x₁, x₂ không có m

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Công thức tính delta trong phương trình bậc hai là gì?

Công thức tính delta trong phương trình bậc hai là ∆ = b² - 4ac. Đây là yếu tố quan trọng giúp xác định số lượng nghiệm của phương trình. Khi ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt, khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm kép, và khi ∆ < 0, phương trình vô nghiệm.

Delta phẩy là gì và có vai trò như thế nào trong phương trình bậc hai?

Delta phẩy (∆') là một công thức rút gọn được sử dụng trong phương trình bậc hai, với công thức ∆' = b'² - ac. Giống như delta, nó cũng giúp xác định số lượng nghiệm của phương trình. Nếu ∆' > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt, nếu ∆' = 0, phương trình có nghiệm kép, còn nếu ∆' < 0, phương trình vô nghiệm.

Tại sao phải tính delta trong phương trình bậc hai?

Việc tính delta trong phương trình bậc hai giúp ta xác định điều kiện có nghiệm của phương trình. Nếu delta lớn hơn không, phương trình có hai nghiệm phân biệt, nếu delta bằng không, phương trình có một nghiệm kép, và nếu delta nhỏ hơn không, phương trình vô nghiệm.

Làm thế nào để giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức delta?

Để giải phương trình bậc hai bằng công thức delta, ta tính giá trị của ∆ = b² - 4ac. Sau đó, tùy thuộc vào giá trị của delta: nếu ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt; nếu ∆ = 0, phương trình có một nghiệm kép; nếu ∆ < 0, phương trình vô nghiệm.

Các dạng bài tập thường gặp khi áp dụng công thức delta trong phương trình bậc hai là gì?

Các bài tập thường gặp khi áp dụng công thức delta bao gồm việc xác định số nghiệm của phương trình bậc hai (hai nghiệm phân biệt, một nghiệm kép hoặc vô nghiệm) và giải phương trình bậc hai theo các giá trị cụ thể của a, b, và c trong công thức nghiệm.